1 (2025·镇江模拟)如图,在$\odot O$中,$∠ BAC=50°$,分别过B,C两点作$\odot O$的切线,两切线相交于点P,则$∠ BPC$的度数为().

A.$75°$
B.$80°$
C.$85°$
D.$90°$

1.B

2 教材 P96练习 T1·改编（2026·南通期末）如图，PA，PB与$\odot O$相切于点A，B，AB与OP交于点H。若$AP=2\sqrt{3}$，$∠ APB=60°$，则OH的长为（）。

A.0.5
B.1
C.$\sqrt{3}$
D.2

2.B

3 教材P96练习T2·改编（2025·杭州钱塘区一模）如图，切线PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，切线EF与$\odot O$相切于点C，且分别交PA，PB于点E，F，若$△ PEF$的周长为12，则线段PA的长为。

3.6

4(2026·宿迁泗洪三模)如图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，$AB=7$，$BC=12$，$AC=10$，点$D$，$E$分别为$BC$，$AC$上的点，且$DE$为$\odot O$的切线，则$△ CDE$的周长为。

4.15

5 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3 cm，（第5题）
则此光盘的直径是 cm.

5.$6\sqrt{3}$

6（2025·南京秦淮区期末）如图，射线PA，PB与⊙O相切，切点分别为A，B，连接PO并延长，交⊙O于点C，连接AC，BC。求证：AC=BC。

6. 如图,连接 BO,AO.
∵射线 PA,PB 与$\odot O$相切,切点分别为 A,B,$\therefore PA=PB$,
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
$\because BO=AO$,
∴点 O 在 AB 的垂直平分线上,
∴OP 垂直平分 AB.
∵点 C 在 PO 的延长线上,
$\therefore AC=BC$.
一题多解 连接 BO,AO.
∵射线 PA,PB 与$\odot O$相切,切点分别为 A,B,
$\therefore PA=PB$.
$\because PA=PB,OA=OB,PO=PO$,
$\therefore △ APO≌ △ BPO,\therefore ∠ AOP=∠ BOP$.
$\therefore 180^{\circ }-∠ AOP=180^{\circ }-∠ BOP$,即$∠ AOC=∠ BOC$,
$\because OA=OB,OC=OC,\therefore △ BOC≌ △ AOC,\therefore AC=BC$.

7 转化思想如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别是A，B，直线EF也是$\odot O$的切线，切点为Q，交PA，PB于点F，E，已知$PA=12\ \mathrm{cm}$，$∠ P=70°$.求：
(1)$△ PEF$的周长；
(2)$∠ EOF$的度数.

7.(1)$\because PA,PB$是$\odot O$的切线,$\therefore PA=PB$.
同理可得,$FQ=FA,EQ=EB$,
$\therefore △ PEF$的周长$=PF+EF+PE=PF+FQ+EQ+PE=PF+FA+EB+PE=PA+PB=12+12=24(\mathrm{cm})$.
(2)连接 AO,QO,
$\because FQ=FA,AO=QO,FO=FO$,
$\therefore △ AFO≌ △ QFO(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ AFO=∠ QFO$,
$\therefore ∠ QFO=\frac{1}{2}∠ AFQ$. 同理可得$∠ QEO=\frac{1}{2}∠ BEQ$.
$\because ∠ P=70^{\circ },\therefore ∠ AFQ+∠ BEQ=180^{\circ }+∠ P=250^{\circ }$,
$\therefore ∠ QFO+∠ QEO=125^{\circ },\therefore ∠ EOF=180^{\circ }-125^{\circ }=55^{\circ }$.

8(2024·南京中考)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E.若AB=15,BC=17,则AD的长为().

A.8
B.8.5
C.5
D.9

8.D