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9. ★★ [2026合肥期中] 如图，直线$y=ax+b(a≠0)$与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程$ax=2a−b$的解为（
A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=2$
D.$x=3$
D
）A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=2$
D.$x=3$
答案
9.D 【点拨】因为直线 $y=ax+b(a≠0)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 1,所以 $0=a+b$,所以 $b=-a$,所以 $ax=2a-b=2a-(-a)$,即 $ax=3a$. 又因为 $a≠0$,所以 $x=3$,故选 D.
解析
【分析】
解题思路：首先明确一次函数与x轴交点的意义：直线与x轴交点的横坐标就是y=0时对应的x的值，因此将交点坐标代入一次函数解析式可得到a与b的关系；再将a、b的关系代入待解的一元一次方程，消去未知参数b，结合a≠0的条件化简方程即可求出解。
【解析】
∵直线$y=ax+b(a≠0)$与x轴交点的横坐标为1，
∴当$x=1$时，$y=0$，代入函数解析式得：$0=a×1 + b$，
整理得$a+b=0$，即$b=-a$。
将$b=-a$代入方程$ax=2a−b$，可得：
$ax=2a - (-a)$，即$ax=3a$。
又
∵$a≠0$，方程两边同时除以a，得$x=3$。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数与x轴交点的意义
2.一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查一次函数与一元一次方程的联系，解题关键是利用一次函数与x轴的交点坐标得到系数a、b的数量关系，再代入目标方程化简求解，属于基础题型，掌握一次函数和一元一次方程的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确一次函数与x轴交点的意义：直线与x轴交点的横坐标就是y=0时对应的x的值，因此将交点坐标代入一次函数解析式可得到a与b的关系；再将a、b的关系代入待解的一元一次方程，消去未知参数b，结合a≠0的条件化简方程即可求出解。
【解析】
∵直线$y=ax+b(a≠0)$与x轴交点的横坐标为1，
∴当$x=1$时，$y=0$，代入函数解析式得：$0=a×1 + b$，
整理得$a+b=0$，即$b=-a$。
将$b=-a$代入方程$ax=2a−b$，可得：
$ax=2a - (-a)$，即$ax=3a$。
又
∵$a≠0$，方程两边同时除以a，得$x=3$。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数与x轴交点的意义
2.一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查一次函数与一元一次方程的联系，解题关键是利用一次函数与x轴的交点坐标得到系数a、b的数量关系，再代入目标方程化简求解，属于基础题型，掌握一次函数和一元一次方程的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
10. [2026六安期中]若一次函数$y=kx+b$的图象如图所示，则关于$x$的不等式$kx+\frac{3}{2}b＞0$的解集为
$x＞3$
。答案
10.$x＞3$ 【点拨】根据图象可知 $y=kx+b$ 与 $x$ 轴交于点$(2,0)$,且 $k＞0$,所以 $2k+b=0$,所以 $b=-2k$. 因为 $kx+\frac{3}{2}b＞0$,所以 $x＞-\frac{3b}{2k}$,即 $x＞\frac{-3·(-2k)}{2k}$,解得 $x＞3$.
