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1[2025江西中考]下列各数中，是无理数的是（
A.0
B.$\sqrt{2}$
C.3.14
D.$\dfrac{2}{3}$
B
）A.0
B.$\sqrt{2}$
C.3.14
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
1.B 【解析】0 是整数,3.14 是有限小数,$\frac{2}{3}$是分数,它们不是无理数,$\sqrt{2}$是无理数,故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数和有理数的定义，先梳理清楚有理数的包含范围，再逐一判断每个选项的数所属类型，排除属于有理数的选项，就能选出正确的无理数选项。
【解析】
首先明确相关概念：有理数包括整数、分数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。
对四个选项逐一分析：
A. 0是整数，属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
C. 3.14是有限小数，可以转化为分数，属于有理数，不符合要求；
D. $\frac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分有理数和无理数的范畴，牢记无理数的常见类型即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确无理数和有理数的定义，先梳理清楚有理数的包含范围，再逐一判断每个选项的数所属类型，排除属于有理数的选项，就能选出正确的无理数选项。
【解析】
首先明确相关概念：有理数包括整数、分数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。
对四个选项逐一分析：
A. 0是整数，属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
C. 3.14是有限小数，可以转化为分数，属于有理数，不符合要求；
D. $\frac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分有理数和无理数的范畴，牢记无理数的常见类型即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
2[2025四川广元中考]$\sqrt{4}$的相反数是（
A.-4
B.-2
C.2
D.4
B
）A.-4
B.-2
C.2
D.4
答案
2.B 【解析】因为$\sqrt{4}=2$,2 的相反数是-2,所以$\sqrt{4}$的相反数是-2. 故选 B.
解析
【分析】
要正确解答本题，需分两步思考：首先明确$\sqrt{4}$表示的是4的算术平方根，根据算术平方根的定义先计算出$\sqrt{4}$的具体数值；再根据相反数的定义，求出该数值的相反数，即可得到正确答案。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{4}$的值，$\sqrt{4}$是4的算术平方根，因此$\sqrt{4}=2$；
第二步：求2的相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此2的相反数是-2。
综上，$\sqrt{4}$的相反数是-2，故选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的运算，相反数的定义
【点评】
本题为基础概念考查题，易错点在于部分同学会混淆算术平方根与平方根的概念，误将$\sqrt{4}$算成±2，或是未先化简$\sqrt{4}$直接求4的相反数，做题时注意先化简再求解即可避免出错。
【难度系数】
0.8
要正确解答本题，需分两步思考：首先明确$\sqrt{4}$表示的是4的算术平方根，根据算术平方根的定义先计算出$\sqrt{4}$的具体数值；再根据相反数的定义，求出该数值的相反数，即可得到正确答案。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{4}$的值，$\sqrt{4}$是4的算术平方根，因此$\sqrt{4}=2$；
第二步：求2的相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此2的相反数是-2。
综上，$\sqrt{4}$的相反数是-2，故选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的运算，相反数的定义
【点评】
本题为基础概念考查题，易错点在于部分同学会混淆算术平方根与平方根的概念，误将$\sqrt{4}$算成±2，或是未先化简$\sqrt{4}$直接求4的相反数，做题时注意先化简再求解即可避免出错。
【难度系数】
0.8
3[2025 山东淄博中考]下列四个实数中,比-2大的无理数是 (
A.0
B.-1
C.$-\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{5}$
C
)A.0
B.-1
C.$-\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{5}$
答案
3.C 【解析】0,-1 是有理数,故选项 A、B 不符合题意. 因为 $-\sqrt{2},-\sqrt{5}$ 是无理数,且 $-\sqrt{2} ＞ -2 ＞ -\sqrt{5}$,所以选项 C 符合题意,故选 C.
