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11.「2026北京丰台期中，★☆」二次函数$y=-x^2+4x+m$满足以下条件：当$-3＜x＜-2$时，它的图象位于$x$轴的下方；当$5＜x＜6$时，它的图象位于$x$轴的上方。那么$-x^2+4x+m＞0$的解集是
-2＜x＜6
。答案
11.答案 $-2＜x＜6$
解析 二次函数$y=-x^2+4x+m$的图象开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{4}{-2}=2$,
$\because$ 当$-3＜x＜-2$时,它的图象位于x轴的下方,$\therefore$ 由对称性得当$6＜x＜7$时,它的图象位于x轴的下方,
$\because$ 当$5＜x＜6$时,它的图象位于x轴的上方,$\therefore$ 由对称性得$-2＜x＜-1$时,它的图象位于x轴的上方.
综上所述,二次函数$y=-x^2+4x+m$的图象与x轴的公共点坐标为$(6,0)$和$(-2,0)$,
$\therefore -x^2+4x+m＞0$的解集是$-2＜x＜6$.
解析 二次函数$y=-x^2+4x+m$的图象开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{4}{-2}=2$,
$\because$ 当$-3＜x＜-2$时,它的图象位于x轴的下方,$\therefore$ 由对称性得当$6＜x＜7$时,它的图象位于x轴的下方,
$\because$ 当$5＜x＜6$时,它的图象位于x轴的上方,$\therefore$ 由对称性得$-2＜x＜-1$时,它的图象位于x轴的上方.
综上所述,二次函数$y=-x^2+4x+m$的图象与x轴的公共点坐标为$(6,0)$和$(-2,0)$,
$\therefore -x^2+4x+m＞0$的解集是$-2＜x＜6$.
解析
【分析】
要求解一元二次不等式$-x^2+4x+m＞0$的解集，首先明确该不等式的解集对应二次函数$y=-x^2+4x+m$图象位于x轴上方的x的取值范围，核心是找到二次函数与x轴的交点坐标。首先先计算二次函数的对称轴，二次函数图象关于对称轴对称，结合题目给出的两个区间的图象正负分布，利用对称性即可推导得到函数与x轴的交点，最后结合开口方向就能得到不等式的解集。
【解析】
二次函数$y=-x^2+4x+m$中，二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
根据二次函数的轴对称性：
1. 已知当$-3＜x＜-2$时，图象位于x轴下方，该区间关于对称轴$x=2$的对称区间为$6＜x＜7$，因此$6＜x＜7$时图象也位于x轴下方；
2. 已知当$5＜x＜6$时，图象位于x轴上方，结合对称性可得$-2＜x＜-1$时图象位于x轴上方。
综上可判断，二次函数图象与x轴的交点为$(-2,0)$和$(6,0)$。
因为函数开口向下，图象在x轴上方的范围为两个交点之间的区间，因此$-x^2+4x+m＞0$的解集是$-2＜x＜6$。
【答案】
$-2＜x＜6$
【知识点】
二次函数对称性，二次函数与不等式，二次函数图象性质
【点评】
本题将二次函数的性质与一元二次不等式结合考查，解题关键是利用二次函数的轴对称性，结合给定区间的图象正负分布确定函数与x轴的交点坐标，渗透了数形结合的数学思想，要求熟练掌握二次函数的对称性和图象正负分布规律。
【难度系数】
0.7
要求解一元二次不等式$-x^2+4x+m＞0$的解集，首先明确该不等式的解集对应二次函数$y=-x^2+4x+m$图象位于x轴上方的x的取值范围，核心是找到二次函数与x轴的交点坐标。首先先计算二次函数的对称轴，二次函数图象关于对称轴对称，结合题目给出的两个区间的图象正负分布，利用对称性即可推导得到函数与x轴的交点，最后结合开口方向就能得到不等式的解集。
【解析】
二次函数$y=-x^2+4x+m$中，二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下，对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
根据二次函数的轴对称性：
1. 已知当$-3＜x＜-2$时，图象位于x轴下方，该区间关于对称轴$x=2$的对称区间为$6＜x＜7$，因此$6＜x＜7$时图象也位于x轴下方；
2. 已知当$5＜x＜6$时，图象位于x轴上方，结合对称性可得$-2＜x＜-1$时图象位于x轴上方。
综上可判断，二次函数图象与x轴的交点为$(-2,0)$和$(6,0)$。
因为函数开口向下，图象在x轴上方的范围为两个交点之间的区间，因此$-x^2+4x+m＞0$的解集是$-2＜x＜6$。
【答案】