解析
【分析】
解题时先从图象中提取关键信息：一是一次函数图象与x轴交于点(2,0)，二是函数图象向上倾斜，说明k＞0。首先将交点坐标代入一次函数解析式，得到k和b的等量关系，再将b用含k的式子代换，代入所求不等式，结合k＞0的性质解不等式即可得到解集。
【解析】
解：由函数图象可知，一次函数$y=kx+b$的图象过点$(2,0)$，且$y$随$x$的增大而增大，因此$k＞0$。
将$(2,0)$代入$y=kx+b$，得：
$2k + b = 0$，整理得$b=-2k$。
将$b=-2k$代入不等式$kx+\frac{3}{2}b＞0$，得：
$kx + \frac{3}{2}×(-2k) ＞ 0$
化简得：$kx - 3k ＞ 0$
移项得：$kx ＞ 3k$
$\because k＞0$，不等式两边同时除以$k$，不等号方向不变，
$\therefore x＞3$。
【答案】
$x＞3$
【知识点】
一次函数图象与性质；一次函数与一元一次不等式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合题，解题的核心是利用图象得到交点坐标以及k的正负，通过代换消元将不等式转化为只含x的不等式求解，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时先从图象中提取关键信息：一是一次函数图象与x轴交于点(2,0)，二是函数图象向上倾斜，说明k＞0。首先将交点坐标代入一次函数解析式，得到k和b的等量关系，再将b用含k的式子代换，代入所求不等式，结合k＞0的性质解不等式即可得到解集。
【解析】
解：由函数图象可知，一次函数$y=kx+b$的图象过点$(2,0)$，且$y$随$x$的增大而增大，因此$k＞0$。
将$(2,0)$代入$y=kx+b$，得：
$2k + b = 0$，整理得$b=-2k$。
将$b=-2k$代入不等式$kx+\frac{3}{2}b＞0$，得：
$kx + \frac{3}{2}×(-2k) ＞ 0$
化简得：$kx - 3k ＞ 0$
移项得：$kx ＞ 3k$
$\because k＞0$，不等式两边同时除以$k$，不等号方向不变，
$\therefore x＞3$。
【答案】
$x＞3$
【知识点】
一次函数图象与性质；一次函数与一元一次不等式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合题，解题的核心是利用图象得到交点坐标以及k的正负，通过代换消元将不等式转化为只含x的不等式求解，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
11. ★★ 已知关于$x$的两个一次函数$y_1=ax - a + 1$，$y_2=kx + 2k - 4$（其中$k,a$均为非零常数）。
(1)若两个一次函数的图象都经过$y$轴上的同一个点，则$a + 2k=$
(2)若对于任意实数$x,y_1 ＞ y_2$都成立，则$k$的取值范围是
(1)若两个一次函数的图象都经过$y$轴上的同一个点，则$a + 2k=$
$5$
；(2)若对于任意实数$x,y_1 ＞ y_2$都成立，则$k$的取值范围是
$k＜\frac{5}{3}且k≠0$
。答案
11.(1)5 (2)$k＜\frac{5}{3}且k≠0$ 【点拨】(1)因为两个一次函数的图象都经过 $y$ 轴上的同一个点,所以 $-a+1=2k-4$,所以 $a+2k=5$. (2)因为对于任意实数 $x$,$y_1＞y_2$ 都成立,所以 $y_1$ 的图象与 $y_2$ 的图象平行,且 $y_1$ 的图象在 $y_2$ 的图象上面,所以 $a=k$,且 $ax-a+1＞kx+2k-4$,解得 $k＜\frac{5}{3}$,所以 $k$ 的取值范围是 $k＜\frac{5}{3}$ 且 $k≠0$.
解析
【分析】
(1) 首先明确一次函数与y轴交点的特征：y轴上点的横坐标为0，代入函数表达式得到的y值就是函数在y轴的截距。两个函数图象经过y轴上同一点，说明二者的y轴截距相等，据此列等式整理即可求出a+2k的值。
(2) 若对任意实数x都有y₁＞y₂，说明两个一次函数的图象平行（若斜率不相等，两直线必然相交，无法满足任意x都有y₁＞y₂），即二者x的系数相等，再代入不等式消去x项求解，结合k为非零常数即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 一次函数与y轴相交时x=0：
将x=0代入$y_1=ax - a + 1$，得$y_1=-a + 1$，即$y_1$的y轴截距为$-a+1$；
将x=0代入$y_2=kx + 2k - 4$，得$y_2=2k - 4$，即$y_2$的y轴截距为$2k-4$；
∵两函数图象过y轴上同一点，
∴截距相等，即：
$-a + 1 = 2k - 4$
移项整理得：$a + 2k = 1 +4 =5$。
(2)
∵对任意实数x，$y_1＞y_2$恒成立，
∴两个一次函数图象平行，即x的系数相等：$a=k$；
将$a=k$代入$y_1＞y_2$得：
$kx -k +1 ＞ kx + 2k -4$
两边同时减去kx，得：