解析
【分析】
解题时需同时满足题目两个要求：①是无理数；②比-2大。第一步先根据无理数的定义，排除属于有理数的选项；第二步将-2转化为含根号的形式$-\sqrt{4}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，比较剩余无理数与-2的大小，最终选出符合条件的选项。
【解析】
1. 筛选无理数：整数和分数统称为有理数，选项A的0、选项B的-1都是整数，属于有理数，因此排除A、B；$-\sqrt{2}$、$-\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无理数，保留C、D选项。
2. 比较实数大小：将-2改写为$-\sqrt{4}$，根据二次根式性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$\sqrt{2}＜\sqrt{4}＜\sqrt{5}$。结合负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，可推出$-\sqrt{2}＞-\sqrt{4}＞-\sqrt{5}$，即$-\sqrt{2}＞-2＞-\sqrt{5}$。
综上，符合要求的是$-\sqrt{2}$。
【答案】C
【知识点】无理数的识别；实数大小比较；二次根式估值
【点评】本题属于基础题型，考查两个知识点的结合应用，解题时需注意题目的双重限定条件，避免漏看“无理数”要求误选A、B，或对负数比较大小的规则掌握不牢误选D。
【难度系数】0.8
解题时需同时满足题目两个要求：①是无理数；②比-2大。第一步先根据无理数的定义，排除属于有理数的选项；第二步将-2转化为含根号的形式$-\sqrt{4}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，比较剩余无理数与-2的大小，最终选出符合条件的选项。
【解析】
1. 筛选无理数：整数和分数统称为有理数，选项A的0、选项B的-1都是整数，属于有理数，因此排除A、B；$-\sqrt{2}$、$-\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无理数，保留C、D选项。
2. 比较实数大小：将-2改写为$-\sqrt{4}$，根据二次根式性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$\sqrt{2}＜\sqrt{4}＜\sqrt{5}$。结合负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，可推出$-\sqrt{2}＞-\sqrt{4}＞-\sqrt{5}$，即$-\sqrt{2}＞-2＞-\sqrt{5}$。
综上，符合要求的是$-\sqrt{2}$。
【答案】C
【知识点】无理数的识别；实数大小比较；二次根式估值
【点评】本题属于基础题型，考查两个知识点的结合应用，解题时需注意题目的双重限定条件，避免漏看“无理数”要求误选A、B，或对负数比较大小的规则掌握不牢误选D。
【难度系数】0.8
4[2025江苏扬州中考]如图,数轴上点A表示的数可能是 (
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{10}$
C
)A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{10}$
答案
4.C 【解析】因为 1＜2＜3＜4＜7＜9＜10,所以 1＜$\sqrt{2}＜\sqrt{3}＜2＜\sqrt{7}＜3＜\sqrt{10}$,所以数轴上点 A 表示的数可能是$\sqrt{7}$,故选 C.
解析
【分析】
解题时先观察数轴确定点A的取值范围，再将范围端点转化为算术平方根形式，得到对应被开方数的取值范围，最后逐一判断各选项中算术平方根的大小，找到符合范围的选项即可。具体思考步骤：第一步，根据数轴上右边的数总比左边大，得出点A在2和3之间；第二步，要判断哪个无理数在2~3之间，可将2和3写成$\sqrt{4}$、$\sqrt{9}$，由此可知只要被开方数在4和9之间，它的算术平方根就符合要求；第三步，逐个分析选项的被开方数是否在4~9之间，就能得到答案。
【解析】
解：由数轴可得，点A表示的数大于2且小于3，即$2 ＜ A ＜ 3$。
将2、3转化为算术平方根形式：$2=\sqrt{4}$，$3=\sqrt{9}$，因此$\sqrt{4} ＜ A ＜ \sqrt{9}$，即点A对应的被开方数满足$4 ＜ \mathrm{被开方数} ＜ 9$。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$，被开方数2＜4，故$\sqrt{2}＜2$，不符合要求；
B选项：$\sqrt{3}$，被开方数3＜4，故$\sqrt{3}＜2$，不符合要求；
