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1.「2026福建厦门期中」若二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是（
A.$x_1=-1,x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
C
）A.$x_1=-1,x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
答案
1.C 由图象可知,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的公共点坐标分别为$(1,0),(3,0),\therefore$ 关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=1,x_2=3$.故选 C.
解析
【分析】
解答本题首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。因此解题时只需从给出的函数图象中，找到抛物线与x轴交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。
观察题图可得，二次函数图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，因此关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1$，$x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的解的对应关系，结合图象可直接得出结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。因此解题时只需从给出的函数图象中，找到抛物线与x轴交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。
观察题图可得，二次函数图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，因此关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1$，$x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的解的对应关系，结合图象可直接得出结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
2.「2026浙江杭州月考」抛物线$y=x^2+4x+5$与坐标轴的公共点个数为（
A.3
B.2
C.1
D.0
C
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
2.C 当$x=0$时,$y=x^2+4x+5=5,\therefore$ 抛物线与y轴的公共点坐标为$(0,5)$,当$y=0$时,$x^2+4x+5=0,\because \Delta=4^2-4×1×5=-4＜0,\therefore$ 抛物线与x轴无公共点.综上所述,抛物线与坐标轴的公共点个数为 1.故选 C.
解析
【分析】
要确定抛物线与坐标轴的公共点个数，需分两类讨论：①求抛物线与y轴的公共点，只需令x=0，代入解析式计算y值即可得到交点；②求抛物线与x轴的公共点，需令y=0，转化为判断对应一元二次方程的实根个数，可通过根的判别式Δ判断，最后将两类交点个数相加就是总公共点个数。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的公共点：
当x=0时，代入解析式得$y=0^2+4×0+5=5$，因此抛物线与y轴的公共点为$(0,5)$，共1个。
2. 求抛物线与x轴的公共点：
当y=0时，得到一元二次方程$x^2+4x+5=0$，计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，说明该方程无实数根，因此抛物线与x轴没有公共点。
综上，抛物线与坐标轴的公共点总个数为1，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是分情况讨论抛物线与x轴、y轴的交点，注意不要漏算与y轴的交点，也不要忽略用判别式判断抛物线与x轴的交点个数。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线与坐标轴的公共点个数，需分两类讨论：①求抛物线与y轴的公共点，只需令x=0，代入解析式计算y值即可得到交点；②求抛物线与x轴的公共点，需令y=0，转化为判断对应一元二次方程的实根个数，可通过根的判别式Δ判断，最后将两类交点个数相加就是总公共点个数。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的公共点：
当x=0时，代入解析式得$y=0^2+4×0+5=5$，因此抛物线与y轴的公共点为$(0,5)$，共1个。
2. 求抛物线与x轴的公共点：
当y=0时，得到一元二次方程$x^2+4x+5=0$，计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，说明该方程无实数根，因此抛物线与x轴没有公共点。
综上，抛物线与坐标轴的公共点总个数为1，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是分情况讨论抛物线与x轴、y轴的交点，注意不要漏算与y轴的交点，也不要忽略用判别式判断抛物线与x轴的交点个数。
【难度系数】
0.7
3.「2026江苏徐州期中」若抛物线$y=x^2 -2x -k$与x轴没有公共点，则k的取值范围为
k＜-1
。答案
3.答案 $k＜-1$
解析 $\because$ 抛物线$y=x^2-2x-k$与x轴没有公共点,
$\therefore (-2)^2-4(-k)＜0$,解得$k＜-1$.
解析 $\because$ 抛物线$y=x^2-2x-k$与x轴没有公共点,
$\therefore (-2)^2-4(-k)＜0$,解得$k＜-1$.
