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8.如图，$AB=6$，$AD=5$，$BC=3$，$CD=12$，则$BD$的值可能是 （
A.8
B.9
C.10
D.11
C
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
8.C
解析
【分析】
要确定BD的取值，需利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先分别在包含BD的两个三角形△ABD、△BCD中求出BD的取值范围，再取两个范围的公共部分，最后对比选项找出符合区间的数值即可。
【解析】
解：在△ABD中，根据三角形三边关系可得：
$AB - AD ＜ BD ＜ AB + AD$
代入$AB=6$，$AD=5$，得：
$6-5 ＜ BD ＜ 6+5$，即$1 ＜ BD ＜ 11$。
在△BCD中，同理根据三角形三边关系可得：
$CD - BC ＜ BD ＜ CD + BC$
代入$BC=3$，$CD=12$，得：
$12-3 ＜ BD ＜ 12+3$，即$9 ＜ BD ＜ 15$。
取两个取值范围的公共部分，可得BD的取值范围为$9 ＜ BD ＜ 11$。
观察选项，只有10在该区间内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是分别在两个三角形中求出BD的取值范围，再取交集确定最终的取值区间，是三角形边的性质部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要确定BD的取值，需利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先分别在包含BD的两个三角形△ABD、△BCD中求出BD的取值范围，再取两个范围的公共部分，最后对比选项找出符合区间的数值即可。
【解析】
解：在△ABD中，根据三角形三边关系可得：
$AB - AD ＜ BD ＜ AB + AD$
代入$AB=6$，$AD=5$，得：
$6-5 ＜ BD ＜ 6+5$，即$1 ＜ BD ＜ 11$。
在△BCD中，同理根据三角形三边关系可得：
$CD - BC ＜ BD ＜ CD + BC$
代入$BC=3$，$CD=12$，得：
$12-3 ＜ BD ＜ 12+3$，即$9 ＜ BD ＜ 15$。
取两个取值范围的公共部分，可得BD的取值范围为$9 ＜ BD ＜ 11$。
观察选项，只有10在该区间内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是分别在两个三角形中求出BD的取值范围，再取交集确定最终的取值区间，是三角形边的性质部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9. 情境题 教育(2024·新乡期末)为方便劳动技术小组实践教学,需用篱笆围一块三角形空地,现已连接好AB,BC,CD三段篱笆,其长度如图所示,其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地,则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 (
A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
D
)A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
答案
9.D
解析
【分析】
这道题是三角形三边关系的实际应用，解题思路如下：首先明确围成三角形的三条边长：固定边BC长16m，边CD长6m，AB加上新接篱笆的总长度为(2+x)m（x为新接篱笆长度）。接下来根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式，求出x的取值范围，再对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
设新接的篱笆长度为x m，围成的三角形三边长分别为(2+x)m、6m、16m。
根据三角形三边关系：
1. 较短两边之和大于最长边：由于6＜16，因此需满足$(2+x)+6＞16$，
计算得$x+8＞16$，解得$x＞8$。
2. 验证其余两个三边关系：
$(2+x)+16＞6$，化简得$x+18＞6$，x为正数，该式恒成立；
$6+16＞2+x$，化简得$x＜20$。
综上x的取值范围是$8＜x＜20$，选项中只有9m符合该范围。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题结合生活实际考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确梳理出围成三角形的三条边的长度，再根据三边关系列不等式求出未知量的取值范围，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
这道题是三角形三边关系的实际应用，解题思路如下：首先明确围成三角形的三条边长：固定边BC长16m，边CD长6m，AB加上新接篱笆的总长度为(2+x)m（x为新接篱笆长度）。接下来根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式，求出x的取值范围，再对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
设新接的篱笆长度为x m，围成的三角形三边长分别为(2+x)m、6m、16m。
根据三角形三边关系：
1. 较短两边之和大于最长边：由于6＜16，因此需满足$(2+x)+6＞16$，
计算得$x+8＞16$，解得$x＞8$。
2. 验证其余两个三边关系：
$(2+x)+16＞6$，化简得$x+18＞6$，x为正数，该式恒成立；
$6+16＞2+x$，化简得$x＜20$。
综上x的取值范围是$8＜x＜20$，选项中只有9m符合该范围。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题结合生活实际考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确梳理出围成三角形的三条边的长度，再根据三边关系列不等式求出未知量的取值范围，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
10.在同一平面内有A，B，C三个点，已知AB=7，BC=4，则AC的取值范围是
3≤AC≤11
。答案
10.3≤AC≤11
解析
【分析】