$-k +1 ＞ 2k -4$
移项得：$1 +4 ＞ 2k +k$
即$3k ＜5$，解得$k＜\frac{5}{3}$；
又
∵题目明确k为非零常数，
∴k的取值范围是$k＜\frac{5}{3}$且$k≠0$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{k＜\frac{5}{3}且k≠0}$
【知识点】
1. 一次函数的图象性质
2. 一次函数平行条件
3. 一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础性质的综合常考题，解题核心是掌握一次函数y轴截距的求法、两直线平行的条件，以及恒成立不等式的分析思路，难度适中，侧重对基础概念的理解应用。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确一次函数与y轴交点的特征：y轴上点的横坐标为0，代入函数表达式得到的y值就是函数在y轴的截距。两个函数图象经过y轴上同一点，说明二者的y轴截距相等，据此列等式整理即可求出a+2k的值。
(2) 若对任意实数x都有y₁＞y₂，说明两个一次函数的图象平行（若斜率不相等，两直线必然相交，无法满足任意x都有y₁＞y₂），即二者x的系数相等，再代入不等式消去x项求解，结合k为非零常数即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 一次函数与y轴相交时x=0：
将x=0代入$y_1=ax - a + 1$，得$y_1=-a + 1$，即$y_1$的y轴截距为$-a+1$；
将x=0代入$y_2=kx + 2k - 4$，得$y_2=2k - 4$，即$y_2$的y轴截距为$2k-4$；
∵两函数图象过y轴上同一点，
∴截距相等，即：
$-a + 1 = 2k - 4$
移项整理得：$a + 2k = 1 +4 =5$。
(2)
∵对任意实数x，$y_1＞y_2$恒成立，
∴两个一次函数图象平行，即x的系数相等：$a=k$；
将$a=k$代入$y_1＞y_2$得：
$kx -k +1 ＞ kx + 2k -4$
两边同时减去kx，得：
$-k +1 ＞ 2k -4$
移项得：$1 +4 ＞ 2k +k$
即$3k ＜5$，解得$k＜\frac{5}{3}$；
又
∵题目明确k为非零常数，
∴k的取值范围是$k＜\frac{5}{3}$且$k≠0$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{k＜\frac{5}{3}且k≠0}$
【知识点】
1. 一次函数的图象性质
2. 一次函数平行条件
3. 一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础性质的综合常考题，解题核心是掌握一次函数y轴截距的求法、两直线平行的条件，以及恒成立不等式的分析思路，难度适中，侧重对基础概念的理解应用。
【难度系数】
0.6
12. [2025 北京] 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象经过点 $(1,3)$ 和 $(2,5)$。
(1)求 $k,b$ 的值；
(2)当 $x＜1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y=mx(m≠0)$ 的值既小于函数 $y=kx+b$ 的值，也小于函数 $y=x+k$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围。
(1)求 $k,b$ 的值；
(2)当 $x＜1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y=mx(m≠0)$ 的值既小于函数 $y=kx+b$ 的值，也小于函数 $y=x+k$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围。
答案
12.【解】(1)因为在平面直角坐标系 $xOy$ 中,函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象经过点 $(1,3)$ 和 $(2,5)$,
所以 $\begin{cases} k+b=3, \\ 2k+b=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2, \\ b=1. \end{cases}$
(2)$2≤m≤3$. 【点拨】由(1)可得函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的表达式为 $y=2x+1$,函数 $y=x+k$ 的表达式为 $y=x+2$,在平面直角坐标系中画出函数图象,如图所示. 易得两直线的交点为 $(1,3)$. 将 $(1,3)$ 的坐标代入 $y=mx$ 中,得 $m=3$.
所以当直线 $y=mx$ 过点 $(1,3)$ 时,表达式为 $y=3x$. 此时满足题意;
当直线 $y=mx$ 与直线 $y=2x+1$ 平行,即 $m=2$ 时,满足题意. 结合图象可知 $2≤m≤3$.