C选项：$\sqrt{7}$，被开方数满足4＜7＜9，故$2＜\sqrt{7}＜3$，符合要求；
D选项：$\sqrt{10}$，被开方数10＞9，故$\sqrt{10}＞3$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；算术平方根估算；无理数大小比较
【点评】
本题是基础题型，将数轴读数和无理数估算结合考查，解题的核心是先确定点的取值范围，再通过“将整数转化为对应算术平方根”的方法快速判断无理数的范围，掌握算术平方根的估算方法是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察数轴确定点A的取值范围，再将范围端点转化为算术平方根形式，得到对应被开方数的取值范围，最后逐一判断各选项中算术平方根的大小，找到符合范围的选项即可。具体思考步骤：第一步，根据数轴上右边的数总比左边大，得出点A在2和3之间；第二步，要判断哪个无理数在2~3之间，可将2和3写成$\sqrt{4}$、$\sqrt{9}$，由此可知只要被开方数在4和9之间，它的算术平方根就符合要求；第三步，逐个分析选项的被开方数是否在4~9之间，就能得到答案。
【解析】
解：由数轴可得，点A表示的数大于2且小于3，即$2 ＜ A ＜ 3$。
将2、3转化为算术平方根形式：$2=\sqrt{4}$，$3=\sqrt{9}$，因此$\sqrt{4} ＜ A ＜ \sqrt{9}$，即点A对应的被开方数满足$4 ＜ \mathrm{被开方数} ＜ 9$。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$，被开方数2＜4，故$\sqrt{2}＜2$，不符合要求；
B选项：$\sqrt{3}$，被开方数3＜4，故$\sqrt{3}＜2$，不符合要求；
C选项：$\sqrt{7}$，被开方数满足4＜7＜9，故$2＜\sqrt{7}＜3$，符合要求；
D选项：$\sqrt{10}$，被开方数10＞9，故$\sqrt{10}＞3$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；算术平方根估算；无理数大小比较
【点评】
本题是基础题型，将数轴读数和无理数估算结合考查，解题的核心是先确定点的取值范围，再通过“将整数转化为对应算术平方根”的方法快速判断无理数的范围，掌握算术平方根的估算方法是解题关键。
【难度系数】
0.8
5[2025山东济南中考]已知一个正方形的面积为2，则其边长为
$\sqrt{2}$
.答案
5.$\sqrt{2}$ 【解析】设正方形的边长是 $x(x＞0)$. 因为正方形的面积为 2,所以 $x^2=2$,所以 $x=\sqrt{2}$,所以正方形的边长为$\sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆正方形的面积计算公式：正方形的面积等于边长的平方。已知面积求边长，本质是求2的正的平方根（也就是算术平方根），因为边长是正数，所以只需取算术平方根即可。解题时先设边长为未知数，根据面积公式列方程，再结合边长的取值范围求解即可。
【解析】
设正方形的边长为$x(x＞0)$，根据正方形面积公式可得：
$x^2=2$
因为边长为正数，所以对等式两边开平方，取正根，得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 正方形面积公式 2. 算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查基础公式的运用和算术平方根的概念，解题时注意边长为正数的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆正方形的面积计算公式：正方形的面积等于边长的平方。已知面积求边长，本质是求2的正的平方根（也就是算术平方根），因为边长是正数，所以只需取算术平方根即可。解题时先设边长为未知数，根据面积公式列方程，再结合边长的取值范围求解即可。
【解析】
设正方形的边长为$x(x＞0)$，根据正方形面积公式可得：
$x^2=2$
因为边长为正数，所以对等式两边开平方，取正根，得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 正方形面积公式 2. 算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查基础公式的运用和算术平方根的概念，解题时注意边长为正数的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.9
6[2025浙江中考]$\left|-5\right|+\sqrt[3]{-27}=$
2
.答案
6.2 【解析】$|-5|+\sqrt[3]{-27}=5-3=2$.
