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8. 如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$的中点.若$AB=5,AC=3$,则$AD$的取值范围为
（第8题）
1＜AD＜4
.（第8题）答案
8. 1＜AD＜4 【点拨】如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,则AE=2AD.
∵D为BC的中点,
∴CD=BD.又
∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,
∴△ADC≌△EDB(SAS).
∴AC=EB.
∵AB-EB＜AE＜AB+EB,
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC.
又
∵AB=5,AC=3,
∴2＜2AD＜8.
∴1＜AD＜4.
解析
【分析】
本题是求三角形中线的取值范围，解题思路如下：遇到与三角形中线相关的问题时，常用“倍长中线”的辅助线做法，通过构造全等三角形，将已知的两条边和两倍的中线转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）列出不等式，求解即可得到中线的取值范围。
【解析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，则AE=AD+DE=2AD。
∵D为BC的中点，
∴CD=BD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=ED\\ ∠ ADC=∠ EDB（对顶角相等）\\ CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=EB=3。
在△ABE中，根据三角形三边关系可得：$AB-EB ＜ AE ＜ AB+EB$，
将$AB=5$，$EB=3$，$AE=2AD$代入得：
$5-3 ＜ 2AD ＜ 5+3$，
即$2 ＜ 2AD ＜ 8$，
不等式两边同时除以2，得$1 ＜ AD ＜ 4$。
【答案】
1＜AD＜4
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，核心解题技巧是通过倍长中线构造全等三角形完成边的转化，再结合三角形三边关系求解，熟练掌握该类辅助线的做法能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
本题是求三角形中线的取值范围，解题思路如下：遇到与三角形中线相关的问题时，常用“倍长中线”的辅助线做法，通过构造全等三角形，将已知的两条边和两倍的中线转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）列出不等式，求解即可得到中线的取值范围。
【解析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，则AE=AD+DE=2AD。
∵D为BC的中点，
∴CD=BD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=ED\\ ∠ ADC=∠ EDB（对顶角相等）\\ CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=EB=3。
在△ABE中，根据三角形三边关系可得：$AB-EB ＜ AE ＜ AB+EB$，
将$AB=5$，$EB=3$，$AE=2AD$代入得：
$5-3 ＜ 2AD ＜ 5+3$，
即$2 ＜ 2AD ＜ 8$，
不等式两边同时除以2，得$1 ＜ AD ＜ 4$。
【答案】
1＜AD＜4
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，核心解题技巧是通过倍长中线构造全等三角形完成边的转化，再结合三角形三边关系求解，熟练掌握该类辅助线的做法能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知四边形ABCD中，AD//BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC长度的大小关系是（
A.$AB＞AD+BC$
B.$AB＜AD+BC$
C.$AB=AD+BC$
D.无法确定
C
）A.$AB＞AD+BC$
B.$AB＜AD+BC$
C.$AB=AD+BC$
D.无法确定
答案
9. C 【点拨】补短法:如图①,延长AE交BC延长线于F.因为AD//CB,所以∠CBA+∠BAD=180°.因为BE平分∠CBA,AE平分∠BAD,所以∠ABE=∠FBE,∠EBA+∠BAE=90°,所以∠BEA=180°-90°=90°,所以∠BEF=90°=∠BEA.
在△ABE和△FBE中,$\begin{cases} ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠FEB, \end{cases}$
所以△ABE≌△FBE(ASA),所以BA=BF,AE=FE.
因为AD//CB,所以∠EAD=∠F.
在△ADE和△FCE中,$\begin{cases} ∠EAD=∠F, \\ AE=EF, \\ ∠AED=∠FEC, \end{cases}$
所以△ADE≌△FCE(ASA),所以AD=CF,所以AB=BF=BC+CF=BC+AD.故选C.
截长法:如图②,在AB上截取AF=AD,连接EF.因为AD//BC,所以∠ABC+∠DAB=180°.
又因为BE平分∠ABC,AE平分∠DAB,所以∠ABE+∠EAB=90°,∠FAE=∠DAE,∠CBE=∠FBE,所以∠AEB=90°,即∠2+∠4=90°.
在△ADE和△AFE中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以△ADE≌△AFE(SAS),所以∠1=∠2.