$-2＜x＜6$
【知识点】
二次函数对称性，二次函数与不等式，二次函数图象性质
【点评】
本题将二次函数的性质与一元二次不等式结合考查，解题关键是利用二次函数的轴对称性，结合给定区间的图象正负分布确定函数与x轴的交点坐标，渗透了数形结合的数学思想，要求熟练掌握二次函数的对称性和图象正负分布规律。
【难度系数】
0.7
12. 核心 素养 推理能力「2025四川南充中考」已知某函数图象关于y轴对称，当$0≤ x≤2$时，$y=x^2-2x$；当$x＞2$时，$y=2x-4$。若直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同的公共点，则实数$b$的范围是（
A.$-\frac{1}{4}＜b＜0$
B.$-\frac{9}{4}＜b＜-\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{4}≤ b≤0$
D.$b≤-\frac{1}{4}$或$b＞0$
A
）A.$-\frac{1}{4}＜b＜0$
B.$-\frac{9}{4}＜b＜-\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{4}≤ b≤0$
D.$b≤-\frac{1}{4}$或$b＞0$
答案
12.A 当$0≤x≤2$时,$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$,
$\therefore$ 这是一条开口向上,顶点为$(1,-1)$,与x轴的公共点为$(0,0),(2,0)$的抛物线的一部分.
当$x＞2$时,$y=2x-4$,$\therefore$ 这是一条$k=2$,过$(2,0)$的直线的一部分.根据对称性画出$x＜0$时的函数图象,求得对应函数解析式,即当$-2≤x＜0$时,$y=x^2+2x$;当$x＜-2$时,$y=-2x-4$.
直线$y=x+b$可以由直线$y=x$平移得到,作示意图可知,当$b=0$时(如直线$l_1$),直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有三个不同的公共点,
当$-2≤x＜0$时,联立$\begin{cases}y=x^2+2x\\y=x+b\end{cases}$,得$x^2+x-b=0$,当$\Delta=1+4b=0$,即$b=-\frac{1}{4}$时(如直线$l_3$),直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有三个不同的公共点.
结合图象可知,当$-\frac{1}{4}＜b＜0$时,直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同的公共点.故选 A.
解析
【分析】
首先，题目给出的函数图象关于y轴对称，我们可以先利用偶函数的对称性，由x≥0时的函数解析式推导x＜0时对应的解析式，补全整个函数的图象特征。直线y=x+b是由直线y=x上下平移得到的，要使它与函数图象有且仅有4个不同公共点，我们需要先找到交点个数为3的两个临界状态：一是直线经过原点时的b值，二是直线与x＜0段的二次函数图象相切时的b值，两个临界值之间的区间即为所求的b的取值范围。
【解析】
首先分析x≥0时的函数：
1. 当$0≤ x≤2$时，$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，是开口向上，顶点为$(1,-1)$，与x轴交于$(0,0)$、$(2,0)$的抛物线段；
2. 当$x＞2$时，$y=2x-4$，是斜率为2、过点$(2,0)$的射线。
根据函数图象关于y轴对称，推导x＜0时的解析式：
1. 当$-2≤x＜0$时，对应$0≤-x≤2$，代入x≥0的解析式得$y=(-x)^2-2·(-x)=x^2+2x$；
2. 当$x＜-2$时，对应$-x＞2$，代入得$y=2·(-x)-4=-2x-4$。
接下来分析直线$y=x+b$与函数图象的交点情况：
① 当$b=0$时，直线$y=x$过原点，此时直线与函数图象共有3个不同公共点；
② 联立直线与$-2≤x＜0$段的二次函数解析式：$\begin{cases}y=x^2+2x\\y=x+b\end{cases}$，整理得$x^2+x-b=0$，当判别式$\Delta=1^2+4b=0$，即$b=-\frac{1}{4}$时，直线与该段抛物线相切，此时直线与函数图象也共有3个不同公共点。
结合图象可知，当$-\frac{1}{4}＜b＜0$时，直线与函数图象有且仅有4个不同公共点。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称性，一次函数平移，函数与方程