解析
【分析】
这道题是实数基础运算题，解题分两步进行：首先分别计算出绝对值和立方根的结果，再将两个结果相加得到最终答案。第一步可根据负数的绝对值等于它的相反数，求出$\left|-5\right|$的值；第二步根据负数的立方根为负数，结合$(-3)^3=-27$求出$\sqrt[3]{-27}$的值，最后做加法运算即可。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算绝对值：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得$\left|-5\right|=5$；
2. 计算立方根：因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$；
3. 求和计算：$\left|-5\right|+\sqrt[3]{-27}=5+(-3)=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
绝对值的化简；立方根的运算；实数加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对绝对值、立方根基本性质的掌握，计算量小，只要牢记相关运算规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题是实数基础运算题，解题分两步进行：首先分别计算出绝对值和立方根的结果，再将两个结果相加得到最终答案。第一步可根据负数的绝对值等于它的相反数，求出$\left|-5\right|$的值；第二步根据负数的立方根为负数，结合$(-3)^3=-27$求出$\sqrt[3]{-27}$的值，最后做加法运算即可。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算绝对值：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得$\left|-5\right|=5$；
2. 计算立方根：因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$；
3. 求和计算：$\left|-5\right|+\sqrt[3]{-27}=5+(-3)=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
绝对值的化简；立方根的运算；实数加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对绝对值、立方根基本性质的掌握，计算量小，只要牢记相关运算规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
7[2025福建中考]若$\sqrt{x-1}$在实数范围内有意义，则实数$x$的值可以是（
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
D
）A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
答案
7.D 【解析】由题意得 $x-1 ≥ 0$,逐项代入可得只有 D 选项符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的判定规则：二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须是非负数。我们先根据这个规则列出关于x的不等式，求出x的取值范围，再将各选项的数值和取值范围比对，选出符合要求的选项即可。
【解析】
由二次根式有意义的条件可得，被开方数$x-1$必须大于等于0，即：
$x-1≥0$
解得：$x≥1$
逐一核对选项：
A.$-2＜1$，不符合要求；
B.$-1＜1$，不符合要求；
C.$0＜1$，不符合要求；
D.$2≥1$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式有意义的判定，牢记被开方数为非负数是解题的关键，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的判定规则：二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须是非负数。我们先根据这个规则列出关于x的不等式，求出x的取值范围，再将各选项的数值和取值范围比对，选出符合要求的选项即可。
【解析】
由二次根式有意义的条件可得，被开方数$x-1$必须大于等于0，即：
$x-1≥0$
解得：$x≥1$
逐一核对选项：
A.$-2＜1$，不符合要求；
B.$-1＜1$，不符合要求；
C.$0＜1$，不符合要求；
D.$2≥1$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式有意义的判定，牢记被开方数为非负数是解题的关键，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
8[2025河北中考]计算: $(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})=$ (
A.2
B.4
C.6
D.8
B
)A.2
B.4
C.6
D.8
答案
8.B 【解析】$(\sqrt{10} +\sqrt{6} )( \sqrt{10} -\sqrt{6} )=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{6})^2=10-6=4$. 故选 B.
解析
【分析】
观察算式的结构，是两个二次根式的和与这两个二次根式的差的乘积，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，因此可以直接套用平方差公式简化计算，先分别计算两个二次根式的平方，再作差即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式可得：
$(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})=(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2$
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，计算得：
$(\sqrt{10})^2=10$，$(\sqrt{6})^2=6$
所以原式$=10-6=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式的运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是识别算式的结构特点，正确套用平方差公式简化计算，可避免直接使用多项式乘多项式的繁琐运算，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
观察算式的结构，是两个二次根式的和与这两个二次根式的差的乘积，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，因此可以直接套用平方差公式简化计算，先分别计算两个二次根式的平方，再作差即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式可得：
$(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})=(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2$
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，计算得：
$(\sqrt{10})^2=10$，$(\sqrt{6})^2=6$
所以原式$=10-6=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式的运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是识别算式的结构特点，正确套用平方差公式简化计算，可避免直接使用多项式乘多项式的繁琐运算，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
9[2025 江苏徐州中考]下列运算错误的是
(
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
D.$(-\sqrt{3})^{2}=3$
(
A
)A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
D.$(-\sqrt{3})^{2}=3$
答案
9.A 【解析】
|A|$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并,此选项计算错误|符合题意
|B|$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$,计算正确|不符合题意
|C|$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$,计算正确|不符合题意
|D|$(-\sqrt{3} )^2=3$,计算正确|不符合题意
故选 A.
|A|$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并,此选项计算错误|符合题意
|B|$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$,计算正确|不符合题意
|C|$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$,计算正确|不符合题意
|D|$(-\sqrt{3} )^2=3$,计算正确|不符合题意
故选 A.