因为∠2+∠4=90°,所以∠1+∠3=90°,所以∠3=∠4.
在△BCE和△BFE中,$\begin{cases} ∠CBE=∠FBE, \\ BE=BE, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
所以△BCE≌△BFE(ASA),所以BC=BF,所以AB=AF+BF=AD+BC.故选C.
解析
【分析】
要判断AB与AD+BC的大小关系，属于线段和差类问题，常用截长补短的思路求解：思路一为补短法，可延长AE交BC的延长线于F，先结合平行线同旁内角互补、角平分线的性质推出BE⊥AF，再通过两次全等三角形的证明，分别得到AB=BF、AD=CF，即可推导得出结论；思路二为截长法，可在AB上截取AF=AD，先证明△ADE≌△AFE得到对应角相等，再结合角平分线、直角的性质证明△BCE≌△BFE得到BC=BF，即可推导得出结论。
【解析】
方法一（补短法）：如图①，延长AE交BC延长线于F。
∵AD//CB，
∴∠CBA+∠BAD=180°。
∵BE平分∠CBA，AE平分∠BAD，
∴∠ABE=∠FBE，∠BAE=∠DAE，
∴$∠ EBA+∠ BAE=\frac{1}{2}(∠ CBA+∠ BAD)=90°$，
∴∠BEA=180°-90°=90°，即∠BEF=∠BEA=90°。
在△ABE和△FBE中：
$\begin{cases} ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠FEB, \end{cases}$
∴△ABE≌△FBE（ASA），可得BA=BF，AE=FE。
∵AD//CB，
∴∠EAD=∠F。
在△ADE和△FCE中：
$\begin{cases} ∠EAD=∠F, \\ AE=EF, \\ ∠AED=∠FEC, \end{cases}$
∴△ADE≌△FCE（ASA），可得AD=CF，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD。
方法二（截长法）：如图②，在AB上截取AF=AD，连接EF。
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°。
∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠DAE，
∴$∠ ABE+∠ EAB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DAB)=90°$，
∴∠AEB=90°，即∠2+∠4=90°。
在△ADE和△AFE中：
$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ADE≌△AFE（SAS），可得∠1=∠2。
∵∠2+∠4=90°，∠1+∠3=180°-∠AEB=90°，
∴∠3=∠4。
在△BCE和△BFE中：
$\begin{cases} ∠CBE=∠FBE, \\ BE=BE, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
∴△BCE≌△BFE（ASA），可得BC=BF，
∴AB=AF+BF=AD+BC。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差关系证明的典型题，核心解题方法是截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上比较大小。解题时需要灵活运用平行线、角平分线的性质推导全等所需的边角条件，对逻辑推理能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
要判断AB与AD+BC的大小关系，属于线段和差类问题，常用截长补短的思路求解：思路一为补短法，可延长AE交BC的延长线于F，先结合平行线同旁内角互补、角平分线的性质推出BE⊥AF，再通过两次全等三角形的证明，分别得到AB=BF、AD=CF，即可推导得出结论；思路二为截长法，可在AB上截取AF=AD，先证明△ADE≌△AFE得到对应角相等，再结合角平分线、直角的性质证明△BCE≌△BFE得到BC=BF，即可推导得出结论。
【解析】
方法一（补短法）：如图①，延长AE交BC延长线于F。
∵AD//CB，
∴∠CBA+∠BAD=180°。
∵BE平分∠CBA，AE平分∠BAD，
∴∠ABE=∠FBE，∠BAE=∠DAE，
∴$∠ EBA+∠ BAE=\frac{1}{2}(∠ CBA+∠ BAD)=90°$，
∴∠BEA=180°-90°=90°，即∠BEF=∠BEA=90°。
在△ABE和△FBE中：
$\begin{cases} ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠FEB, \end{cases}$
∴△ABE≌△FBE（ASA），可得BA=BF，AE=FE。
∵AD//CB，
∴∠EAD=∠F。
在△ADE和△FCE中：
$\begin{cases} ∠EAD=∠F, \\ AE=EF, \\ ∠AED=∠FEC, \end{cases}$
∴△ADE≌△FCE（ASA），可得AD=CF，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD。
方法二（截长法）：如图②，在AB上截取AF=AD，连接EF。
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°。
∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠DAE，
∴$∠ ABE+∠ EAB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DAB)=90°$，
∴∠AEB=90°，即∠2+∠4=90°。
在△ADE和△AFE中：
$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ADE≌△AFE（SAS），可得∠1=∠2。
∵∠2+∠4=90°，∠1+∠3=180°-∠AEB=90°，
∴∠3=∠4。
在△BCE和△BFE中：
$\begin{cases} ∠CBE=∠FBE, \\ BE=BE, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
∴△BCE≌△BFE（ASA），可得BC=BF，
∴AB=AF+BF=AD+BC。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差关系证明的典型题，核心解题方法是截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段上比较大小。解题时需要灵活运用平行线、角平分线的性质推导全等所需的边角条件，对逻辑推理能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为A(m,0),B(0,n),且$|m-n-3|+\sqrt{2n-6}=0$,点P从A出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线AO匀速运动,设点P运动时间为t秒.