解题时需先明确同一平面内三点的两种位置关系：三点共线、三点不共线，再分别分析两种情况中AC的取值：三点不共线时构成三角形，可通过三角形三边关系得到AC的取值区间；三点共线时需分点C在线段AB上、点C在AB延长线两种情况计算AC的具体长度，最后合并所有情况的结果即可得到完整取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点不共线时，可构成△ABC，根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
代入$AB=7$，$BC=4$，得$7-4 ＜ AC ＜ 7+4$，即$3 ＜ AC ＜ 11$。
2. 当A、B、C三点共线时：
① 若点C在线段AB上，此时$AC = AB - BC = 7 - 4 = 3$；
② 若点C在线段AB的延长线上，此时$AC = AB + BC = 7 + 4 = 11$。
综合两种情况，可得AC的取值范围是$3≤ AC≤11$。
【答案】
$3≤ AC≤11$
【知识点】
三角形三边关系、线段和差计算、分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略三点共线的特殊情况，仅得出$3＜AC＜11$的结论，解题时需全面考虑平面内点的所有位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确同一平面内三点的两种位置关系：三点共线、三点不共线，再分别分析两种情况中AC的取值：三点不共线时构成三角形，可通过三角形三边关系得到AC的取值区间；三点共线时需分点C在线段AB上、点C在AB延长线两种情况计算AC的具体长度，最后合并所有情况的结果即可得到完整取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点不共线时，可构成△ABC，根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得：
$AB - BC ＜ AC ＜ AB + BC$
代入$AB=7$，$BC=4$，得$7-4 ＜ AC ＜ 7+4$，即$3 ＜ AC ＜ 11$。
2. 当A、B、C三点共线时：
① 若点C在线段AB上，此时$AC = AB - BC = 7 - 4 = 3$；
② 若点C在线段AB的延长线上，此时$AC = AB + BC = 7 + 4 = 11$。
综合两种情况，可得AC的取值范围是$3≤ AC≤11$。
【答案】
$3≤ AC≤11$
【知识点】
三角形三边关系、线段和差计算、分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略三点共线的特殊情况，仅得出$3＜AC＜11$的结论，解题时需全面考虑平面内点的所有位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11.从4根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的木棒中任意选3根,可以摆成
3
个不同的三角形.答案
11.3
解析
【分析】
解决这道题需分两步思考：第一步先使用枚举法，不重不漏地列出从4根木棒中任选3根的所有组合；第二步结合三角形三边关系判断每组能否构成三角形，判断时可先找出每组的最长边，只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可，若满足则该组合能构成三角形，反之则不能，这样可简化判断步骤。
【解析】
首先列出从4根木棒中任选3根的所有可能组合，共4种，逐一判断：
1. 选2cm、3cm、4cm：最长边为4cm，2+3=5＞4，满足三角形三边关系，可构成三角形；
2. 选2cm、3cm、5cm：最长边为5cm，2+3=5，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
3. 选2cm、4cm、5cm：最长边为5cm，2+4=6＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形；
4. 选3cm、4cm、5cm：最长边为5cm，3+4=7＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共3种。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系、枚举法
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题，解题核心是正确枚举所有组合并准确运用三边规则判断，易错点是容易误将“两边之和等于第三边”的组合判定为可构成三角形，也可能出现漏列、多列组合的问题，判断时优先比较短边和与最长边的大小，能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
解决这道题需分两步思考：第一步先使用枚举法，不重不漏地列出从4根木棒中任选3根的所有组合；第二步结合三角形三边关系判断每组能否构成三角形，判断时可先找出每组的最长边，只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可，若满足则该组合能构成三角形，反之则不能，这样可简化判断步骤。
【解析】
首先列出从4根木棒中任选3根的所有可能组合，共4种，逐一判断：
1. 选2cm、3cm、4cm：最长边为4cm，2+3=5＞4，满足三角形三边关系，可构成三角形；
2. 选2cm、3cm、5cm：最长边为5cm，2+3=5，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
3. 选2cm、4cm、5cm：最长边为5cm，2+4=6＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形；
4. 选3cm、4cm、5cm：最长边为5cm，3+4=7＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共3种。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系、枚举法
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题，解题核心是正确枚举所有组合并准确运用三边规则判断，易错点是容易误将“两边之和等于第三边”的组合判定为可构成三角形，也可能出现漏列、多列组合的问题，判断时优先比较短边和与最长边的大小，能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
12.(教材P6例题变式)用一条长为21 cm的铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么底边长是多少?