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算规则，解题时需逐一验证每个选项的运算是否符合对应法则：首先明确二次根式加减的前提是同类二次根式（被开方数相同）才能合并，二次根式乘除运算为被开方数对应乘除、根指数不变，二次根式乘方遵循乘方运算性质展开计算，逐个排查后选出运算错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，该运算错误，符合题意；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，运算正确，不符合题意；
C选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}\ (a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，运算正确，不符合题意；
D选项：根据乘方运算性质，$(-\sqrt{3})^2=(-1)^2×(\sqrt{3})^2=1×3=3$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式加减、二次根式乘除、二次根式乘方
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查各类二次根式的运算法则，解题时需注意只有同类二次根式才能合并，切勿出现被开方数不同的二次根式直接加减的错误，熟练掌握运算法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的运算规则，解题时需逐一验证每个选项的运算是否符合对应法则：首先明确二次根式加减的前提是同类二次根式（被开方数相同）才能合并，二次根式乘除运算为被开方数对应乘除、根指数不变，二次根式乘方遵循乘方运算性质展开计算，逐个排查后选出运算错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，该运算错误，符合题意；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，运算正确，不符合题意；
C选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}\ (a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，运算正确，不符合题意；
D选项：根据乘方运算性质，$(-\sqrt{3})^2=(-1)^2×(\sqrt{3})^2=1×3=3$，运算正确，不符合题意。
综上，运算错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式加减、二次根式乘除、二次根式乘方
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查各类二次根式的运算法则，解题时需注意只有同类二次根式才能合并，切勿出现被开方数不同的二次根式直接加减的错误，熟练掌握运算法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10[2024重庆中考A卷]已知$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}$，则实数$m$的范围是（
A.$2＜m＜3$
B.$3＜m＜4$
C.$4＜m＜5$
D.$5＜m＜6$
B
）A.$2＜m＜3$
B.$3＜m＜4$
C.$4＜m＜5$
D.$5＜m＜6$
答案
10.B 【解析】$m=\sqrt{27} -\sqrt{3} =3\sqrt{3} -\sqrt{3} =2\sqrt{3} =\sqrt{12}$. 因为$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$,所以 $3＜\sqrt{12}＜4$,即实数 $m$ 的范围是 $3＜m＜4$. 故选 B.
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需分两步思考：第一步先化简m的表达式，先把$\sqrt{27}$化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到m的最简形式；第二步将化简后的结果转化为根号下单个整数的形式，找到和这个整数相邻的两个完全平方数，就能确定m对应的无理数的大小范围，进而选出正确选项。
【解析】
先对m进行化简：
$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
将$2\sqrt{3}$变形为根号下整数的形式：$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$
因为$9＜12＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$
因此$3＜m＜4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式的合并；无理数的估算
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基本运算和无理数大小的估算方法，解题的核心是先将原式化简为最简形式再进行估算，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要确定m的取值范围，需分两步思考：第一步先化简m的表达式，先把$\sqrt{27}$化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到m的最简形式；第二步将化简后的结果转化为根号下单个整数的形式，找到和这个整数相邻的两个完全平方数，就能确定m对应的无理数的大小范围，进而选出正确选项。
【解析】
先对m进行化简：
$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
将$2\sqrt{3}$变形为根号下整数的形式：$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$
因为$9＜12＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$
因此$3＜m＜4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式的合并；无理数的估算
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基本运算和无理数大小的估算方法，解题的核心是先将原式化简为最简形式再进行估算，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
11 [2025 四川自贡中考]计算：$\sqrt{18} - 3\sqrt{2} =$
0
.答案
11.0 【解析】$\sqrt{18} -3\sqrt{2} =3\sqrt{2} -3\sqrt{2} =0$,故答案为 0.