(1)求OA,OB的长;
(2)连接PB,若$△ POB$的面积不大于3,求t的取值范围;
(3)过P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P运动的过程中,是否存在这样的点P,使$△ EOP ≌ △ AOB$?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)求OA,OB的长;
(2)连接PB,若$△ POB$的面积不大于3,求t的取值范围;
(3)过P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P运动的过程中,是否存在这样的点P,使$△ EOP ≌ △ AOB$?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
10. 【解】(1)
∵|m-n-3|+$\sqrt{2n-6}$=0,
∴m-n-3=0,2n-6=0,解得m=6,n=3,
∴OA=6,OB=3.
(2)分为两种情况:①当P在线段OA上时,如图①,此时AP=t,
∴PO=6-t,
∴$S_{△BOP}=\frac{1}{2}×(6-t)×3=9-\frac{3}{2}t$.
∵△POB的面积不大于3,
∴0＜9-$\frac{3}{2}t$≤3,解得4≤t＜6;
②当P在线段AO的延长线上时,如图②,此时AP=t,
∴PO=t-6,
∴$S_{△BOP}=\frac{1}{2}×(t-6)×3=\frac{3}{2}t-9$.
∵△POB的面积不大于3,
∴0＜$\frac{3}{2}t$-9≤3,解得6＜t≤8.综上,t的取值范围是4≤t≤8且t≠6.
(3)存在.当OP=OB=3时,易证△EOP≌△AOB.分为两种情况:如图③,当点P在线段OA上时,PA=OA-OP=3,
∴t=3.
如图④,当P在线段AO的延长线上时,AP=OA+OP=6+3=9,
∴t=9.
∴存在这样的点P,使△EOP≌△AOB,t的值是3或9.
解析
【分析】
(1) 利用非负数的性质求解：绝对值和算术平方根都是非负数，若两者之和为0，则每一项都等于0，据此列方程求出m、n的值，即可得到OA、OB的长度；
(2) 点P沿射线AO运动，需分两种情况讨论：①P在线段OA上，②P在AO的延长线上，分别用含t的式子表示出OP的长度，结合三角形面积公式列不等式求解，注意三角形面积大于0，需排除P与O重合的情况，最后合并t的取值范围；
(3) △EOP和△AOB都是直角三角形，直角对应相等，要使两三角形全等，只需直角边OP=OB=3即可，再分P在线段OA上、P在AO延长线上两种情况，计算AP的长度即得t的值。
【解析】
(1)
∵$|m-n-3|+\sqrt{2n-6}=0$，且$|m-n-3|≥0$，$\sqrt{2n-6}≥0$，
∴$\begin{cases}m-n-3=0 \\2n-6=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m=6 \\n=3 \end{cases}$，
∵A(m,0)，B(0,n)，
∴OA=6，OB=3。
(2) 分两种情况讨论：
①当P在线段OA上时，如图①，AP=t，
∴PO=OA-AP=6-t，
∴$S_{△BOP}=\frac{1}{2}×PO×OB=\frac{1}{2}×(6-t)×3=9-\frac{3}{2}t$，
∵△POB的面积不大于3，且面积大于0，
∴$0＜9-\frac{3}{2}t≤3$，解得$4≤t＜6$；
②当P在线段AO的延长线上时，如图②，AP=t，
∴PO=AP-OA=t-6，
∴$S_{△BOP}=\frac{1}{2}×(t-6)×3=\frac{3}{2}t-9$，
同理得$0＜\frac{3}{2}t-9≤3$，解得$6＜t≤8$。
综上，t的取值范围是$4≤t≤8$且$t≠6$。