解析
【分析】
要确定k的取值范围，首先明确二次函数图象与x轴没有公共点的等价条件：对应的一元二次方程没有实数根，此时一元二次方程的根的判别式Δ＜0。先找出抛物线对应一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2-2x-k$与x轴没有公共点，
∴ 对应的一元二次方程$x^2-2x-k=0$没有实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-k$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1×(-k) ＜ 0$，
化简得$4 + 4k ＜ 0$，
移项得$4k ＜ -4$，
两边同时除以4得$k ＜ -1$。
【答案】
$k＜-1$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，代入系数时要注意常数项的符号，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，首先明确二次函数图象与x轴没有公共点的等价条件：对应的一元二次方程没有实数根，此时一元二次方程的根的判别式Δ＜0。先找出抛物线对应一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2-2x-k$与x轴没有公共点，
∴ 对应的一元二次方程$x^2-2x-k=0$没有实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-k$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1×(-k) ＜ 0$，
化简得$4 + 4k ＜ 0$，
移项得$4k ＜ -4$，
两边同时除以4得$k ＜ -1$。
【答案】
$k＜-1$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，代入系数时要注意常数项的符号，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
4.「2026江苏苏州张家港月考」抛物线$y=(x-1)^2 + t$与x轴的两个公共点之间的距离为4，则t的值是
-4
。答案
4.答案 $-4$
解析 由$y=(x-1)^2+t$,得抛物线对称轴为直线$x=1$,
$\because$ 抛物线与x轴的两个公共点之间的距离为4,$\therefore$ 抛物线与x轴的公共点坐标分别为$(1-2,0),(1+2,0)$,即$(-1,0),(3,0)$,把$(-1,0)$代入解析式,得$(-1-1)^2+t=0,\therefore t=-4$.
解析 由$y=(x-1)^2+t$,得抛物线对称轴为直线$x=1$,
$\because$ 抛物线与x轴的两个公共点之间的距离为4,$\therefore$ 抛物线与x轴的公共点坐标分别为$(1-2,0),(1+2,0)$,即$(-1,0),(3,0)$,把$(-1,0)$代入解析式,得$(-1-1)^2+t=0,\therefore t=-4$.
解析
【分析】
解题时首先根据抛物线的顶点式确定对称轴，再结合抛物线的轴对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知两个交点的距离为4，可推出两个交点到对称轴的距离均为2，由此得到两个交点的具体坐标，最后将交点坐标代入抛物线解析式即可求出t的值。
【解析】
对于抛物线$y=(x-1)^2 + t$，可知其对称轴为直线$x=1$。
∵抛物线与x轴的两个公共点之间的距离为4，且两个公共点关于对称轴对称，
∴两个公共点到对称轴$x=1$的距离均为$4÷2=2$，
则两个公共点的坐标分别为$(1-2,0)$、$(1+2,0)$，即$(-1,0)$、$(3,0)$。
将点$(-1,0)$代入抛物线解析式，得：
$(-1-1)^2 + t = 0$
$4 + t = 0$
解得$t=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与x轴交点；抛物线顶点式
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题核心是利用抛物线的轴对称性快速确定交点坐标，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据抛物线的顶点式确定对称轴，再结合抛物线的轴对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知两个交点的距离为4，可推出两个交点到对称轴的距离均为2，由此得到两个交点的具体坐标，最后将交点坐标代入抛物线解析式即可求出t的值。
【解析】
对于抛物线$y=(x-1)^2 + t$，可知其对称轴为直线$x=1$。
∵抛物线与x轴的两个公共点之间的距离为4，且两个公共点关于对称轴对称，
∴两个公共点到对称轴$x=1$的距离均为$4÷2=2$，
则两个公共点的坐标分别为$(1-2,0)$、$(1+2,0)$，即$(-1,0)$、$(3,0)$。
将点$(-1,0)$代入抛物线解析式，得：
$(-1-1)^2 + t = 0$
$4 + t = 0$
解得$t=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与x轴交点；抛物线顶点式
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题核心是利用抛物线的轴对称性快速确定交点坐标，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
5.「2026海南文昌月考」二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是（
A.$x＜-1$
B.$x＞3$
C.$-1＜x＜3$
D.$x＜-1$或$x＞3$
D
）A.$x＜-1$
B.$x＞3$
C.$-1＜x＜3$
D.$x＜-1$或$x＞3$
答案
5.D $\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交于点$(-1,0),(3,0)$,开口向上,$\therefore$ 关于x的不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$x＜-1$或$x＞3$.故选 D.