解析
【分析】
本题考查二次根式的减法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式加减的运算规则：第一步先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再识别同类二次根式（被开方数相同的二次根式），最后合并同类二次根式，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变。本题中先化简$\sqrt{18}$，再合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
第一步，化简二次根式$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = \sqrt{9}×\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
第二步，代入原式计算：
$\sqrt{18} - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0$
【答案】
0
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，解题关键是熟练掌握最简二次根式的化简方法，以及同类二次根式的合并规则，运算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的减法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式加减的运算规则：第一步先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再识别同类二次根式（被开方数相同的二次根式），最后合并同类二次根式，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变。本题中先化简$\sqrt{18}$，再合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
第一步，化简二次根式$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = \sqrt{9}×\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
第二步，代入原式计算：
$\sqrt{18} - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0$
【答案】
0
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，解题关键是熟练掌握最简二次根式的化简方法，以及同类二次根式的合并规则，运算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
12 新考向传统文化[2025 江苏南通中考]我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式:一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,三角形的面积$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$.
若$a=2\sqrt{2},b=3,c=1$,则$S$的值为
若$a=2\sqrt{2},b=3,c=1$,则$S$的值为
$\sqrt{2}$
.答案
12.$\sqrt{2}$ 【解析】由题意得 $a^2=8,b^2=9,c^2=1$,所以 $a^2b^2 = 72$, $\frac{a^2+b^2-c^2}{2} = 8$, 所以 $S =\sqrt{\frac{1}{4}×(72-8^2)}=\sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这道题给出了秦九韶的三角形面积计算公式，解题时可按步骤简化计算：首先先分别求出a²、b²、c²的值，避免直接带根号计算出错；其次依次计算公式里的$a^2b^2$和$\frac{a^2+b^2-c^2}{2}$这两个部分的值；最后将算出的结果代入面积公式，按照二次根式的运算规则求出最终的面积即可。
【解析】
解：已知$a=2\sqrt{2}$，$b=3$，$c=1$，先计算各边的平方：
$a^2=(2\sqrt{2})^2=8$，$b^2=3^2=9$，$c^2=1^2=1$
可得：$a^2b^2=8×9=72$
计算括号内的部分：$\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=\frac{8+9-1}{2}=8$
代入面积公式：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}=\sqrt{\frac{1}{4}×(72 - 8^2)}=\sqrt{\frac{1}{4}×(72-64)}=\sqrt{\frac{1}{4}×8}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，代数式代入求值，新定义公式应用
【点评】
本题以我国古代数学成就为背景，考查对新公式的理解运用能力和计算能力，解题时先计算各边的平方再代入公式，能有效降低计算难度，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
这道题给出了秦九韶的三角形面积计算公式，解题时可按步骤简化计算：首先先分别求出a²、b²、c²的值，避免直接带根号计算出错；其次依次计算公式里的$a^2b^2$和$\frac{a^2+b^2-c^2}{2}$这两个部分的值；最后将算出的结果代入面积公式，按照二次根式的运算规则求出最终的面积即可。
【解析】
解：已知$a=2\sqrt{2}$，$b=3$，$c=1$，先计算各边的平方：
$a^2=(2\sqrt{2})^2=8$，$b^2=3^2=9$，$c^2=1^2=1$
可得：$a^2b^2=8×9=72$
计算括号内的部分：$\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=\frac{8+9-1}{2}=8$
代入面积公式：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}=\sqrt{\frac{1}{4}×(72 - 8^2)}=\sqrt{\frac{1}{4}×(72-64)}=\sqrt{\frac{1}{4}×8}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，代数式代入求值，新定义公式应用
【点评】
本题以我国古代数学成就为背景，考查对新公式的理解运用能力和计算能力，解题时先计算各边的平方再代入公式，能有效降低计算难度，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
13 计算:
(1)$[2025\ 湖北中考]|-6|-\sqrt{2}×\sqrt{8}+2^{2}.$
(2)$[2025\ 甘肃中考]\sqrt{12}-\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{2}}.$
(3)$[2025\ 河南中考节选]\sqrt[3]{8}+(π -1)^{0}-\sqrt{3}×\sqrt{3}.$
(4)$[2025\ 陕西中考]\sqrt{3}×\sqrt{12}+|-2|-(π -3)^{0}.$
(1)$[2025\ 湖北中考]|-6|-\sqrt{2}×\sqrt{8}+2^{2}.$
(2)$[2025\ 甘肃中考]\sqrt{12}-\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{2}}.$
(3)$[2025\ 河南中考节选]\sqrt[3]{8}+(π -1)^{0}-\sqrt{3}×\sqrt{3}.$
(4)$[2025\ 陕西中考]\sqrt{3}×\sqrt{12}+|-2|-(π -3)^{0}.$
答案
13.【解】(1)原式$=6-\sqrt{16}+4$
$=6-4+4$
$=6$.
