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1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，AD是中线，且$AD=3\ \mathrm{cm}$，则AB的长是 （
A.3 cm
B.8 cm
C.6 cm
D.5 cm
（第1题图）
（第2题图）
C
）A.3 cm
B.8 cm
C.6 cm
D.5 cm
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先从已知AB=AC判断△ABC为等腰三角形，结合AD是中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是BC边上的高，即△ADB为直角三角形。接下来先计算等腰三角形的底角∠B的度数，发现∠B=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴△ABC是等腰三角形，底角$∠ B=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AD⊥BC，即$∠ ADB=90°$，△ADB为直角三角形。
在Rt△ADB中，∠B=30°，30°角所对的直角边为AD，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AD=\frac{1}{2}AB$。
已知AD=3cm，代入得$AB=2AD=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查等腰三角形三线合一和特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是通过等腰三角形的性质构造出含30°角的直角三角形，再代入性质计算即可，是这类知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知AB=AC判断△ABC为等腰三角形，结合AD是中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是BC边上的高，即△ADB为直角三角形。接下来先计算等腰三角形的底角∠B的度数，发现∠B=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴△ABC是等腰三角形，底角$∠ B=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AD⊥BC，即$∠ ADB=90°$，△ADB为直角三角形。
在Rt△ADB中，∠B=30°，30°角所对的直角边为AD，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AD=\frac{1}{2}AB$。
已知AD=3cm，代入得$AB=2AD=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查等腰三角形三线合一和特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是通过等腰三角形的性质构造出含30°角的直角三角形，再代入性质计算即可，是这类知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
2.屋架设计图的一部分如图所示，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC.若AB=8 m，∠A=30°，则DE的长为（
A.6 m
B.4 m
C.2 m
D.1 m
C
）A.6 m
B.4 m
C.2 m
D.1 m
答案
2.C
解析
【分析】
要计算DE的长度，首先可利用已知条件先求出AD的长度：D是AB中点，AB长8m，因此AD为AB的一半即4m。又因为DE垂直于AC，可知△ADE是直角三角形，且已知∠A=30°，结合含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半），即可直接求出DE的长度。也可以先求出BC的长度，再根据中位线性质得到DE的长度，两种思路均可快速解题。
【解析】
方法一：
∵ D是AB的中点，AB=8m，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4m。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED = 90°，即△ADE为直角三角形。
在Rt△ADE中，∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×4 = 2m。
方法二：
∵ BC⊥AC，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8m，
∴ BC = $\frac{1}{2}$AB = 4m。
∵ DE⊥AC，BC⊥AC，
∴ DE//BC。
又
∵ D是AB的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2m。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是结合图形特征选择合适的性质进行推导，既可以用特殊直角三角形的性质直接求解，也可以通过中位线定理计算，两种方法都能快速得到结果，考查学生对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
要计算DE的长度，首先可利用已知条件先求出AD的长度：D是AB中点，AB长8m，因此AD为AB的一半即4m。又因为DE垂直于AC，可知△ADE是直角三角形，且已知∠A=30°，结合含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半），即可直接求出DE的长度。也可以先求出BC的长度，再根据中位线性质得到DE的长度，两种思路均可快速解题。
【解析】
方法一：
∵ D是AB的中点，AB=8m，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4m。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED = 90°，即△ADE为直角三角形。
在Rt△ADE中，∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×4 = 2m。
方法二：
∵ BC⊥AC，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8m，
∴ BC = $\frac{1}{2}$AB = 4m。
∵ DE⊥AC，BC⊥AC，
∴ DE//BC。
又
∵ D是AB的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2m。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是结合图形特征选择合适的性质进行推导，既可以用特殊直角三角形的性质直接求解，也可以通过中位线定理计算，两种方法都能快速得到结果，考查学生对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ B = ∠ C = 30°$, $P$是$BC$上的点,且$PA ⊥ AB$.求证:$BP=2PC$. 