【点评】
本题将函数对称性、直线平移规律、方程判别式相结合，解题时需先补全对称后的函数图象，再通过寻找交点个数变化的临界值，结合数形结合思想快速判断取值范围，是二次函数综合类的典型考题。
【难度系数】
0.6
首先，题目给出的函数图象关于y轴对称，我们可以先利用偶函数的对称性，由x≥0时的函数解析式推导x＜0时对应的解析式，补全整个函数的图象特征。直线y=x+b是由直线y=x上下平移得到的，要使它与函数图象有且仅有4个不同公共点，我们需要先找到交点个数为3的两个临界状态：一是直线经过原点时的b值，二是直线与x＜0段的二次函数图象相切时的b值，两个临界值之间的区间即为所求的b的取值范围。
【解析】
首先分析x≥0时的函数：
1. 当$0≤ x≤2$时，$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，是开口向上，顶点为$(1,-1)$，与x轴交于$(0,0)$、$(2,0)$的抛物线段；
2. 当$x＞2$时，$y=2x-4$，是斜率为2、过点$(2,0)$的射线。
根据函数图象关于y轴对称，推导x＜0时的解析式：
1. 当$-2≤x＜0$时，对应$0≤-x≤2$，代入x≥0的解析式得$y=(-x)^2-2·(-x)=x^2+2x$；
2. 当$x＜-2$时，对应$-x＞2$，代入得$y=2·(-x)-4=-2x-4$。
接下来分析直线$y=x+b$与函数图象的交点情况：
① 当$b=0$时，直线$y=x$过原点，此时直线与函数图象共有3个不同公共点；
② 联立直线与$-2≤x＜0$段的二次函数解析式：$\begin{cases}y=x^2+2x\\y=x+b\end{cases}$，整理得$x^2+x-b=0$，当判别式$\Delta=1^2+4b=0$，即$b=-\frac{1}{4}$时，直线与该段抛物线相切，此时直线与函数图象也共有3个不同公共点。
结合图象可知，当$-\frac{1}{4}＜b＜0$时，直线与函数图象有且仅有4个不同公共点。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称性，一次函数平移，函数与方程
【点评】
本题将函数对称性、直线平移规律、方程判别式相结合，解题时需先补全对称后的函数图象，再通过寻找交点个数变化的临界值，结合数形结合思想快速判断取值范围，是二次函数综合类的典型考题。
【难度系数】
0.6
13. 核心素养 几何直观 如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数,$a≠0)$交$x$轴于$A(1,0),B(3,0)$两点,交$y$轴于$C(0,3)$,将该抛物线位于直线$y=m(m$为常数,$m≥0)$下方的部分沿直线$y=m$翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象$W$”.
(1)求翻折前抛物线的表达式.
(2)若$m=0$,直线$y=x+n$与图象$W$有三个公共点,求$n$的值.
(1)求翻折前抛物线的表达式.
(2)若$m=0$,直线$y=x+n$与图象$W$有三个公共点,求$n$的值.
答案
13.解析 (1)由题意得$\begin{cases}a+b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=3\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=1\\b=-4\\c=3\end{cases}$,
$\therefore$ 翻折前抛物线的表达式为$y=x^2-4x+3$.
(2)当$m=0$,且直线$y=x+n$与图象$W$有三个公共点时,存在两种情况:
①当直线$y=x+n$过点A时,与图象$W$有三个公共点,此时$n=-1$;
②当直线$y=x+n$与图象$W$位于线段AB正上方的部分仅有一个公共点时,有$x+n=-x^2+4x-3$,即$x^2-3x+n+3=0$,则$\Delta=(-3)^2-4×1×(n+3)=0$,$\therefore n=-\frac{3}{4}$.
综上,$n$的值是$-1$或$-\frac{3}{4}$.
$\therefore$ 翻折前抛物线的表达式为$y=x^2-4x+3$.
(2)当$m=0$,且直线$y=x+n$与图象$W$有三个公共点时,存在两种情况:
①当直线$y=x+n$过点A时,与图象$W$有三个公共点,此时$n=-1$;
②当直线$y=x+n$与图象$W$位于线段AB正上方的部分仅有一个公共点时,有$x+n=-x^2+4x-3$,即$x^2-3x+n+3=0$,则$\Delta=(-3)^2-4×1×(n+3)=0$,$\therefore n=-\frac{3}{4}$.