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，首先要明确该不等式的几何意义：即求二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值大于0时对应的自变量$x$的取值范围，也就是函数图像位于x轴上方部分对应的$x$的范围。解题时先从图像中提取两个关键信息：一是抛物线与x轴的交点坐标，二是抛物线的开口方向，再结合这两个信息判断x轴上方图像对应的x范围即可。
【解析】
由二次函数图像可知：
1. 抛物线开口向上，且与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$；
2. 不等式$ax^2+bx+c＞0$对应$y＞0$的情况，即函数图像在x轴上方的部分；
3. 开口向上的抛物线，x轴上方的部分对应两个交点的外侧区域，即$x＜-1$或$x＞3$。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与不等式、二次函数图像性质
【点评】
本题考查借助二次函数图像求解一元二次不等式的能力，解题核心是掌握函数值的正负与图像和x轴位置关系的对应规律，结合开口方向和交点坐标即可快速得到解集。
【难度系数】
0.8
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，首先要明确该不等式的几何意义：即求二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值大于0时对应的自变量$x$的取值范围，也就是函数图像位于x轴上方部分对应的$x$的范围。解题时先从图像中提取两个关键信息：一是抛物线与x轴的交点坐标，二是抛物线的开口方向，再结合这两个信息判断x轴上方图像对应的x范围即可。
【解析】
由二次函数图像可知：
1. 抛物线开口向上，且与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$；
2. 不等式$ax^2+bx+c＞0$对应$y＞0$的情况，即函数图像在x轴上方的部分；
3. 开口向上的抛物线，x轴上方的部分对应两个交点的外侧区域，即$x＜-1$或$x＞3$。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与不等式、二次函数图像性质
【点评】
本题考查借助二次函数图像求解一元二次不等式的能力，解题核心是掌握函数值的正负与图像和x轴位置关系的对应规律，结合开口方向和交点坐标即可快速得到解集。
【难度系数】
0.8
6.「2026北京朝阳期中」如图，抛物线$y_1=ax^2+bx+c$与直线$y_2=mx+n$的公共点A,B的坐标分别为$(1,-2)$,$(7,1)$,则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c≥ mx+n$的解集为
x≤1或x≥7
。答案
6.答案 $x≤1$ 或 $x≥7$
解析 由图象可知,当$x=1$或$x=7$时,$y_1=y_2$;当$x＜1$或$x＞7$时,抛物线在直线上方,此时$y_1＞y_2,\therefore$ 关于x的不等式$ax^2+bx+c≥mx+n$的解集为$x≤1$或$x≥7$.
解析 由图象可知,当$x=1$或$x=7$时,$y_1=y_2$;当$x＜1$或$x＞7$时,抛物线在直线上方,此时$y_1＞y_2,\therefore$ 关于x的不等式$ax^2+bx+c≥mx+n$的解集为$x≤1$或$x≥7$.
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c≥ mx+n$，本质是找抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的函数值大于等于直线$y_2=mx+n$的函数值时对应的$x$的取值范围，对应到图像上就是抛物线位于直线上方（包括交点位置）的部分所对应的横坐标范围。已知两个函数的交点为$A(1,-2)$和$B(7,1)$，只需观察图像中抛物线在直线上方时$x$的取值即可得到解集。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c≥ mx+n$等价于$y_1≥ y_2$，对应函数图像中抛物线在直线上方（含交点）的情况：
已知两函数交点为$A(1,-2)$、$B(7,1)$，观察图像可得：
当$x≤1$或$x≥7$时，抛物线在直线上方，满足$y_1≥ y_2$，
因此不等式$ax^2+bx+c≥ mx+n$的解集为$x≤1$或$x≥7$。
【答案】
$x≤1$或$x≥7$
【知识点】
二次函数与不等式；图像法解不等式；函数交点的意义
【点评】
本题考查借助函数图像求解不等式的能力，解题核心是理解函数值的大小关系与图像上下位置的对应关系，属于基础类考题，结合图像即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解不等式$ax^2+bx+c≥ mx+n$，本质是找抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的函数值大于等于直线$y_2=mx+n$的函数值时对应的$x$的取值范围，对应到图像上就是抛物线位于直线上方（包括交点位置）的部分所对应的横坐标范围。已知两个函数的交点为$A(1,-2)$和$B(7,1)$，只需观察图像中抛物线在直线上方时$x$的取值即可得到解集。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c≥ mx+n$等价于$y_1≥ y_2$，对应函数图像中抛物线在直线上方（含交点）的情况：
已知两函数交点为$A(1,-2)$、$B(7,1)$，观察图像可得：
当$x≤1$或$x≥7$时，抛物线在直线上方，满足$y_1≥ y_2$，
因此不等式$ax^2+bx+c≥ mx+n$的解集为$x≤1$或$x≥7$。
【答案】
$x≤1$或$x≥7$
【知识点】
二次函数与不等式；图像法解不等式；函数交点的意义
【点评】
本题考查借助函数图像求解不等式的能力，解题核心是理解函数值的大小关系与图像上下位置的对应关系，属于基础类考题，结合图像即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.「2026河南洛阳期中」根据下列表格中二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数值$y$的对应值，可以判断关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解$x$的范围是（
A.$1.2＜x＜1.3$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1＜x＜1.1$
D.$0.5＜x＜1$
B
）A.$1.2＜x＜1.3$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1＜x＜1.1$
D.$0.5＜x＜1$
答案
7.B $\because$ 当$x=1.2$时,$y=0.84＞0$,当$x=1.1$时,$y=-0.59＜0$,$\therefore$ 关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的一个解x在 1.1 和1.2之间.故选 B.
