8(2025·南京玄武区二模)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,经过A,B,C三点的⊙O与AD相切于点A,与CD交于点E,连接BE.若∠ABC=58°,则∠BEC的度数为°.

8. 64

9 如图,在矩形ABCD中,F是边AD上的点,经过A,B,F三点的$\odot O$与CD相切于点E.若$AB=6,FD=2$,则$\odot O$的半径是.

9. $\frac{13}{4}$

10 如图，点A在半径为6的$\odot O$内，$OA=2\sqrt{3}$，P为$\odot O$上一动点，当$∠ OPA$取最大值时，PA的长等于。

10. $2\sqrt{6}$

11 (2026·南通海安一模)已知BC是$\odot O$的直径，D是BC延长线上一点，$AB=AD$，AE是$\odot O$的弦，$∠ AEC=30°$。
(1)求证：直线AD是$\odot O$的切线；
(2)若$AE ⊥ BC$，垂足为M，$\odot O$的半径为10，求AE的长。

11. (1)如图,连接 OA.
$\because ∠AEC=30^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠AEC=30^{\circ },$
$∠AOC=2∠AEC=60^{\circ }.$
$\because AB=AD,$
$\therefore ∠D=∠B=30^{\circ },$
$\therefore ∠OAD=180^{\circ }-∠AOC-∠D=90^{\circ }.$
$\because OA$ 是$\odot O$ 的半径,且$AD⊥OA,$
$\therefore$ 直线 AD 是$\odot O$ 的切线.
(2)如图,$\because BC$ 是$\odot O$ 的直径,且$AE⊥BC$ 于点 M,
$\therefore AM=EM.$
$\because ∠AMO=90^{\circ },∠AOM=60^{\circ },$
$\therefore ∠OAM=30^{\circ },\therefore OM=\frac {1}{2}OA=\frac {1}{2}×10=5,$
$\therefore AM=\sqrt {OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt {10^{2}-5^{2}}=5\sqrt {3},$
$\therefore AE=2AM=2×5\sqrt {3}=10\sqrt {3}.$

12(2025·嘉峪关二模)如图,以线段AB为直径作$\odot O$,交射线AC于点C,AD平分$∠ CAB$交$\odot O$于点D,过点D作直线$DE⊥ AC$于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证:直线DE是$\odot O$的切线；
(2)若$ME=1$,$∠ F=30°$,求BF的长.

12. (1)如图,连接 OD,
则$OD=OA,$
$\therefore ∠ODA=∠OAD.$
$\because AD$ 平分$∠CAB,$
$\therefore ∠OAD=∠DAC,$
$\therefore ∠ODA=∠DAC,\therefore OD// AC.$
$\because DE⊥AC,$
$\therefore ∠ODF=∠AED=90^{\circ }.$
$\because OD$ 是$\odot O$ 的半径,且$DE⊥OD,$
$\therefore$ 直线 DE 是$\odot O$ 的切线.
(2)$\because ∠AEF=90^{\circ },∠F=30^{\circ },\therefore ∠BAM=60^{\circ }$,易得$∠ABM=60^{\circ },$
$\therefore △ ABM$ 是等边三角形,$\therefore ∠M=60^{\circ }.$
$\because ∠DEM=90^{\circ },ME=1,$
$\therefore ∠EDM=30^{\circ },\therefore MD=2ME=2,\therefore BD=MD=2.$
$\because ∠BDF=∠EDM=30^{\circ },$
$\therefore ∠BDF=∠F,\therefore BF=BD=2.$

13 新考法 综合探究（2025·山西吕梁期中）综合与探究
如图，O为$△ ABC$的边AB上的一点，以点O为圆心，AO的长为半径作圆，交AB于点D，过点A作$AE// BC$，交$\odot O$于点E。
（1）如图（1），连接DE，若$∠ B = 45°$，则$∠ ADE =$。
（2）如图（2），连接CD，交$\odot O$于点F，连接AF，EF，且$∠ EFA = ∠ ACB$。
①求证：AC为$\odot O$的切线；
②若$AC = 6$，$BC = 10$，$AF = EF$，求$△ BCD$的面积。

13. (1)$45^{\circ }$
(2)①$\because AE// BC,\therefore ∠EAB=∠B.$
$\because ∠EAB=∠EFD,\therefore ∠B=∠EFD.$
$\because AD$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠AFD=90^{\circ },$
$\therefore ∠EFD+∠EFA=90^{\circ }.$
$\because ∠EFA=∠ACB,\therefore ∠B+∠ACB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠BAC=90^{\circ },\therefore AB⊥AC,$
$\therefore AC$ 为$\odot O$ 的切线.
②如图,连接 ED 并延长交 CB 于点 G.
$\because AF=FE,$
$\therefore ∠FEA=∠FAE.$
$\because$ 四边形 AFDE 为圆内接四边形,$\therefore ∠CDG=∠FAE.$
$\because ∠ADF=∠AEF,$
$\therefore ∠CDG=∠ADF.$
$\because AD$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠DEA=90^{\circ }.$
$\because EA// CB,\therefore ∠EGC=90^{\circ },$
$\therefore ∠EGC=∠CAD.$
$\because CD=CD,\therefore △ CGD≌△ CAD(AAS),$
$\therefore DG=AD,AC=GC=6.$
$\because ∠CAB=90^{\circ },BC=10,AC=6$,则$AB=8,$
设$AD=x$,则在$Rt△ BDG$中,$DG=AD=x,BD=BA-AD=8-x,BG=BC-GC=4.$
$\because BG^{2}+DG^{2}=BD^{2},\therefore 4^{2}+x^{2}=(8-x)^{2},$
解得$x=3$,即$DG=3,\therefore S_{△ BCD}=\frac {1}{2}BC· DG=15.$