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1.「2025四川广安中考」公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数$\sqrt{2}$。他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”。请估计$\sqrt{2}$的值在（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
A
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
因为1＜2＜4,所以1＜√2＜2，所以√2的值在1和2之间.故选A.
2.「2025四川成都中考」中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?其大意是:今有良田1亩,价值300钱;劣田7亩,价值500钱.今合买良、劣田1顷(100亩),价值10 000钱.问良田、劣田各有多少亩?设良田有x亩,劣田有y亩,则可列方程组为 (
A.$\begin{cases} x+y=100 \\ 300x+\dfrac{500}{7}y=10\ 000 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=100 \\ 300y+\dfrac{500}{7}x=10\ 000 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=100 \\ 300x+500y=10\ 000 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=100 \\ 300y+500x=10\ 000 \end{cases}$
A
)A.$\begin{cases} x+y=100 \\ 300x+\dfrac{500}{7}y=10\ 000 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=100 \\ 300y+\dfrac{500}{7}x=10\ 000 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=100 \\ 300x+500y=10\ 000 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=100 \\ 300y+500x=10\ 000 \end{cases}$
答案
根据“合买良、劣田1顷(100亩)”可得方程x+y=100,根据“100亩田价值10 000钱”可得方程$300x+\dfrac{500}{7}y=10\ 000$,故可列方程组为$\begin{cases} x+y=100, \\ 300x+\dfrac{500}{7}y=10\ 000. \end{cases}$故选A.
3.「2025湖北武汉中考」“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，人们根据壶中水面的位置计算时间.壶中水面高度$ y $（单位：cm）随漏水时间$ t $（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）.水面高度从48 cm变化到42 cm所用的时间是（
A.3 h
B.4 h
C.6 h
D.12 h
A
）A.3 h
B.4 h
C.6 h
D.12 h
答案
由题图得,壶中水面高度的下降速度为$\dfrac{48}{24}=2(\mathrm{cm/h})$,所以水面高度从48 cm变化到42 cm所用的时间是$\dfrac{48-42}{2}=3(\mathrm{h})$.故选A.
4.「2025江苏南通中考」我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式:一个三角形的三边长分别为a,b,c,三角形的面积S=
.若$a=2\sqrt{2},b=3,c=1$,则S的值为
.若$a=2\sqrt{2},b=3,c=1$,则S的值为$\sqrt{2}$
.答案
答案 $\sqrt{2}$
解析 由题意得 $S=\sqrt{\dfrac{1}{4}[a^2b^2-(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}×[8×9-(\dfrac{8+9-1}{2})^2]}=\sqrt{\dfrac{1}{4}×(72-8^2)}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}×8}=\sqrt{2}.$
解析 由题意得 $S=\sqrt{\dfrac{1}{4}[a^2b^2-(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}×[8×9-(\dfrac{8+9-1}{2})^2]}=\sqrt{\dfrac{1}{4}×(72-8^2)}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}×8}=\sqrt{2}.$
5.「2025广东中考」《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?
答案
(1)24.
(2)$a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)$,其中$m＞n$,m,n,k为正整数.
证明:$a^2+b^2=k^2(m^2-n^2)^2+4k^2m^2n^2$
$=k^2(m^4+n^4-2m^2n^2+4m^2n^2)$
$=k^2(m^4+n^4+2m^2n^2)$
$=k^2(m^2+n^2)^2$,
因为$c^2=k^2(m^2+n^2)^2$,
所以$a^2+b^2=c^2$.(答案不唯一)
(3)根据题意可知20 m,21 m,29 m是符合题意且种花最少的三角形三边长,则一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29=70(m),
因为图案是由四个全等的直角三角形组成的,
所以这块绿地最少需要种花70×4=280(株).
(2)$a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)$,其中$m＞n$,m,n,k为正整数.
证明:$a^2+b^2=k^2(m^2-n^2)^2+4k^2m^2n^2$
$=k^2(m^4+n^4-2m^2n^2+4m^2n^2)$
$=k^2(m^4+n^4+2m^2n^2)$
$=k^2(m^2+n^2)^2$,
因为$c^2=k^2(m^2+n^2)^2$,
所以$a^2+b^2=c^2$.(答案不唯一)
(3)根据题意可知20 m,21 m,29 m是符合题意且种花最少的三角形三边长,则一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29=70(m),
因为图案是由四个全等的直角三角形组成的,
所以这块绿地最少需要种花70×4=280(株).