解析
【分析】
(1) 已知一次函数$y=kx+b$经过两个定点，使用待定系数法求解：将两个点的坐标分别代入函数解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$、$b$的值。
(2) 先根据(1)的结果确定$y=kx+b$和$y=x+k$的具体表达式，可求得两个函数的交点为$(1,3)$。$y=mx$是过原点的直线，要满足$x＜1$时$mx$同时小于两个函数的值，需结合图像找临界情况：①当$y=mx$与$y=2x+1$平行时，恒满足$mx＜2x+1$，且$x＜1$时$mx＜x+2$，对应$m=2$；②当$y=mx$过交点$(1,3)$时，$x＜1$时$mx$刚好小于两个函数的值，对应$m=3$，结合图像就能得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(1,3)$和$(2,5)$代入$y=kx+b(k≠0)$，得到方程组：
$\begin{cases} k+b=3 \\ 2k+b=5 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$k+b=3$，解得$b=1$。
(2) 由(1)得$y=kx+b$的表达式为$y=2x+1$，$y=x+k$的表达式为$y=x+2$，联立两个函数解得交点坐标为$(1,3)$。
当$y=mx$与$y=2x+1$平行时，$m=2$，此时$y=2x$恒小于$y=2x+1$，且$x＜1$时$2x＜x+2$，满足要求；
当$y=mx$过点$(1,3)$时，代入得$3=m×1$，即$m=3$，此时$x＜1$时，$3x＜2x+1$且$3x＜x+2$，满足要求。
结合图像可知$2≤m≤3$符合要求。
【答案】
(1) $\begin{cases} k=2 \\ b=1 \end{cases}$
(2) $2≤m≤3$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与不等式；一次函数图像性质
【点评】
本题综合考查一次函数解析式求解和不等式取值范围的判断，核心是数形结合思想的应用，解题时要抓住临界直线的特征，结合图像分析范围，避免仅考虑部分x的取值导致错解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知一次函数$y=kx+b$经过两个定点，使用待定系数法求解：将两个点的坐标分别代入函数解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到$k$、$b$的值。
(2) 先根据(1)的结果确定$y=kx+b$和$y=x+k$的具体表达式，可求得两个函数的交点为$(1,3)$。$y=mx$是过原点的直线，要满足$x＜1$时$mx$同时小于两个函数的值，需结合图像找临界情况：①当$y=mx$与$y=2x+1$平行时，恒满足$mx＜2x+1$，且$x＜1$时$mx＜x+2$，对应$m=2$；②当$y=mx$过交点$(1,3)$时，$x＜1$时$mx$刚好小于两个函数的值，对应$m=3$，结合图像就能得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(1,3)$和$(2,5)$代入$y=kx+b(k≠0)$，得到方程组：
$\begin{cases} k+b=3 \\ 2k+b=5 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$k+b=3$，解得$b=1$。
(2) 由(1)得$y=kx+b$的表达式为$y=2x+1$，$y=x+k$的表达式为$y=x+2$，联立两个函数解得交点坐标为$(1,3)$。
当$y=mx$与$y=2x+1$平行时，$m=2$，此时$y=2x$恒小于$y=2x+1$，且$x＜1$时$2x＜x+2$，满足要求；
当$y=mx$过点$(1,3)$时，代入得$3=m×1$，即$m=3$，此时$x＜1$时，$3x＜2x+1$且$3x＜x+2$，满足要求。
结合图像可知$2≤m≤3$符合要求。
【答案】
(1) $\begin{cases} k=2 \\ b=1 \end{cases}$
(2) $2≤m≤3$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与不等式；一次函数图像性质
【点评】
