10. 求 $ m $ 取何值时，关于 $ x $ 的一元二次方程 $(2m+1)x^2 + 4mx + 2m - 3 = 0$：
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根。

10. 解:$b^2-4ac=(4m)^2-4(2m+1)(2m-3)=16m+12$.
(1)$\because$方程有两个不相等的实数根，
$\therefore 16m+12＞0$且$2m+1≠0$,解得$m＞-\dfrac{3}{4}$且$m≠-\dfrac{1}{2}$.
(2)$\because$方程有两个相等的实数根，
$\therefore 16m+12=0$且$2m+1≠0$,解得$m=-\dfrac{3}{4}$.
(3)$\because$方程没有实数根，
$\therefore 16m+12＜0$且$2m+1≠0$,解得$m＜-\dfrac{3}{4}$.

11.(2025·苏州期末)已知关于$x$的方程$mx^2 + (m-3)x -3=0(m≠0)$.
(1)求证:方程总有两个实数根；
(2)如果$m$为正整数,且方程的两个根均为整数,求$m$的值.

11.(1)证明:$\because m≠0$,$\therefore$方程$mx^2+(m-3)x-3=0(m≠0)$是关于$x$的一元二次方程，
$\therefore \Delta=(m-3)^2-4m·(-3)=(m+3)^2$.
$\because (m+3)^2≥0$,即$\Delta≥0$,
$\therefore$方程总有两个实数根.
(2)解:$\because x=\dfrac{-(m-3)\pm(m+3)}{2m}$,$\therefore x_1=\dfrac{3}{m}$,$x_2=-1$.
$\because m$为正整数,且方程的两个根均为整数，
$\therefore m=1$或$m=3$.

12. 新定义 定义:若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$b=a+c$,则称该方程为“和谐方程”.
(1)下列属于“和谐方程”的是;(填序号)
①$x^2+2x+1=0$;②$x^2-2x+1=0$;③$x^2+x=0$.
(2)求证:“和谐方程”总有实数根;
(3)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”,若该方程有两个相等的实数根,求$a,c$的数量关系.

12.(1)①③
(2)证明:$\because$一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$为“和谐方程”,$\therefore b=a+c$,$\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$,$\therefore$“和谐方程”总有实数根.
(3)解:$\because$“和谐方程”$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个相等的实数根,$\therefore$由(2)知$b^2-4ac=(a-c)^2=0$,$\therefore a=c$.