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。二次函数的图象是连续的抛物线，当两个相邻自变量对应的函数值一正一负时，两个自变量之间必然存在一个值使得$y=0$。因此我们只需观察表格中$y$值的正负变化，找到$y$从负变正（或正变负）对应的相邻$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格中的数据：
当$x=1.1$时，$y=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$y=0.84＞0$。
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此在$1.1＜x＜1.2$的范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$1.1＜x＜1.2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系 2.一元二次方程解的估算
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是理解二次函数的函数值和对应一元二次方程解的关联，通过函数值的正负变化即可快速判断解的范围，考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。二次函数的图象是连续的抛物线，当两个相邻自变量对应的函数值一正一负时，两个自变量之间必然存在一个值使得$y=0$。因此我们只需观察表格中$y$值的正负变化，找到$y$从负变正（或正变负）对应的相邻$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格中的数据：
当$x=1.1$时，$y=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$y=0.84＞0$。
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此在$1.1＜x＜1.2$的范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$1.1＜x＜1.2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系 2.一元二次方程解的估算
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是理解二次函数的函数值和对应一元二次方程解的关联，通过函数值的正负变化即可快速判断解的范围，考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
8.二次函数$y=2x^2+4x-1$的图象如图所示，若方程$2x^2+4x-1=0$的一个近似根是-2.2，则方程的另一个近似根为
0.2
.(结果精确到0.1)答案
8.答案 0.2
解析 由题意可知抛物线与x轴的一个公共点的横坐标大约为-2.2,$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$,
$\therefore$ 另一个公共点的横坐标大约为 0.2,则方程的另一个近似根为 0.2.
解析 由题意可知抛物线与x轴的一个公共点的横坐标大约为-2.2,$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$,
$\therefore$ 另一个公共点的横坐标大约为 0.2,则方程的另一个近似根为 0.2.
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，二次函数的图象是轴对称图形，两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点横坐标的平均数等于对称轴对应的x值。已知其中一个根和对称轴，利用对称性质即可求出另一个根。
【解析】
一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的根是二次函数$y=2x^2+4x-1$的图象与x轴交点的横坐标，因此两个交点关于抛物线的对称轴对称。
由题意知抛物线对称轴为直线$x=-1$，其中一个交点的近似横坐标为$-2.2$，设另一个交点的近似横坐标为$x$，根据对称性质可得：
$\frac{x + (-2.2)}{2} = -1$
解得$x = -1×2 - (-2.2) = 0.2$
即方程的另一个近似根为0.2。
【答案】
0.2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是建立方程的根与二次函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，再结合二次函数的轴对称性质即可快速求解，避免了直接解方程的繁琐。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，二次函数的图象是轴对称图形，两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点横坐标的平均数等于对称轴对应的x值。已知其中一个根和对称轴，利用对称性质即可求出另一个根。
【解析】
一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的根是二次函数$y=2x^2+4x-1$的图象与x轴交点的横坐标，因此两个交点关于抛物线的对称轴对称。
由题意知抛物线对称轴为直线$x=-1$，其中一个交点的近似横坐标为$-2.2$，设另一个交点的近似横坐标为$x$，根据对称性质可得：
$\frac{x + (-2.2)}{2} = -1$
解得$x = -1×2 - (-2.2) = 0.2$
即方程的另一个近似根为0.2。
【答案】
0.2
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是建立方程的根与二次函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，再结合二次函数的轴对称性质即可快速求解，避免了直接解方程的繁琐。
【难度系数】
0.8
9. 学科特色多解法「2024四川达州中考，★☆」抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于两点，其中一个公共点的横坐标大于1，另一个公共点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（
A.$b+c＞1$
B.$b=2$
C.$b^2+4c＜0$
D.$c＜0$
A
）A.$b+c＞1$
B.$b=2$
C.$b^2+4c＜0$
D.$c＜0$
答案
9.A 抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于两点,设这两点分别为$(x_1,0)$和$(x_2,0)$,且$x_1＜1,x_2＞1$.
【解法一】根与系数关系法:$\because x_1＜1,x_2＞1,\therefore x_1-1＜0$,$x_2-1＞0,\therefore (x_1-1)(x_2-1)＜0,\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1＜0$,由根与系数的关系可得,$-c-b+1＜0,\therefore b+c＞1$.故选 A.
