7. [2025北京中考]北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝,小明准备了五根直竹条(如图①):一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图②),其头部高、胸腹高与尾部高的比是$1:1:2$.已知单根膀条长是胸腹高的5倍,门条比单根膀条短10 cm,图①中 BC 的长是门条长的$\frac{5}{9}$,AB,CD 的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.

设胸腹高为$x$ cm,则单根膀条长为$5x$ cm,门条$AD$的长度为$(5x-10)\mathrm{ cm},BC=\dfrac{5}{9}(5x-10)\mathrm{ cm},AB=CD=x$ cm,头部高为$x$ cm,尾部高为$2x$ cm. 所以这只风筝的骨架的总高为$4x$ cm. 由题意,可得$5x-10=x+\dfrac{5}{9}(5x-10)+x$,解得$x=20.$ 所以$4x=80.$ 所以这只风筝的骨架的总高为80 cm.

8. [2025西藏中考]观察下列一组数:1.9,3.99,5.999,7.999 9,9.999 99,…,按此规律,第n个数是
（）

A.$2n - 0.1^n$
B.$2n + 1 - 0.1^n$
C.$2n - 1 + 0.9^n$
D.$2n - 1 - 0.1^n$

观察数据可知,整数部分为1,3,5,7,9,…,所以第$n$个数的整数部分为$2n-1.$ 因为小数部分为0.9,0.99,0.999,0.999 9,0.999 99,…,所以第$n$个数的小数部分为$1-0.1^n.$ 所以按此规律,第$n$个数是$2n-0.1^n.$

9. [2024德州中考]观察下列等式：
$S_1=\sqrt{1+1+\dfrac{1}{4}}$；
$S_2=\sqrt{1+1+\dfrac{1}{4}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}}$；
$S_3=\sqrt{1+1+\dfrac{1}{4}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}}$；
……
则$S_{10}$的值为。

因为$\sqrt{1+1+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{1×2},$
$\sqrt{1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{49}{36}}=\dfrac{7}{6}=1+\dfrac{1}{2×3},\sqrt{1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}}=\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{13}{12}=1+\dfrac{1}{3×4},\dots,$ 所以$S_1=1+\dfrac{1}{1×2}=1+1-\dfrac{1}{2}=2-\dfrac{1}{2},S_2=1+\dfrac{1}{1×2}+1+\dfrac{1}{2×3}=2+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=3-\dfrac{1}{3},S_3=1+\dfrac{1}{1×2}+1+\dfrac{1}{2×3}+1+\dfrac{1}{3×4}=3+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=4-\dfrac{1}{4},\dots.$ 所以$S_{10}=11-\dfrac{1}{11}=10\dfrac{10}{11}.$

10. [2024德阳中考]数学活动课上，甲组同学和乙组同学探究了一个问题:把数字1至8分别填入如图所示的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a,b，你认为a可以是(填数字).

因为两个中心圆圈分别有6根连线,数字1至8共有8个数字,若2,3,4,5,6,7其中任何一个数字填在中心圆圈内,那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中,所以只剩下5个数字可选,不满足6个空的圆圈需要填入. 所以位于两个中心圆圈内的数字$a,b$,只可能是1或8.