本题综合考查一次函数解析式求解和不等式取值范围的判断，核心是数形结合思想的应用，解题时要抓住临界直线的特征，结合图像分析范围，避免仅考虑部分x的取值导致错解。
【难度系数】
0.6
13. 新题型新定义题 给定一次函数 $y=k_1x+b_1$（其中$k_1,b_1$为常数，且$k_1≠0$），称函数 $y=\begin{cases} k_1x+b_1(x≥0), \\ k_2x+b_2(x＜0) \end{cases} (k_1=k_2,b_1+b_2=0)$为一次函数 $y=k_1x+b_1$的关联函数。例如，一次函数 $y=x+2$，它的关联函数为$y=\begin{cases} x+2(x≥0), \\ x-2(x＜0). \end{cases}$
(1)点$P(-5,8)$在一次函数$y=kx-3$的关联函数的图象上，求$k$的值。
(2)已知一次函数$y=-2x+4$。
①求这个一次函数的关联函数。
②点$Q(m,-2)$在这个一次函数的关联函数图象上，求$m$的值。
(3)在平面直角坐标系中，点$M,N$的坐标分别为$(-3,2),(2,2)$，连接$MN$。当线段$MN$与一次函数$y=-2x+b$的关联函数的图象有1个交点时，请直接写出$b$的取值范围。
(1)点$P(-5,8)$在一次函数$y=kx-3$的关联函数的图象上，求$k$的值。
(2)已知一次函数$y=-2x+4$。
①求这个一次函数的关联函数。
②点$Q(m,-2)$在这个一次函数的关联函数图象上，求$m$的值。
(3)在平面直角坐标系中，点$M,N$的坐标分别为$(-3,2),(2,2)$，连接$MN$。当线段$MN$与一次函数$y=-2x+b$的关联函数的图象有1个交点时，请直接写出$b$的取值范围。
答案
13.【解】(1)由题意得 $y=kx-3$ 的关联函数为
$y=\begin{cases} kx-3(x≥0), \\ kx+3(x＜0). \end{cases}$
因为点 $P(-5,8)$ 在一次函数 $y=kx-3$ 的关联函数的图象上,且 $-5＜0$,
所以把点 $P(-5,8)$ 的坐标代入 $y=kx+3$,得 $8=-5k+3$,解得 $k=-1$,故 $k$ 的值为 $-1$.
(2)①由题意,得 $y=-2x+4$ 的关联函数为
$y=\begin{cases} -2x+4(x≥0), \\ -2x-4(x＜0). \end{cases}$
②当 $m≥0$ 时,将点 $Q(m,-2)$ 的坐标代入 $y=-2x+4$,得 $-2m+4=-2$,解得 $m=3$;
当 $m＜0$ 时,将点 $Q(m,-2)$ 的坐标代入 $y=-2x-4$,得 $-2m-4=-2$,解得 $m=-1$. 故 $m$ 的值为 3 或 $-1$.
(3)$b$ 的取值范围是 $-2＜b＜2$ 或 $4＜b≤6$. 【点拨】由题意得 $y=-2x+b$ 的关联函数为 $y=\begin{cases} -2x+b(x≥0), \\ -2x-b(x＜0). \end{cases}$
当 $y$ 轴右侧部分与 $MN$ 有交点时,把点 $N(2,2)$ 的坐标代入 $y=-2x+b$,得 $b=6$;把点 $(0,2)$ 的坐标代入 $y=-2x+b$,得 $b=2$,所以 $2≤b≤6$;同理当 $y$ 轴左侧部分与 $MN$ 有交点时,可得 $-2≤b≤4$. 因为 $x＜0$,所以 $b≠-2$,所以 $-2＜b≤4$. 综上,关联函数与 $MN$ 有 1 个交点时,$b$ 的取值范围为 $-2＜b＜2$ 或 $4＜b≤6$.
$y=\begin{cases} kx-3(x≥0), \\ kx+3(x＜0). \end{cases}$
因为点 $P(-5,8)$ 在一次函数 $y=kx-3$ 的关联函数的图象上,且 $-5＜0$,
所以把点 $P(-5,8)$ 的坐标代入 $y=kx+3$,得 $8=-5k+3$,解得 $k=-1$,故 $k$ 的值为 $-1$.
(2)①由题意,得 $y=-2x+4$ 的关联函数为
$y=\begin{cases} -2x+4(x≥0), \\ -2x-4(x＜0). \end{cases}$
②当 $m≥0$ 时,将点 $Q(m,-2)$ 的坐标代入 $y=-2x+4$,得 $-2m+4=-2$,解得 $m=3$;
当 $m＜0$ 时,将点 $Q(m,-2)$ 的坐标代入 $y=-2x-4$,得 $-2m-4=-2$,解得 $m=-1$. 故 $m$ 的值为 3 或 $-1$.