综上,$n$的值是$-1$或$-\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过A、B、C三个定点，可采用待定系数法，将三个点的坐标代入抛物线一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于a、b、c的三元一次方程组，求解即可得到抛物线表达式。
(2) 当$m=0$时，沿x轴翻折的是原抛物线在x轴下方（即$1≤ x≤3$）的部分，翻折后该部分的解析式为$y=-(x^2-4x+3)=-x^2+4x-3$（$1≤ x≤3$），图象W由原抛物线$x≤1$、$x≥3$的部分和翻折后的中间部分组成。直线$y=x+n$与图象W有三个公共点分两种情况：①直线经过点A；②直线与翻折后的中间抛物线部分相切，联立方程后判别式$\Delta=0$，分别求解两种情况的n值即可。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过$A(1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$，将三点坐标代入得：
$\begin{cases}a+b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-4\\c=3\end{cases}$
因此翻折前抛物线的表达式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 当$m=0$时，原抛物线位于x轴下方的部分（$1≤ x≤3$）沿x轴翻折，翻折后该部分的解析式为$y=-(x^2-4x+3)=-x^2+4x-3$（$1≤ x≤3$）。
直线$y=x+n$与图象W有三个公共点，分两种情况讨论：
① 当直线过点$A(1,0)$时，将A点坐标代入直线解析式得：$0=1+n$，解得$n=-1$，此时直线与图象W共有三个公共点，符合要求；
② 当直线与翻折后的中间部分抛物线仅有一个公共点（相切）时，联立直线与翻折后解析式：
$x+n=-x^2+4x-3$
整理得$x^2-3x+(n+3)=0$
由相切可知判别式$\Delta=0$，即$\Delta=(-3)^2-4×1×(n+3)=0$
解得$n=-\frac{3}{4}$，此时直线与图象W共有三个公共点，符合要求。
综上，n的值为$-1$或$-\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-4x+3}$
(2) $\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{-\frac{3}{4}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象翻折变换；函数交点问题
【点评】
本题将二次函数的解析式求解、图象变换与函数交点问题结合，考查分类讨论思想和几何直观素养。解题时要注意翻折后局部图象的解析式变化，分类讨论所有符合交点个数要求的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线经过A、B、C三个定点，可采用待定系数法，将三个点的坐标代入抛物线一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于a、b、c的三元一次方程组，求解即可得到抛物线表达式。
(2) 当$m=0$时，沿x轴翻折的是原抛物线在x轴下方（即$1≤ x≤3$）的部分，翻折后该部分的解析式为$y=-(x^2-4x+3)=-x^2+4x-3$（$1≤ x≤3$），图象W由原抛物线$x≤1$、$x≥3$的部分和翻折后的中间部分组成。直线$y=x+n$与图象W有三个公共点分两种情况：①直线经过点A；②直线与翻折后的中间抛物线部分相切，联立方程后判别式$\Delta=0$，分别求解两种情况的n值即可。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过$A(1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$，将三点坐标代入得：
$\begin{cases}a+b+c=0\\9a+3b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-4\\c=3\end{cases}$
因此翻折前抛物线的表达式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 当$m=0$时，原抛物线位于x轴下方的部分（$1≤ x≤3$）沿x轴翻折，翻折后该部分的解析式为$y=-(x^2-4x+3)=-x^2+4x-3$（$1≤ x≤3$）。
直线$y=x+n$与图象W有三个公共点，分两种情况讨论：
① 当直线过点$A(1,0)$时，将A点坐标代入直线解析式得：$0=1+n$，解得$n=-1$，此时直线与图象W共有三个公共点，符合要求；
② 当直线与翻折后的中间部分抛物线仅有一个公共点（相切）时，联立直线与翻折后解析式：
$x+n=-x^2+4x-3$
整理得$x^2-3x+(n+3)=0$
由相切可知判别式$\Delta=0$，即$\Delta=(-3)^2-4×1×(n+3)=0$
解得$n=-\frac{3}{4}$，此时直线与图象W共有三个公共点，符合要求。
综上，n的值为$-1$或$-\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-4x+3}$
(2) $\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{-\frac{3}{4}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象翻折变换；函数交点问题
【点评】
本题将二次函数的解析式求解、图象变换与函数交点问题结合，考查分类讨论思想和几何直观素养。解题时要注意翻折后局部图象的解析式变化，分类讨论所有符合交点个数要求的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1.「2026安徽淮南凤台期中」已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的公共点为$(-5,0)$和$(1,0)$，则该抛物线的对称轴是直线$x=$
-2
.答案
1.答案 $-2$
解析 由题意得,$(-5,0)$和$(1,0)$关于抛物线对称轴对称,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-5+1}{2}=-2$.
解析 由题意得,$(-5,0)$和$(1,0)$关于抛物线对称轴对称,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-5+1}{2}=-2$.