答案
3. 证明:$\because ∠B=∠C=30°,∴AB=AC,∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.$
$\because PA⊥AB,∴∠BAP=90°.∴∠PAC=∠BAC-∠BAP=30°.∴∠PAC=∠C.∴PC=PA.∵∠B=30°,∠BAP=90°,∴BP=2PA.∴BP=2PC.$
$\because PA⊥AB,∴∠BAP=90°.∴∠PAC=∠BAC-∠BAP=30°.∴∠PAC=∠C.∴PC=PA.∵∠B=30°,∠BAP=90°,∴BP=2PA.∴BP=2PC.$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据已知的两个底角相等，结合三角形内角和定理，求出△ABC的顶角∠BAC的度数，同时判定△ABC为等腰三角形；第二步，由PA⊥AB得到∠BAP=90°，计算出∠PAC的度数，发现∠PAC与∠C相等，根据等角对等边可得PC=PA；第三步，在Rt△BAP中利用含30°角的直角三角形的性质，得到BP=2PA，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ B = ∠ C = 30°$，
$\therefore AB=AC$，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=120°$，
$\because PA ⊥ AB$，
$\therefore ∠ BAP=90°$，
$\therefore ∠ PAC=∠ BAC-∠ BAP=120°-90°=30°$，
$\therefore ∠ PAC=∠ C$，
$\therefore PC=PA$，
$\because ∠ B=30°，∠ BAP=90°$，
$\therefore BP=2PA$，
$\therefore BP=2PC$。
【答案】
$BP=2PC$，证明过程如上。
【知识点】
三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查特殊三角形的性质综合运用，解题关键是通过角度计算得到相等的角，再结合等腰三角形和含30°角直角三角形的边的性质完成推导，对角度转化能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先根据已知的两个底角相等，结合三角形内角和定理，求出△ABC的顶角∠BAC的度数，同时判定△ABC为等腰三角形；第二步，由PA⊥AB得到∠BAP=90°，计算出∠PAC的度数，发现∠PAC与∠C相等，根据等角对等边可得PC=PA；第三步，在Rt△BAP中利用含30°角的直角三角形的性质，得到BP=2PA，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ B = ∠ C = 30°$，
$\therefore AB=AC$，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=120°$，
$\because PA ⊥ AB$，
$\therefore ∠ BAP=90°$，
$\therefore ∠ PAC=∠ BAC-∠ BAP=120°-90°=30°$，
$\therefore ∠ PAC=∠ C$，
$\therefore PC=PA$，
$\because ∠ B=30°，∠ BAP=90°$，
$\therefore BP=2PA$，
$\therefore BP=2PC$。
【答案】
$BP=2PC$，证明过程如上。
【知识点】
三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查特殊三角形的性质综合运用，解题关键是通过角度计算得到相等的角，再结合等腰三角形和含30°角直角三角形的边的性质完成推导，对角度转化能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
4.如图，小明背着一桶水从山脚A处出发，沿与地面成$30°$角的山坡向上走，送水到山上的王奶奶家(B处).若$AB=80\ \mathrm{m}$，则小明从A处到B处上升的高度BC是
（第4题图）
（第5题图）
40
m.（第4题图）
（第5题图）
答案
4. 40
解析
【分析】首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知∠A=30°，斜边AB长80m，要求的BC是30°角所对的直角边。解题时只需运用含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】解：由题意得BC⊥AC，即∠C=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=80m，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×80=40(\mathrm{m})$
【答案】40
【知识点】1.含30°角的直角三角形的性质；2.解直角三角形的实际应用
【点评】本题是基础题，结合实际场景考察几何性质的应用，只要准确识别图形特征、熟记对应性质即可快速解题。
【难度系数】0.9
【解析】解：由题意得BC⊥AC，即∠C=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=80m，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×80=40(\mathrm{m})$
【答案】40
【知识点】1.含30°角的直角三角形的性质；2.解直角三角形的实际应用
【点评】本题是基础题，结合实际场景考察几何性质的应用，只要准确识别图形特征、熟记对应性质即可快速解题。
【难度系数】0.9
5.如图,一棵树在一次强台风中于离地面4 m处折断倒下,倒下的部分与地面成$30°$夹角,则这棵树在折断前的高度为
12
m.答案
5. 12
解析
【分析】首先将实际场景转化为几何模型：未折断的树干、地面、折断的树干构成直角三角形，其中未折断树干长4m，是倒下部分与地面30°夹角所对的直角边。解题时先利用含30°角的直角三角形的性质求出折断部分（即直角三角形的斜边）的长度，再将两段长度相加即可得到树折断前的总高度。
【解析】解：由题意得，未折断的树干垂直于地面，长度为4m，且是直角三角形中30°角所对的直角边。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度为 $ 2 × 4 = 8\ \mathrm{m} $。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$ 4 + 8 = 12\ \mathrm{m} $。
【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题是直角三角形性质的实际应用类题目，解题关键是建立正确的几何模型，找准30°角对应的直角边，结合对应性质计算即可。
【难度系数】0.8
【解析】解：由题意得，未折断的树干垂直于地面，长度为4m，且是直角三角形中30°角所对的直角边。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度为 $ 2 × 4 = 8\ \mathrm{m} $。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$ 4 + 8 = 12\ \mathrm{m} $。
【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题是直角三角形性质的实际应用类题目，解题关键是建立正确的几何模型，找准30°角对应的直角边，结合对应性质计算即可。
【难度系数】0.8
6.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=15°,D$是$BC$上一点,连接$AD$.若$∠ DAC=60°,AC=4$,则$BD$的长为 (
A.8
B.10
C.12
D.16
（第6题图）
（第7题图）
A
)A.8
B.10
C.12
D.16
（第6题图）
（第7题图）