(2)能围成一个一边长为5 cm的等腰三角形吗?为什么?
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么底边长是多少?
(2)能围成一个一边长为5 cm的等腰三角形吗?为什么?
答案
12.(1)设底边长为x cm,则腰长为3x cm,则x+3x+3x=21,解得x=3.故底边长为3 cm (2)能.理由如下:①当腰长为5 cm时,底边长为21-5-5=11(cm),而5+5＜11,故不满足三角形三边关系,不能构成三角形;②当底边长为5 cm时,腰长为(21-5)÷2=8(cm),而5+8＞8,故能构成三角形.综上所述,能围成一个一边长为5 cm的等腰三角形,这个三角形的腰长为8 cm,底边长为5 cm
解析
【分析】
（1）第一问利用等腰三角形两腰相等的性质，结合周长公式列方程求解即可。已知腰长是底边长的3倍，可设底边长为未知数，用未知数表示腰长，再根据铁丝总长（即三角形周长）为21cm列方程计算。
（2）第二问中“一边长为5cm”没有明确是腰长还是底边长，因此需要分两种情况分类讨论，每种情况算出三边长后，必须用三角形三边关系验证是否能构成三角形，最终判断是否可行。
【解析】
(1) 设底边长为$x \, \mathrm{cm}$，则腰长为$3x \, \mathrm{cm}$，根据三角形周长为21cm列方程：
$x + 3x + 3x = 21$
解得$x = 3$，此时三边长为3cm、9cm、9cm，满足三角形三边关系，符合题意。
(2) 能围成，理由如下：
① 当腰长为5cm时，底边长为$21 - 5 - 5 = 11 \, \mathrm{cm}$，此时三边长为5cm、5cm、11cm，由于$5 + 5 ＜ 11$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，该情况舍去；
② 当底边长为5cm时，腰长为$(21 - 5) ÷ 2 = 8 \, \mathrm{cm}$，此时三边长为8cm、8cm、5cm，由于$5 + 8 ＞ 8$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上，可围成一边长为5cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 底边长为3 cm；
(2) 能，围成的等腰三角形腰长为8 cm，底边长为5 cm。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础应用题，易错点为第二问未对已知边长的类型分类讨论，或计算后忽略验证三边是否符合三角形构成条件，解题时需注意分类的全面性和结果的合理性。
【难度系数】
0.7
（1）第一问利用等腰三角形两腰相等的性质，结合周长公式列方程求解即可。已知腰长是底边长的3倍，可设底边长为未知数，用未知数表示腰长，再根据铁丝总长（即三角形周长）为21cm列方程计算。
（2）第二问中“一边长为5cm”没有明确是腰长还是底边长，因此需要分两种情况分类讨论，每种情况算出三边长后，必须用三角形三边关系验证是否能构成三角形，最终判断是否可行。
【解析】
(1) 设底边长为$x \, \mathrm{cm}$，则腰长为$3x \, \mathrm{cm}$，根据三角形周长为21cm列方程：
$x + 3x + 3x = 21$
解得$x = 3$，此时三边长为3cm、9cm、9cm，满足三角形三边关系，符合题意。
(2) 能围成，理由如下：
① 当腰长为5cm时，底边长为$21 - 5 - 5 = 11 \, \mathrm{cm}$，此时三边长为5cm、5cm、11cm，由于$5 + 5 ＜ 11$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，该情况舍去；
② 当底边长为5cm时，腰长为$(21 - 5) ÷ 2 = 8 \, \mathrm{cm}$，此时三边长为8cm、8cm、5cm，由于$5 + 8 ＞ 8$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上，可围成一边长为5cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 底边长为3 cm；
(2) 能，围成的等腰三角形腰长为8 cm，底边长为5 cm。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础应用题，易错点为第二问未对已知边长的类型分类讨论，或计算后忽略验证三边是否符合三角形构成条件，解题时需注意分类的全面性和结果的合理性。
【难度系数】
0.7
13.【分类讨论的思想】已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长.
(1)若$b,c$满足$(b-2)^2 + |c-3|=0$，且$a$为方程$|a-4|=2$的解，求$△ ABC$的周长，并判断$△ ABC$的形状；
(2)若$a=5,b=2$，且$c$为整数，求$△ ABC$的周长的最大值和最小值.
(1)若$b,c$满足$(b-2)^2 + |c-3|=0$，且$a$为方程$|a-4|=2$的解，求$△ ABC$的周长，并判断$△ ABC$的形状；
(2)若$a=5,b=2$，且$c$为整数，求$△ ABC$的周长的最大值和最小值.