解析
【分析】
抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点纵坐标都为0，是关于抛物线对称轴对称的一对点，对称轴会经过这两个点连线的中点。因此不需要求解抛物线的解析式，直接计算两个交点横坐标的平均值，就能得到对称轴对应的直线x的值。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴的公共点为$(-5,0)$和$(1,0)$，这两个点纵坐标相等，是关于抛物线对称轴对称的点，
∴抛物线的对称轴为两点横坐标的中点，即直线$x=\frac{-5+1}{2}=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 抛物线的轴对称性
2. 二次函数与x轴交点的性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查抛物线对称性的灵活应用，无需计算函数各项系数，利用交点的对称特征即可快速得到结果，解题时可避免额外求解解析式浪费时间。
【难度系数】
0.85
抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点纵坐标都为0，是关于抛物线对称轴对称的一对点，对称轴会经过这两个点连线的中点。因此不需要求解抛物线的解析式，直接计算两个交点横坐标的平均值，就能得到对称轴对应的直线x的值。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴的公共点为$(-5,0)$和$(1,0)$，这两个点纵坐标相等，是关于抛物线对称轴对称的点，
∴抛物线的对称轴为两点横坐标的中点，即直线$x=\frac{-5+1}{2}=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 抛物线的轴对称性
2. 二次函数与x轴交点的性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查抛物线对称性的灵活应用，无需计算函数各项系数，利用交点的对称特征即可快速得到结果，解题时可避免额外求解解析式浪费时间。
【难度系数】
0.85
2.已知二次函数$y=x^2+bx+c$中，函数$y$与自变量$x$的部分对应值如表：
若$A(m,y_1),B(m+2,y_2)$两点都在该函数的图象上，则当$m=$
若$A(m,y_1),B(m+2,y_2)$两点都在该函数的图象上，则当$m=$
1
时，$y_1=y_2$。答案
2.答案 $1$
解析 $\because x=0$时,$y=5$,$x=4$时,$y=5$,$\therefore$ 该函数图象的对称轴为直线$x=2$,$\because A(m,y_1),B(m+2,y_2)$两点都在该函数的图象上,且$y_1=y_2$,$\therefore \frac{m+m+2}{2}=2$,解得$m=1$.
解析 $\because x=0$时,$y=5$,$x=4$时,$y=5$,$\therefore$ 该函数图象的对称轴为直线$x=2$,$\because A(m,y_1),B(m+2,y_2)$两点都在该函数的图象上,且$y_1=y_2$,$\therefore \frac{m+m+2}{2}=2$,解得$m=1$.
解析
【分析】
解题时首先观察表格中y值相等的两组对应数据，利用二次函数的对称性：函数值相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，先求出抛物线的对称轴；再根据$y_1=y_2$可知A、B两点也关于对称轴对称，即两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，据此列方程即可求出m的值。
【解析】
解：由表格可知，当$x=0$和$x=4$时，$y$的值均为5，
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。
∵$A(m,y_1)$，$B(m+2,y_2)$两点都在函数图象上，且$y_1=y_2$，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，
即$\frac{m+(m+2)}{2}=2$，
解方程得：$2m+2=4$，$2m=2$，$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算；二次函数图象点的特征
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题核心是利用二次函数的对称性，通过函数值相等的点快速确定对称轴，再根据对称点的坐标关系列式求解，是二次函数性质考查的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察表格中y值相等的两组对应数据，利用二次函数的对称性：函数值相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，先求出抛物线的对称轴；再根据$y_1=y_2$可知A、B两点也关于对称轴对称，即两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，据此列方程即可求出m的值。
【解析】
解：由表格可知，当$x=0$和$x=4$时，$y$的值均为5，
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。
∵$A(m,y_1)$，$B(m+2,y_2)$两点都在函数图象上，且$y_1=y_2$，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，
即$\frac{m+(m+2)}{2}=2$，
解方程得：$2m+2=4$，$2m=2$，$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算；二次函数图象点的特征
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题核心是利用二次函数的对称性，通过函数值相等的点快速确定对称轴，再根据对称点的坐标关系列式求解，是二次函数性质考查的常见题型。
【难度系数】
0.7
3.「2026安徽安庆太湖期中」已知抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴的两个公共点分别是$(-n,0)$和$(n+2,0)$，且抛物线经过点$(2,y_1)$和$(-2,y_2)$，则$y_1$
＞
$y_2$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
3.答案 $＞$
解析 $\because$ 抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴的两个公共点分别是$(-n,0)$和$(n+2,0)$,$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{-n+n+2}{2}=1$.
