三、解答题
6.(2025·苏州期末)某项研究表明:人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系,它们之间的关系如图所示.其中,当睡眠时间不超过4小时(0≤t≤4)时,眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数;当睡眠时间不少于4小时(4≤t≤6)时,眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数,且当睡眠时间达到6小时后,眼睛疲劳系数为0.根据图象,回答下列问题:
(1)当0＜t≤4时,求眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数解析式;
(2)如果某人睡眠了t(1＜t＜3)小时后,再连续睡眠了3小时,此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3,求t的值.

6.解:(1)当$0＜t≤4$时,眼睛疲劳系数$y$是睡眠时间$t$的反比例函数，
设这个反比例函数为$y=\frac{k}{t}$，
将$(4,2)$代入,得$2=\frac{k}{4}$,$\therefore k=8$，
$\therefore$眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$之间的函数解析式为$y=\frac{8}{t}(0＜t≤4)$。
(2)根据题意,设当$4≤t≤6$时,眼睛疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数解析式为$y=mt+b(m≠0)$。
将$(4,2),(6,0)$代入，
得$\begin{cases}4m+b=2,\\6m+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\b=6,\end{cases}$
$\therefore$当睡眠时间不少于4小时时,眼疲劳系数$y$关于睡眠时间$t$的函数解析式是$y=-t+6$。
$\because$某人睡眠了$t(1＜t＜3)$小时后,再连续睡眠了3小时，此时眼睛疲劳系数恰好减少了3，
$\therefore \frac{8}{t}-[-(t+3)+6]=3$,整理,得$t^2-6t+8=0$，
解得$t_1=2,t_2=4$，
经检验,$t_1=2,t_2=4$是原方程的解,$t_2=4$不符合题意，舍去,$\therefore t$的值是2。

7.(2025·南通)在平面直角坐标系$xOy$中,反比例函数的图象经过点$A(1,5)$,点$A,B$关于原点对称.该函数图象上另有两点$M_1,M_2$,它们的横坐标分别为$m,m+n$,其中$m＞1,n＞0$.依次作直线$AM_1,BM_1$与$y$轴分别交于点$C_1,D_1$,直线$AM_2,BM_2$与$y$轴分别交于点$C_2,D_2$.记$OC_1-OD_1=d_1,OC_2-OD_2=d_2$.
(1)若$m=2$,求$OC_1$的长;
(2)求代数式$(m+n)·d_2$的值;
(3)当$m(d_1-d_2)=2d_2,3(d_1+d_2)=2n^3$时,求点$D_2$关于直线$AM_2$对称的点$P$的坐标.
易错知识点·反比例函数与一次函数的综合应用

7.解:(1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$，
$\because A(1,5)$在函数图象上，
$\therefore k=5$,$\therefore y=\frac{5}{x}$。
当$x=2$时,$y=\frac{5}{2}$,$\therefore M_1(2,\frac{5}{2})$。
设直线$AM_1$的函数解析式为$y=k_1x+b_1(k_1≠0)$，
$\because A(1,5),M_1(2,\frac{5}{2}),\therefore y=-\frac{5}{2}x+\frac{15}{2}$，
$\therefore$点$C_1$的坐标为$(0,\frac{15}{2}),\therefore OC_1=\frac{15}{2}$。
(2)$\because$点$M_2$在反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上且点$M_2$的横坐标为$m+n$，
$\therefore M_2(m+n,\frac{5}{m+n})$。
$\because A(1,5),\therefore$直线$AM_2$的函数解析式为$y=-\frac{5}{m+n}x+\frac{5}{m+n}+5$，
$\therefore C_2(0,\frac{5}{m+n}+5),\therefore OC_2=\frac{5}{m+n}+5$。
$\because$点$A,B$关于原点对称，
$\therefore B(-1,-5)$，
$\therefore$直线$BM_2$的函数解析式为$y=\frac{5}{m+n}x+\frac{5}{m+n}-5$，
$\therefore D_2(0,\frac{5}{m+n}-5)$。
$\because m＞1,n＞0,\therefore m+n＞1,\therefore \frac{5}{m+n}-5＜0$，
$\therefore OD_2=5-\frac{5}{m+n}$，
$\therefore d_2=OC_2-OD_2=\frac{5}{m+n}+5-(5-\frac{5}{m+n})=\frac{10}{m+n}$，
$\therefore (m+n)·d_2=10$。
(3)$\because A(1,5),M_1(m,\frac{5}{m})$，
$\therefore$直线$AM_1$的函数解析式为$y=-\frac{5}{m}x+\frac{5}{m}+5$。
$\because B(-1,-5),M_1(m,\frac{5}{m})$，
$\therefore$直线$BM_1$的函数解析式为$y=\frac{5}{m}x+\frac{5}{m}-5$，
$\therefore OC_1=\frac{5}{m}+5,OD_1=5-\frac{5}{m},\therefore d_1=\frac{10}{m}$。
$\because m(d_1-d_2)=2d_2$，
$\therefore md_1=(m+2)d_2$。由(2)，得$md_1=(m+n)·d_2=10,\therefore n=2$。
$\because 3(d_1+d_2)=2n^3,\therefore 3(\frac{10}{m}+\frac{10}{m+2})=16$，
$\therefore m=3,\therefore M_2(5,1)$，
$\therefore$直线$AM_2$的函数解析式为$y=-x+6$，
$\therefore C_2(0,6),D_2(0,-4)$。
又$\because M_2(5,1),\therefore △ C_2D_2M_2$是等腰直角三角形，
$\therefore$点$D_2$关于直线$AM_2$对称的点$P$的坐标为$(10,6)$。