(3) 存在这样的点P，使$△EOP ≌ △AOB$。
△EOP和△AOB中，∠EOP=∠AOB=90°，要使两三角形全等，只需OP=OB=3即可，分两种情况：
①如图③，当点P在线段OA上时，OP=3，
∴PA=OA-OP=6-3=3，
∵点P运动速度为每秒1个单位长度，
∴t=3；
②如图④，当P在线段AO的延长线上时，OP=3，
∴AP=OA+OP=6+3=9，
∴t=9。
【答案】
(1) OA=6，OB=3；
(2) $4≤t≤8$且$t≠6$；
(3) 存在，t的值为3或9。
【知识点】
非负数的性质，三角形面积计算，全等三角形的判定
【点评】
本题属于动点综合题，融合了代数与几何的相关知识，重点考查分类讨论思想，解题时要注意动点运动的多种可能位置，避免漏解，对综合运用知识解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 利用非负数的性质求解：绝对值和算术平方根都是非负数，若两者之和为0，则每一项都等于0，据此列方程求出m、n的值，即可得到OA、OB的长度；
(2) 点P沿射线AO运动，需分两种情况讨论：①P在线段OA上，②P在AO的延长线上，分别用含t的式子表示出OP的长度，结合三角形面积公式列不等式求解，注意三角形面积大于0，需排除P与O重合的情况，最后合并t的取值范围；
(3) △EOP和△AOB都是直角三角形，直角对应相等，要使两三角形全等，只需直角边OP=OB=3即可，再分P在线段OA上、P在AO延长线上两种情况，计算AP的长度即得t的值。
【解析】
(1)
∵$|m-n-3|+\sqrt{2n-6}=0$，且$|m-n-3|≥0$，$\sqrt{2n-6}≥0$，
∴$\begin{cases}m-n-3=0 \\2n-6=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m=6 \\n=3 \end{cases}$，
∵A(m,0)，B(0,n)，
∴OA=6，OB=3。
(2) 分两种情况讨论：
①当P在线段OA上时，如图①，AP=t，
∴PO=OA-AP=6-t，
∴$S_{△BOP}=\frac{1}{2}×PO×OB=\frac{1}{2}×(6-t)×3=9-\frac{3}{2}t$，
∵△POB的面积不大于3，且面积大于0，
∴$0＜9-\frac{3}{2}t≤3$，解得$4≤t＜6$；
②当P在线段AO的延长线上时，如图②，AP=t，
∴PO=AP-OA=t-6，
∴$S_{△BOP}=\frac{1}{2}×(t-6)×3=\frac{3}{2}t-9$，
同理得$0＜\frac{3}{2}t-9≤3$，解得$6＜t≤8$。
综上，t的取值范围是$4≤t≤8$且$t≠6$。
(3) 存在这样的点P，使$△EOP ≌ △AOB$。
△EOP和△AOB中，∠EOP=∠AOB=90°，要使两三角形全等，只需OP=OB=3即可，分两种情况：
①如图③，当点P在线段OA上时，OP=3，
∴PA=OA-OP=6-3=3，
∵点P运动速度为每秒1个单位长度，
∴t=3；
②如图④，当P在线段AO的延长线上时，OP=3，
∴AP=OA+OP=6+3=9，
∴t=9。
【答案】
(1) OA=6，OB=3；
(2) $4≤t≤8$且$t≠6$
；(3) 存在，t的值为3或9
。【知识点】
非负数的性质，三角形面积计算，全等三角形的判定
【点评】
本题属于动点综合题，融合了代数与几何的相关知识，重点考查分类讨论思想，解题时要注意动点运动的多种可能位置，避免漏解，对综合运用知识解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. ★★★ 新题型变式探究题 在直线 m 上依次取互不重合的三个点 D,A,E,在直线 m 上方有 AB=AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.