【解法二】图象法:$\because y=-x^2+bx+c$的图象开口向下,$\therefore$ 当$x=1$时,$y=-1+b+c＞0,\therefore b+c＞1$.故选 A.
【解法一】根与系数关系法:$\because x_1＜1,x_2＞1,\therefore x_1-1＜0$,$x_2-1＞0,\therefore (x_1-1)(x_2-1)＜0,\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1＜0$,由根与系数的关系可得,$-c-b+1＜0,\therefore b+c＞1$.故选 A.
【解法二】图象法:$\because y=-x^2+bx+c$的图象开口向下,$\therefore$ 当$x=1$时,$y=-1+b+c＞0,\therefore b+c＞1$.故选 A.
解析
【分析】
本题是二次函数与x轴交点分布类的选择题，可从两个思路切入解题：①利用二次函数图象性质：抛物线开口向下，若两个x轴交点在x=1两侧，则x=1的位置在两根之间，对应的函数值必然大于0，代入x=1即可推导结论；②利用根与系数的关系：将两根分别减1，根据异号相乘小于0展开，再代入韦达公式推导。此外做选择题也可结合排除法，逐一验证错误选项即可。
【解析】
已知抛物线$y=-x^2+bx+c$开口向下，与x轴交于两点$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，且$x_1＜1$，$x_2＞1$。
解法一（图象法）：
因为抛物线开口向下，所以当x取值在两个零点之间时，函数值$y＞0$。由于$1$在$x_1$和$x_2$之间，将$x=1$代入抛物线解析式得：
$y=-1^2 + b×1 + c = b+c-1 ＞ 0$
整理得$b+c＞1$，故A正确。
逐一排除其他选项：
B. 题目未给出其余限定条件，$b$的值不固定，不一定等于2，错误；
C. 抛物线与x轴有两个交点，判别式$\Delta = b^2 - 4×(-1)× c = b^2+4c ＞ 0$，错误；
D. 举反例：当$b=3$，$c=0$时，抛物线为$y=-x^2+3x$，与x轴交点为$(0,0)$和$(3,0)$，满足题意，此时$c=0$，故$c$不一定小于0，错误。
解法二（根与系数关系法）：
由题意得$x_1-1＜0$，$x_2-1＞0$，因此$(x_1-1)(x_2-1)＜0$，展开得：
$x_1x_2 - (x_1+x_2) +1 ＜0$
对于方程$-x^2+bx+c=0$，由根与系数的关系可知$x_1+x_2 = b$，$x_1x_2 = -c$，代入上式得：
$-c -b +1 ＜0$
整理得$b+c＞1$，故A正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 根与系数的关系
3. 二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数零点分布问题，两种解法分别从几何性质和代数推导两个角度切入，难度较低，做选择题时可优先用图象法快速得到结论，也可结合排除法验证其余错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数与x轴交点分布类的选择题，可从两个思路切入解题：①利用二次函数图象性质：抛物线开口向下，若两个x轴交点在x=1两侧，则x=1的位置在两根之间，对应的函数值必然大于0，代入x=1即可推导结论；②利用根与系数的关系：将两根分别减1，根据异号相乘小于0展开，再代入韦达公式推导。此外做选择题也可结合排除法，逐一验证错误选项即可。
【解析】
已知抛物线$y=-x^2+bx+c$开口向下，与x轴交于两点$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，且$x_1＜1$，$x_2＞1$。
解法一（图象法）：
因为抛物线开口向下，所以当x取值在两个零点之间时，函数值$y＞0$。由于$1$在$x_1$和$x_2$之间，将$x=1$代入抛物线解析式得：
$y=-1^2 + b×1 + c = b+c-1 ＞ 0$
整理得$b+c＞1$，故A正确。
逐一排除其他选项：
B. 题目未给出其余限定条件，$b$的值不固定，不一定等于2，错误；
C. 抛物线与x轴有两个交点，判别式$\Delta = b^2 - 4×(-1)× c = b^2+4c ＞ 0$，错误；
D. 举反例：当$b=3$，$c=0$时，抛物线为$y=-x^2+3x$，与x轴交点为$(0,0)$和$(3,0)$，满足题意，此时$c=0$，故$c$不一定小于0，错误。
解法二（根与系数关系法）：
由题意得$x_1-1＜0$，$x_2-1＞0$，因此$(x_1-1)(x_2-1)＜0$，展开得：
$x_1x_2 - (x_1+x_2) +1 ＜0$
对于方程$-x^2+bx+c=0$，由根与系数的关系可知$x_1+x_2 = b$，$x_1x_2 = -c$，代入上式得：
$-c -b +1 ＜0$
整理得$b+c＞1$，故A正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 根与系数的关系
3. 二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数零点分布问题，两种解法分别从几何性质和代数推导两个角度切入，难度较低，做选择题时可优先用图象法快速得到结论，也可结合排除法验证其余错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10.「★☆」已知$ m＞n＞0 $，若关于$ x $的方程$ x^2+2x-3-m=0 $的解为$ x_1,x_2(x_1＜x_2) $，关于$ x $的方程$ x^2+2x-3-n=0 $的解为$ x_3,x_4(x_3＜x_4) $，则下列结论正确的是（