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形两锐角互余计算相关角的度数：首先在Rt△ABC中求出∠BAC的度数，结合已知∠DAC的度数算出∠BAD的度数，可发现∠BAD与∠B相等，根据等角对等边得到BD=AD；再在Rt△ADC中利用含30°角的直角三角形的性质求出AD的长度，即可得到BD的长。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-15°=75°，
∵∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=75°-60°=15°，
∴∠BAD=∠B，
∴BD=AD（等角对等边）。
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=60°，
∴∠ADC=90°-∠DAC=30°，
∵在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，AC是∠ADC所对的直角边，AD是斜边，
∴AD=2AC=2×4=8，
∴BD=AD=8。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等角对等边；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算题，解题核心是通过角度推导得到相等的角，进而转化为边的等量关系，再结合特殊直角三角形的性质求解，需要熟练掌握角度计算和特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直角三角形两锐角互余计算相关角的度数：首先在Rt△ABC中求出∠BAC的度数，结合已知∠DAC的度数算出∠BAD的度数，可发现∠BAD与∠B相等，根据等角对等边得到BD=AD；再在Rt△ADC中利用含30°角的直角三角形的性质求出AD的长度，即可得到BD的长。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-15°=75°，
∵∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=75°-60°=15°，
∴∠BAD=∠B，
∴BD=AD（等角对等边）。
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=60°，
∴∠ADC=90°-∠DAC=30°，
∵在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，AC是∠ADC所对的直角边，AD是斜边，
∴AD=2AC=2×4=8，
∴BD=AD=8。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等角对等边；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算题，解题核心是通过角度推导得到相等的角，进而转化为边的等量关系，再结合特殊直角三角形的性质求解，需要熟练掌握角度计算和特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D。若$BD=12$，则CD的长为
6
。答案
7.6
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：出现AB的垂直平分线，首先想到利用垂直平分线的性质，连接辅助线AD，得到AD=BD，将已知的BD长度转化为AD的长度；再结合等腰三角形等边对等角的性质，得到∠BAD=∠B=30°；接下来利用直角三角形两锐角互余算出∠BAC的度数，进而求出∠DAC的度数；最后在Rt△ADC中，运用含30°角的直角三角形的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：连接AD
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=12（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠BAD=∠B=30°（等边对等角）。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°。
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}×12=6$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
【答案】
6
【知识点】
1.线段垂直平分线性质
2.等腰三角形性质
3.含30°直角三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过连接辅助线AD，将分散的条件整合到同一个直角三角形中，熟练掌握各类基本几何性质就能快速求解，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干条件：出现AB的垂直平分线，首先想到利用垂直平分线的性质，连接辅助线AD，得到AD=BD，将已知的BD长度转化为AD的长度；再结合等腰三角形等边对等角的性质，得到∠BAD=∠B=30°；接下来利用直角三角形两锐角互余算出∠BAC的度数，进而求出∠DAC的度数；最后在Rt△ADC中，运用含30°角的直角三角形的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：连接AD
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=12（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠BAD=∠B=30°（等边对等角）。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°。
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}×12=6$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
【答案】
6
【知识点】
1.线段垂直平分线性质
2.等腰三角形性质
3.含30°直角三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过连接辅助线AD，将分散的条件整合到同一个直角三角形中，熟练掌握各类基本几何性质就能快速求解，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
8.(教材P150例4变式)如图,一条船上午8时从海岛A出发,以15 n mile/h的速度向正北方向航行,上午10时到达海岛B处,分别从A,B处望灯塔C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°.
(1)求海岛B到灯塔C的距离;
(2)若这条船继续向正北方向航行,则什么时间船与灯塔C的距离最短?
(1)求海岛B到灯塔C的距离;
(2)若这条船继续向正北方向航行,则什么时间船与灯塔C的距离最短?
答案
8. 解:(1)由题意,得 $AB=15×(10-8)=30(\mathrm{n\ mile}).\because ∠NBC=60°,$
$∠NAC=30°,∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°.∴∠ACB=∠NAC.∴BC=AB=30\ \mathrm{n\ mile}.$
∴海岛 $B$ 到灯塔 $C$ 的距离为 $30\ \mathrm{n\ mile}.$ (2)过点 $C$ 作 $CP⊥AB$ 于点 $P.$ 根据垂线段最短,知线段 $CP$ 的长为船与灯塔 $C$ 的最短距离,$∠BPC=90°.$ 又 $\because ∠NBC=60°,∴∠PCB=90°-∠NBC=30°.∴BP=\dfrac{1}{2}BC=15\ \mathrm{n\ mile}.$
∴船从海岛 $B$ 到点 $P$ 的航行时间为 $15÷15=1(\mathrm{h}).∴$ 若这条船继续向正北方向航行,上午 11 时船与灯塔 $C$ 的距离最短.