(1)【特例探究】如图①,当α=90°时,猜想线段 DE 与 BD,CE 之间的数量关系是
(2)【变式运用】如图②,当90°＜α＜180°时,问题(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)【拓展加深】如图③,∠BAD＜∠CAE,连接 CB,直线 m 与 CB 的延长线交于点 F.若 BC=4BF,△ABC 的面积是 20,求△FBD 与△ACE 的面积之和.
(1)【特例探究】如图①,当α=90°时,猜想线段 DE 与 BD,CE 之间的数量关系是
DE=BD+CE
.(2)【变式运用】如图②,当90°＜α＜180°时,问题(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)【拓展加深】如图③,∠BAD＜∠CAE,连接 CB,直线 m 与 CB 的延长线交于点 F.若 BC=4BF,△ABC 的面积是 20,求△FBD 与△ACE 的面积之和.
答案
11. 【解】(1) DE = BD + CE 【点拨】
∵∠BDA=∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°.
∴∠DBA=∠EAC.
∵AB=AC,∠BDA=∠AEC=90°,
∴△DBA≌△EAC(AAS),
∴AD=CE,BD=AE,
∴DE=AD+AE=BD+CE.
(2)结论DE=BD+CE仍然成立.
证明:
∵∠BDA=∠BAC=α(90°＜α＜180°),
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α,
∴∠DBA=∠EAC.
∵AB=AC,∠BDA=∠AEC=α,
∴△DBA≌△EAC(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AD+AE=BD+CE.
(3)同理(2)得△ABD≌△CAE,
∴$S_{△ABD}=S_{△CAE}$.
设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的高为h,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·h=20$,$S_{△ABF}=\frac{1}{2}BF·h$.
∵BC=4BF,
∴$S_{△ABF}=5$.
∵$S_{△ABF}=S_{△BDF}+S_{△ABD}=S_{△FBD}+S_{△ACE}=5$,
∴△FBD与△ACE的面积之和为5.
∵∠BDA=∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°.
∴∠DBA=∠EAC.
∵AB=AC,∠BDA=∠AEC=90°,
∴△DBA≌△EAC(AAS),
∴AD=CE,BD=AE,
∴DE=AD+AE=BD+CE.
(2)结论DE=BD+CE仍然成立.
证明:
∵∠BDA=∠BAC=α(90°＜α＜180°),
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α,
∴∠DBA=∠EAC.
∵AB=AC,∠BDA=∠AEC=α,
∴△DBA≌△EAC(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AD+AE=BD+CE.
(3)同理(2)得△ABD≌△CAE,
∴$S_{△ABD}=S_{△CAE}$.
设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的高为h,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·h=20$,$S_{△ABF}=\frac{1}{2}BF·h$.
∵BC=4BF,
∴$S_{△ABF}=5$.
∵$S_{△ABF}=S_{△BDF}+S_{△ABD}=S_{△FBD}+S_{△ACE}=5$,
∴△FBD与△ACE的面积之和为5.