(2)原式$=2\sqrt{3} -\sqrt{3} =\sqrt{3}$.
(3)原式$=2+1-3$
$=0$.
(4)原式$=\sqrt{36} +2-1$
$=6+2-1$
$=7$.
$=6-4+4$
$=6$.
(2)原式$=2\sqrt{3} -\sqrt{3} =\sqrt{3}$.
(3)原式$=2+1-3$
$=0$.
(4)原式$=\sqrt{36} +2-1$
$=6+2-1$
$=7$.
解析
【分析】
这4道题均属于实数混合运算的基础题型，解题遵循“先算高级运算、再算低级运算”的顺序：第一步先分别计算每一个运算项，包括绝对值化简、二次根式乘除、开方（平方根/立方根）、乘方、零指数幂运算；第二步再将各运算项的结果进行加减计算即可，运算时要牢记各运算法则，避免概念混淆出错。
【解析】
(1) 先分别计算各项：根据绝对值的性质得$\vert -6\vert=6$；根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$得$\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$；根据乘方的定义得$2^2=4$。
代入原式计算：$\mathrm{原式}=6-4+4=6$。
(2) 先分别计算各项：化简二次根式得$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；根据二次根式除法法则得$\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}$。
代入原式计算：$\mathrm{原式}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(3) 先分别计算各项：根据立方根定义得$\sqrt[3]{8}=2$；根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$得$(π-1)^0=1$；根据二次根式乘法得$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$。
代入原式计算：$\mathrm{原式}=2+1-3=0$。
(4) 先分别计算各项：根据二次根式乘法法则得$\sqrt{3}×\sqrt{12}=\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$；根据绝对值的性质得$\vert -2\vert=2$；根据零指数幂法则得$(π-3)^0=1$。
代入原式计算：$\mathrm{原式}=6+2-1=7$。
【答案】
(1)$6$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$0$；(4)$7$
【知识点】
实数混合运算，二次根式运算，零指数幂运算
【点评】
这几道是实数运算的常规基础题，也是中考的高频考点，侧重考查对基础运算规则的掌握程度，只要熟练掌握各单元运算的法则，计算时认真细致，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
这4道题均属于实数混合运算的基础题型，解题遵循“先算高级运算、再算低级运算”的顺序：第一步先分别计算每一个运算项，包括绝对值化简、二次根式乘除、开方（平方根/立方根）、乘方、零指数幂运算；第二步再将各运算项的结果进行加减计算即可，运算时要牢记各运算法则，避免概念混淆出错。
【解析】
(1) 先分别计算各项：根据绝对值的性质得$\vert -6\vert=6$；根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$得$\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$；根据乘方的定义得$2^2=4$。
代入原式计算：$\mathrm{原式}=6-4+4=6$。
(2) 先分别计算各项：化简二次根式得$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；根据二次根式除法法则得$\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}$。
代入原式计算：$\mathrm{原式}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(3) 先分别计算各项：根据立方根定义得$\sqrt[3]{8}=2$；根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$得$(π-1)^0=1$；根据二次根式乘法得$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$。
代入原式计算：$\mathrm{原式}=2+1-3=0$。
(4) 先分别计算各项：根据二次根式乘法法则得$\sqrt{3}×\sqrt{12}=\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$；根据绝对值的性质得$\vert -2\vert=2$；根据零指数幂法则得$(π-3)^0=1$。
代入原式计算：$\mathrm{原式}=6+2-1=7$。
【答案】
(1)$6$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$0$；(4)$7$
【知识点】
实数混合运算，二次根式运算，零指数幂运算
【点评】
这几道是实数运算的常规基础题，也是中考的高频考点，侧重考查对基础运算规则的掌握程度，只要熟练掌握各单元运算的法则，计算时认真细致，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