A.$ x_3＜x_1＜x_2＜x_4 $
B.$ x_1＜x_3＜x_4＜x_2 $
C.$ x_1＜x_2＜x_3＜x_4 $
D.$ x_3＜x_4＜x_1＜x_2 $
B
）A.$ x_3＜x_1＜x_2＜x_4 $
B.$ x_1＜x_3＜x_4＜x_2 $
C.$ x_1＜x_2＜x_3＜x_4 $
D.$ x_3＜x_4＜x_1＜x_2 $
答案
10.B 关于x的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的公共点的横坐标,关于x的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的公共点的横坐标,如图:
由图象可知,$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$,故选 B.
解析
【分析】
要判断四个方程解的大小，可借助二次函数与一元二次方程的关系，采用数形结合的思路分析：两个方程均可变形为$x^2+2x-3=k$的形式，对应抛物线$y=x^2+2x-3$与水平直线$y=m$、$y=n$的交点横坐标。该抛物线开口向上，水平直线的y值越大，其与抛物线的两个交点越分散，即左侧交点横坐标更小，右侧交点横坐标更大。已知$m＞n＞0$，直线$y=m$在$y=n$上方，结合图象即可直观判断四个横坐标的大小顺序。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的对应关系：
1. 方程$x^2+2x-3-m=0$的解是抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的两个交点的横坐标，即$x_1$、$x_2$，且满足$x_1＜x_2$；
2. 方程$x^2+2x-3-n=0$的解是抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的两个交点的横坐标，即$x_3$、$x_4$，且满足$x_3＜x_4$。
已知$m＞n＞0$，因此直线$y=m$位于直线$y=n$的上方，结合给出的函数图象，可直接看出四个横坐标从小到大的顺序为$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$，对应选项B。
【答案】
B
关于x的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的公共点的横坐标,关于x的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的公共点的横坐标,如图:
由图象可知,$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$,故选 B.
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象性质
【点评】
本题利用数形结合思想解决方程根的大小比较问题，核心是理解一元二次方程的解与对应二次函数图象和水平直线交点横坐标的对应关系，这种方法比直接解方程求根更简便快捷，是二次函数相关问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
要判断四个方程解的大小，可借助二次函数与一元二次方程的关系，采用数形结合的思路分析：两个方程均可变形为$x^2+2x-3=k$的形式，对应抛物线$y=x^2+2x-3$与水平直线$y=m$、$y=n$的交点横坐标。该抛物线开口向上，水平直线的y值越大，其与抛物线的两个交点越分散，即左侧交点横坐标更小，右侧交点横坐标更大。已知$m＞n＞0$，直线$y=m$在$y=n$上方，结合图象即可直观判断四个横坐标的大小顺序。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的对应关系：
1. 方程$x^2+2x-3-m=0$的解是抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的两个交点的横坐标，即$x_1$、$x_2$，且满足$x_1＜x_2$；
2. 方程$x^2+2x-3-n=0$的解是抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的两个交点的横坐标，即$x_3$、$x_4$，且满足$x_3＜x_4$。
已知$m＞n＞0$，因此直线$y=m$位于直线$y=n$的上方，结合给出的函数图象，可直接看出四个横坐标从小到大的顺序为$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$，对应选项B。
【答案】
B
关于x的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的公共点的横坐标,关于x的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的公共点的横坐标,如图:
由图象可知,$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$,故选 B.
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象性质
【点评】
本题利用数形结合思想解决方程根的大小比较问题，核心是理解一元二次方程的解与对应二次函数图象和水平直线交点横坐标的对应关系，这种方法比直接解方程求根更简便快捷，是二次函数相关问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