$∠NAC=30°,∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°.∴∠ACB=∠NAC.∴BC=AB=30\ \mathrm{n\ mile}.$
∴海岛 $B$ 到灯塔 $C$ 的距离为 $30\ \mathrm{n\ mile}.$ (2)过点 $C$ 作 $CP⊥AB$ 于点 $P.$ 根据垂线段最短,知线段 $CP$ 的长为船与灯塔 $C$ 的最短距离,$∠BPC=90°.$ 又 $\because ∠NBC=60°,∴∠PCB=90°-∠NBC=30°.∴BP=\dfrac{1}{2}BC=15\ \mathrm{n\ mile}.$
∴船从海岛 $B$ 到点 $P$ 的航行时间为 $15÷15=1(\mathrm{h}).∴$ 若这条船继续向正北方向航行,上午 11 时船与灯塔 $C$ 的距离最短.
解析
【分析】
（1）首先根据航行的速度和时间计算出AB的长度，再利用三角形外角的性质，求出∠ACB的度数，发现∠ACB和∠NAC相等，根据等角对等边即可得到BC=AB，从而求出海岛B到灯塔C的距离。
（2）根据垂线段最短的性质，过C作AN的垂线，垂足就是船与灯塔C距离最短的位置，此时△BCP是含60°角的直角三角形，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BP的长度，再结合航行速度算出航行时间，加上10时即可得到对应的时刻。
【解析】
(1) 由题意得，船从A到B的航行时间为$10-8=2(\mathrm{h})$，
$\therefore AB=15×2=30(\mathrm{n\ mile})$。
$\because ∠NBC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠NBC=∠NAC+∠ACB$，
又$\because ∠NBC=60°$，$∠NAC=30°$，
$\therefore ∠ACB=∠NBC-∠NAC=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ACB=∠NAC$，
$\therefore BC=AB=30(\mathrm{n\ mile})$。
(2) 过点$C$作$CP⊥AN$于点$P$，根据垂线段最短可知，点$P$处的船到灯塔$C$的距离最短，即$∠BPC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，$∠PBC=60°$，
$\therefore ∠PCB=90°-60°=30°$，
$\therefore BP=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×30=15(\mathrm{n\ mile})$，
船从$B$到$P$的航行时间为$15÷15=1(\mathrm{h})$，
$10\mathrm{时}+1\mathrm{时}=11\mathrm{时}$。
【答案】
(1) 海岛B到灯塔C的距离为$\boldsymbol{30\ \mathrm{n\ mile}}$；
(2) $\boldsymbol{上午11时}$船与灯塔C的距离最短。
【知识点】
等角对等边，含30°角的直角三角形性质，垂线段最短
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何性质的应用，解题时先将实际问题转化为几何模型，再利用等腰三角形、特殊直角三角形的性质求解边的关系，最后结合行程公式计算时间即可，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据航行的速度和时间计算出AB的长度，再利用三角形外角的性质，求出∠ACB的度数，发现∠ACB和∠NAC相等，根据等角对等边即可得到BC=AB，从而求出海岛B到灯塔C的距离。
（2）根据垂线段最短的性质，过C作AN的垂线，垂足就是船与灯塔C距离最短的位置，此时△BCP是含60°角的直角三角形，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BP的长度，再结合航行速度算出航行时间，加上10时即可得到对应的时刻。
【解析】
(1) 由题意得，船从A到B的航行时间为$10-8=2(\mathrm{h})$，
$\therefore AB=15×2=30(\mathrm{n\ mile})$。
$\because ∠NBC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠NBC=∠NAC+∠ACB$，
又$\because ∠NBC=60°$，$∠NAC=30°$，
$\therefore ∠ACB=∠NBC-∠NAC=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ACB=∠NAC$，
$\therefore BC=AB=30(\mathrm{n\ mile})$。
(2) 过点$C$作$CP⊥AN$于点$P$，根据垂线段最短可知，点$P$处的船到灯塔$C$的距离最短，即$∠BPC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，$∠PBC=60°$，
$\therefore ∠PCB=90°-60°=30°$，
$\therefore BP=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×30=15(\mathrm{n\ mile})$，
船从$B$到$P$的航行时间为$15÷15=1(\mathrm{h})$，
$10\mathrm{时}+1\mathrm{时}=11\mathrm{时}$。
【答案】
(1) 海岛B到灯塔C的距离为$\boldsymbol{30\ \mathrm{n\ mile}}$；
(2) $\boldsymbol{上午11时}$船与灯塔C的距离最短。
【知识点】
等角对等边，含30°角的直角三角形性质，垂线段最短
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何性质的应用，解题时先将实际问题转化为几何模型，再利用等腰三角形、特殊直角三角形的性质求解边的关系，最后结合行程公式计算时间即可，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