(3)$b$ 的取值范围是 $-2＜b＜2$ 或 $4＜b≤6$. 【点拨】由题意得 $y=-2x+b$ 的关联函数为 $y=\begin{cases} -2x+b(x≥0), \\ -2x-b(x＜0). \end{cases}$
当 $y$ 轴右侧部分与 $MN$ 有交点时,把点 $N(2,2)$ 的坐标代入 $y=-2x+b$,得 $b=6$;把点 $(0,2)$ 的坐标代入 $y=-2x+b$,得 $b=2$,所以 $2≤b≤6$;同理当 $y$ 轴左侧部分与 $MN$ 有交点时,可得 $-2≤b≤4$. 因为 $x＜0$,所以 $b≠-2$,所以 $-2＜b≤4$. 综上,关联函数与 $MN$ 有 1 个交点时,$b$ 的取值范围为 $-2＜b＜2$ 或 $4＜b≤6$.
解析
【分析】
本题是新定义类一次函数综合题，解题核心是准确理解“关联函数”的定义：关联函数是分段函数，$x≥0$时和原一次函数解析式相同，$x＜0$时$k$值和原函数相同，常数项为原函数常数项的相反数。
(1) 先写出$y=kx-3$的关联函数，再判断点$P$的横坐标符号，代入对应段的解析式即可列方程求$k$；
(2) ①直接根据关联函数的定义写出分段函数即可；②点$Q$的横坐标$m$的符号不确定，分$m≥0$和$m＜0$两种情况，分别代入对应段的解析式求解$m$即可；
(3) 先写出$y=-2x+b$的关联函数，线段$MN$是$y=2$、$x∈[-3,2]$的水平线段，分别求出关联函数两段图象与$MN$有交点时$b$的取值范围，再筛选出仅1个交点的$b$的范围即可，注意验证端点处是否符合要求。
【解析】
(1) 根据关联函数的定义，$y=kx-3$的关联函数为：
$y=\begin{cases} kx-3 & (x≥0) \\ kx+3 & (x＜0) \end{cases}$
∵点$P(-5,8)$的横坐标$-5＜0$，
∴将$P(-5,8)$代入$y=kx+3$，得$8 = -5k + 3$，
解得$k = -1$。
(2) ①根据关联函数的定义，$y=-2x+4$的关联函数为：
$y=\begin{cases} -2x+4 & (x≥0) \\ -2x-4 & (x＜0) \end{cases}$
②分两种情况讨论：
当$m≥0$时，将$Q(m,-2)$代入$y=-2x+4$，得$-2m + 4 = -2$，解得$m=3$，符合$m≥0$的要求；
当$m＜0$时，将$Q(m,-2)$代入$y=-2x-4$，得$-2m - 4 = -2$，解得$m=-1$，符合$m＜0$的要求。
(3) 根据关联函数的定义，$y=-2x+b$的关联函数为：
$y=\begin{cases} -2x+b & (x≥0) \\ -2x-b & (x＜0) \end{cases}$
线段$MN$的解析式为$y=2$（$-3≤x≤2$），分别求两段函数与$MN$有交点时的$b$范围：
1. $x≥0$时，联立$y=2$和$y=-2x+b$，得$x=\frac{b-2}{2}$，需满足$0≤\frac{b-2}{2}≤2$，解得$2≤b≤6$；
2. $x＜0$时，联立$y=2$和$y=-2x-b$，得$x=\frac{-b-2}{2}$，需满足$-3≤\frac{-b-2}{2}＜0$，解得$-2＜b≤4$。
要使关联函数与$MN$只有1个交点，即仅在其中一段有交点：
仅$x≥0$段有交点：$\begin{cases}2≤b≤6 \\ b＞4或b≤-2\end{cases}$，得$4＜b≤6$；
仅$x＜0$段有交点：$\begin{cases}-2＜b≤4 \\ b＜2或b＞6\end{cases}$，得$-2＜b＜2$。
【答案】
(1) $k=-1$
(2) ①$y=\begin{cases} -2x+4(x≥0) \\ -2x-4(x＜0) \end{cases}$；②$m=3$或$m=-1$
(3) $-2＜b＜2$或$4＜b≤6$
【知识点】
一次函数新定义，分段函数求值，一次函数与线段交点问题