解析
【分析】
(1) 当α=90°时，首先根据直角的性质可得∠BAD与∠DBA互余，∠BAD与∠EAC互余，由同角的余角相等得到∠DBA=∠EAC，结合AB=AC、∠BDA=∠AEC的条件，用AAS证明△DBA≌△EAC，得到对应边AD=CE、BD=AE，再根据DE=AD+AE代换即可得到三条线段的数量关系。
(2) 当α为钝角时，思路和(1)类似，根据平角定义和三角形内角和可得∠DBA和∠EAC都等于180°-α-∠BAD，因此两角相等，仍可通过AAS证明△DBA≌△EAC，对应边相等的结论不变，因此DE=BD+CE仍然成立。
(3) 首先沿用前两问的全等结论，得到△ABD和△CAE面积相等，那么所求的△FBD与△ACE的面积和就等于△FBD与△ABD的面积和，也就是△ABF的面积。再观察△ABF和△ABC，两者以BF、BC为底时高相同，根据BC=4BF可得△ABF的面积是△ABC的$\frac{1}{4}$，代入△ABC的面积即可求出结果。
【解析】
(1)
∵∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在$△ DBA$和$△ EAC$中：
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠DBA=∠EAC \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS})$，
∴$AD=CE$，$BD=AE$，
∴$DE=AD+AE=BD+CE$。
(2) 结论$DE=BD+CE$仍然成立，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α（$90°＜α＜180°$），
∴∠BAD+∠DBA=180°-α，∠BAD+∠EAC=180°-α，
∴∠DBA=∠EAC，
在$△ DBA$和$△ EAC$中：
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠DBA=∠EAC \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=AE$，$AD=CE$，
∴$DE=AD+AE=BD+CE$。
(3) 同(2)的证明方法可得$△ ABD≌△ CAE$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ CAE}$，
设$△ ABC$的底边$BC$上的高为$h$，则$△ ABF$的底边$BF$上的高也为$h$，
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·h=20$，$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}BF·h$，且$BC=4BF$，
∴$S_{△ ABF}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}×20=5$，
又
∵$S_{△ ABF}=S_{△ FBD}+S_{△ ABD}=S_{△ FBD}+S_{△ ACE}$，
∴$△ FBD$与$△ ACE$的面积之和为5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=BD+CE}$
(2) 成立，证明见解析
(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，同角的余（补）角相等
【点评】
本题属于几何探究类题型，按照从特殊到一般的逻辑设置问题，既考查了全等三角形的判定、性质等基础知识点，也考查了知识迁移和拓展应用的能力，解题时要注意前一问的结论和方法可以为后续问题提供参考。
【难度系数】
0.6
(1) 当α=90°时，首先根据直角的性质可得∠BAD与∠DBA互余，∠BAD与∠EAC互余，由同角的余角相等得到∠DBA=∠EAC，结合AB=AC、∠BDA=∠AEC的条件，用AAS证明△DBA≌△EAC，得到对应边AD=CE、BD=AE，再根据DE=AD+AE代换即可得到三条线段的数量关系。
(2) 当α为钝角时，思路和(1)类似，根据平角定义和三角形内角和可得∠DBA和∠EAC都等于180°-α-∠BAD，因此两角相等，仍可通过AAS证明△DBA≌△EAC，对应边相等的结论不变，因此DE=BD+CE仍然成立。
(3) 首先沿用前两问的全等结论，得到△ABD和△CAE面积相等，那么所求的△FBD与△ACE的面积和就等于△FBD与△ABD的面积和，也就是△ABF的面积。再观察△ABF和△ABC，两者以BF、BC为底时高相同，根据BC=4BF可得△ABF的面积是△ABC的$\frac{1}{4}$，代入△ABC的面积即可求出结果。
【解析】
(1)
∵∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在$△ DBA$和$△ EAC$中：
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠DBA=∠EAC \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS})$，
∴$AD=CE$，$BD=AE$，
∴$DE=AD+AE=BD+CE$。
(2) 结论$DE=BD+CE$仍然成立，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α（$90°＜α＜180°$），
∴∠BAD+∠DBA=180°-α，∠BAD+∠EAC=180°-α，
∴∠DBA=∠EAC，
在$△ DBA$和$△ EAC$中：
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC \\∠DBA=∠EAC \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=AE$，$AD=CE$，
∴$DE=AD+AE=BD+CE$。
(3) 同(2)的证明方法可得$△ ABD≌△ CAE$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ CAE}$，
设$△ ABC$的底边$BC$上的高为$h$，则$△ ABF$的底边$BF$上的高也为$h$，
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·h=20$，$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}BF·h$，且$BC=4BF$，
∴$S_{△ ABF}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}×20=5$，
又
∵$S_{△ ABF}=S_{△ FBD}+S_{△ ABD}=S_{△ FBD}+S_{△ ACE}$，
∴$△ FBD$与$△ ACE$的面积之和为5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=BD+CE}$
(2) 成立，证明见解析
(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，同角的余（补）角相等
【点评】
本题属于几何探究类题型，按照从特殊到一般的逻辑设置问题，既考查了全等三角形的判定、性质等基础知识点，也考查了知识迁移和拓展应用的能力，解题时要注意前一问的结论和方法可以为后续问题提供参考。
【难度系数】
0.6