答案
13.(1)
∵(b-2)²+|c-3|=0,
∴b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3,
∵a为方程|a-4|=2的解,
∴a-4=±2,解得a=6或2,
∵a,b,c为△ABC的三边长,b+c＜6,
∴a=6不合题意舍去,
∴a=2,
∴△ABC的周长为2+2+3=7,
∴△ABC是等腰三角形 (2)
∵a=5,b=2,c为整数,
∴5-2＜c＜2+5,
∴c的最小值为4,c的最大值为6,
∴△ABC的周长的最大值=5+2+6=13,最小值=5+2+4=11
∵(b-2)²+|c-3|=0,
∴b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3,
∵a为方程|a-4|=2的解,
∴a-4=±2,解得a=6或2,
∵a,b,c为△ABC的三边长,b+c＜6,
∴a=6不合题意舍去,
∴a=2,
∴△ABC的周长为2+2+3=7,
∴△ABC是等腰三角形 (2)
∵a=5,b=2,c为整数,
∴5-2＜c＜2+5,
∴c的最小值为4,c的最大值为6,
∴△ABC的周长的最大值=5+2+6=13,最小值=5+2+4=11
解析
【分析】
(1) 首先利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，求出b、c的值；再解绝对值方程得到a的两个可能取值；最后结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”舍去不符合条件的a值，计算周长后根据边长特点判断三角形形状。
(2) 先根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”求出c的取值范围，再结合c为整数的条件确定c的最大值和最小值，分别计算对应周长即可得到最值。
【解析】
(1)
∵ $(b-2)^2 ≥ 0$，$\vert c-3 \vert ≥ 0$，且$(b-2)^2 + \vert c-3 \vert = 0$
∴ $b-2=0$，$c-3=0$，解得$b=2$，$c=3$
∵ $a$为方程$\vert a-4 \vert = 2$的解
∴ $a-4=\pm2$，解得$a=6$或$a=2$
根据三角形三边关系，$b+c=2+3=5＜6$，因此$a=6$无法构成三角形，舍去
∴ $a=2$
∴ $△ ABC$的周长为$2+2+3=7$
∵ 三角形有两边长均为2，
∴ $△ ABC$是等腰三角形
(2)
已知$a=5$，$b=2$，根据三角形三边关系可得：
$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
∵ $c$为整数，
∴ $c$的可取数值为4、5、6
∴ $c$的最小值为4，最大值为6
当$c=6$时，周长最大值为$5+2+6=13$
当$c=4$时，周长最小值为$5+2+4=11$
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为7，是等腰三角形；(2) 周长的最大值为13，最小值为11
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，绝对值方程求解
【点评】
本题是基础综合题，解题时要注意对求出的边长进行验证，结合三角形三边关系舍去不符合条件的解，避免出现多解错误，体现了分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，求出b、c的值；再解绝对值方程得到a的两个可能取值；最后结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”舍去不符合条件的a值，计算周长后根据边长特点判断三角形形状。
(2) 先根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”求出c的取值范围，再结合c为整数的条件确定c的最大值和最小值，分别计算对应周长即可得到最值。
【解析】
(1)
∵ $(b-2)^2 ≥ 0$，$\vert c-3 \vert ≥ 0$，且$(b-2)^2 + \vert c-3 \vert = 0$
∴ $b-2=0$，$c-3=0$，解得$b=2$，$c=3$
∵ $a$为方程$\vert a-4 \vert = 2$的解
∴ $a-4=\pm2$，解得$a=6$或$a=2$
根据三角形三边关系，$b+c=2+3=5＜6$，因此$a=6$无法构成三角形，舍去
∴ $a=2$
∴ $△ ABC$的周长为$2+2+3=7$
∵ 三角形有两边长均为2，
∴ $△ ABC$是等腰三角形
(2)
已知$a=5$，$b=2$，根据三角形三边关系可得：
$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
∵ $c$为整数，
∴ $c$的可取数值为4、5、6
∴ $c$的最小值为4，最大值为6
当$c=6$时，周长最大值为$5+2+6=13$
当$c=4$时，周长最小值为$5+2+4=11$
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为7，是等腰三角形；(2) 周长的最大值为13，最小值为11
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，绝对值方程求解
【点评】
本题是基础综合题，解题时要注意对求出的边长进行验证，结合三角形三边关系舍去不符合条件的解，避免出现多解错误，体现了分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.7