$\because -1＜0$,$\therefore$ 抛物线开口向下,抛物线上的点离对称轴越远,其对应的函数值越小,
$\because 2-1=1$,$1-(-2)=3$,$1＜3$,
$\therefore y_1＞y_2$.
解析 $\because$ 抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴的两个公共点分别是$(-n,0)$和$(n+2,0)$,$\therefore$ 对称轴为直线$x=\frac{-n+n+2}{2}=1$.
$\because -1＜0$,$\therefore$ 抛物线开口向下,抛物线上的点离对称轴越远,其对应的函数值越小,
$\because 2-1=1$,$1-(-2)=3$,$1＜3$,
$\therefore y_1＞y_2$.
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数的对称性，根据抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴；再由二次项系数的符号判断抛物线开口方向，明确开口向下的抛物线中，点离对称轴越近函数值越大的规律；最后计算两个已知点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断两个函数值的大小。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴的两个公共点分别是$(-n,0)$和$(n+2,0)$，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-n+(n+2)}{2}=1$，
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越小，
点$(2,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$|2-1|=1$，点$(-2,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$|-2-1|=3$，
$\because 1＜3$，$\therefore y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，核心考查二次函数的对称性和增减性的应用，只要掌握对称轴的计算方法和开口方向与函数值变化的对应关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次函数的对称性，根据抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴；再由二次项系数的符号判断抛物线开口方向，明确开口向下的抛物线中，点离对称轴越近函数值越大的规律；最后计算两个已知点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断两个函数值的大小。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴的两个公共点分别是$(-n,0)$和$(n+2,0)$，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-n+(n+2)}{2}=1$，
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越小，
点$(2,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$|2-1|=1$，点$(-2,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$|-2-1|=3$，
$\because 1＜3$，$\therefore y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，核心考查二次函数的对称性和增减性的应用，只要掌握对称轴的计算方法和开口方向与函数值变化的对应关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
4.「2026江西南昌东湖期中」二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，图象过点$(-1,0)$，其对称轴为直线$x=2$，由图象可知，关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为
-1＜x＜5
。答案
4.答案 $-1＜x＜5$
解析 $\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的对称轴为直线$x=2$,与x轴的一个公共点为$(-1,0)$,$\therefore$ 图象与x轴的另一个公共点的坐标为$(5,0)$,$\because$ 二次函数的图象开口向下,$\therefore$ 关于x的不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$-1＜x＜5$.
解析 $\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的对称轴为直线$x=2$,与x轴的一个公共点为$(-1,0)$,$\therefore$ 图象与x轴的另一个公共点的坐标为$(5,0)$,$\because$ 二次函数的图象开口向下,$\therefore$ 关于x的不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$-1＜x＜5$.
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，本质是找二次函数图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围。解题思路如下：首先明确二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称；其次利用已知交点$(-1,0)$和对称轴$x=2$，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标；最后结合抛物线开口向下的性质，确定图象在x轴上方对应的x区间，即为不等式的解集。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=2$，且图象与x轴的一个交点为$(-1,0)$，
$\therefore$ 抛物线与x轴的另一个交点和点$(-1,0)$关于直线$x=2$对称，
计算另一个交点的横坐标：$2+[2-(-1)]=5$，即另一个交点坐标为$(5,0)$，
又$\because$ 抛物线开口向下，
$\therefore$ 当函数值大于0时，图象在x轴上方，对应的x的取值范围是$-1＜x＜5$，即不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$-1＜x＜5$。
【答案】
$-1＜x＜5$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的基础典型题，解题核心是利用二次函数的对称性求出x轴上的另一个交点，结合图象直观推导解集，很好地体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，本质是找二次函数图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围。解题思路如下：首先明确二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称；其次利用已知交点$(-1,0)$和对称轴$x=2$，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标；最后结合抛物线开口向下的性质，确定图象在x轴上方对应的x区间，即为不等式的解集。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=2$，且图象与x轴的一个交点为$(-1,0)$，
$\therefore$ 抛物线与x轴的另一个交点和点$(-1,0)$关于直线$x=2$对称，
计算另一个交点的横坐标：$2+[2-(-1)]=5$，即另一个交点坐标为$(5,0)$，
又$\because$ 抛物线开口向下，
$\therefore$ 当函数值大于0时，图象在x轴上方，对应的x的取值范围是$-1＜x＜5$，即不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$-1＜x＜5$。
【答案】
$-1＜x＜5$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的基础典型题，解题核心是利用二次函数的对称性求出x轴上的另一个交点，结合图象直观推导解集，很好地体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