【点评】
本题以新定义“关联函数”为背景，考察一次函数的性质、分段函数的应用及数形结合、分类讨论的数学思想。解题时需注意分段函数的自变量取值范围，涉及点在分段函数图象上、函数图象与线段交点的问题时，要分情况讨论并验证结果是否符合自变量的取值要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.5
本题是新定义类一次函数综合题，解题核心是准确理解“关联函数”的定义：关联函数是分段函数，$x≥0$时和原一次函数解析式相同，$x＜0$时$k$值和原函数相同，常数项为原函数常数项的相反数。
(1) 先写出$y=kx-3$的关联函数，再判断点$P$的横坐标符号，代入对应段的解析式即可列方程求$k$；
(2) ①直接根据关联函数的定义写出分段函数即可；②点$Q$的横坐标$m$的符号不确定，分$m≥0$和$m＜0$两种情况，分别代入对应段的解析式求解$m$即可；
(3) 先写出$y=-2x+b$的关联函数，线段$MN$是$y=2$、$x∈[-3,2]$的水平线段，分别求出关联函数两段图象与$MN$有交点时$b$的取值范围，再筛选出仅1个交点的$b$的范围即可，注意验证端点处是否符合要求。
【解析】
(1) 根据关联函数的定义，$y=kx-3$的关联函数为：
$y=\begin{cases} kx-3 & (x≥0) \\ kx+3 & (x＜0) \end{cases}$
∵点$P(-5,8)$的横坐标$-5＜0$，
∴将$P(-5,8)$代入$y=kx+3$，得$8 = -5k + 3$，
解得$k = -1$。
(2) ①根据关联函数的定义，$y=-2x+4$的关联函数为：
$y=\begin{cases} -2x+4 & (x≥0) \\ -2x-4 & (x＜0) \end{cases}$
②分两种情况讨论：
当$m≥0$时，将$Q(m,-2)$代入$y=-2x+4$，得$-2m + 4 = -2$，解得$m=3$，符合$m≥0$的要求；
当$m＜0$时，将$Q(m,-2)$代入$y=-2x-4$，得$-2m - 4 = -2$，解得$m=-1$，符合$m＜0$的要求。
(3) 根据关联函数的定义，$y=-2x+b$的关联函数为：
$y=\begin{cases} -2x+b & (x≥0) \\ -2x-b & (x＜0) \end{cases}$
线段$MN$的解析式为$y=2$（$-3≤x≤2$），分别求两段函数与$MN$有交点时的$b$范围：
1. $x≥0$时，联立$y=2$和$y=-2x+b$，得$x=\frac{b-2}{2}$，需满足$0≤\frac{b-2}{2}≤2$，解得$2≤b≤6$；
2. $x＜0$时，联立$y=2$和$y=-2x-b$，得$x=\frac{-b-2}{2}$，需满足$-3≤\frac{-b-2}{2}＜0$，解得$-2＜b≤4$。
要使关联函数与$MN$只有1个交点，即仅在其中一段有交点：
仅$x≥0$段有交点：$\begin{cases}2≤b≤6 \\ b＞4或b≤-2\end{cases}$，得$4＜b≤6$；
仅$x＜0$段有交点：$\begin{cases}-2＜b≤4 \\ b＜2或b＞6\end{cases}$，得$-2＜b＜2$。
【答案】
(1) $k=-1$
(2) ①$y=\begin{cases} -2x+4(x≥0) \\ -2x-4(x＜0) \end{cases}$；②$m=3$或$m=-1$
(3) $-2＜b＜2$或$4＜b≤6$
【知识点】
一次函数新定义，分段函数求值，一次函数与线段交点问题
【点评】
本题以新定义“关联函数”为背景，考察一次函数的性质、分段函数的应用及数形结合、分类讨论的数学思想。解题时需注意分段函数的自变量取值范围，涉及点在分段函数图象上、函数图象与线段交点的问题时，要分情况讨论并验证结果是否符合自变量的取值要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.5
