11. 如图，半径是1个单位长度的圆从原点O沿数轴无滑动地向左滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，则点O'表示的数是______。

$-2\pi$

12. (2025·江苏常州期末)定义一种新运算“&”：对于任意的实数$a,b$，若$a≥ b$，则$a\&b = \sqrt{a - b}$；若$a ＜ b$，则$a\&b = \sqrt[3]{a - b}$。有下列结论：① 当$a≥ b$时，$a\&b≥ 0$；② $(-18)\&9=-3$；③ $(2024\&2025)+(2025\&2024)=0$；④ $(a^2 + 1)\&(a^2 - 3)$的值是无理数。其中一定成立的是______。(填序号)

①②③

13. 如图,一只蚂蚁从点 A 沿数轴向左爬了2个单位长度到达点 B,点 A 表示的数为$2-\sqrt{2}$,设点 B 表示的数为 m.
(1) 实数 m 的值是______,$|m + 1| - |m - 1| = \_\_\_\_\_\_$;
(2) 若数轴上还有分别表示数 c 和 d 的 C,D 两点,且$|2c + d|$与$\sqrt{d^2 - 25}$互为相反数,求$2c - 3d$的平方根.

$-\sqrt{2}$ ; $-2$ ; 解：​$(2)$​由题意，得​$|2c + d|+\sqrt {d^2-25}=0$​∵绝对值与算术平方根具有非负性∴​$2c + d = 0，$​​$d^2-25 = 0$​​$ $​解得​$c=-\frac 52，$​​$d=5$​或​$c=\frac 52，$​​$d=-5$​​$ $​当​$c=-\frac 52，$​​$d = 5$​时，​$2c - 3d=2×(-\frac 52)-3×5-20，$​负数没有平方根​$ $​当​$c=\frac 52，$​​$d = -5$​时，​$2c - 3d=2×\frac 52-3×(-5) = 20，$​​$20$​的平方根为​$\pm \sqrt {20}$​∴​$2c - 3d$​的平方根为​$\pm \sqrt {20}$​

14. 新素养 推理能力 已知 $ x $ 是无理数，且$(x - 2)(x + 6)$是有理数，则下列式子不一定是有理数的是 （ ）
A. $(x - 3)(x + 7)$
B. $(x + 1)(x + 3)$
C. $(x + 2)(x - 6)$
D. $(x + 2)^2$

C

15. (2025·江苏南京期末)已知一张纸上有一数轴,折叠这张纸,使表示－1 的点与表示 5 的点重合,则表示$\sqrt{5}$的点与表示数______的点重合.

$4-\sqrt{5}$

16. 如图,数轴上A,B两点对应的数分别为$\sqrt{10}$和$\sqrt{17}$,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,同时点Q从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1) 当$0＜ t＜ 2$时,$AP=$______, $BQ=$______(用含t的代数式表示);
(2) 当$t=2$时,求$PQ$的值;
(3) 当$PQ=AB$时,求$t$的值(提示:$\sqrt{10}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$).

$t$ ; $\sqrt{17}-2t$ ; 解：​$(2)$​由题意，得点​$P $​表示的数为​$\sqrt {10}+t$​点​$Q $​表示的数为​$2\ \mathrm {t}$​则​$OP=\sqrt {10}+t，$​​$OQ = 2\ \mathrm {t}$​当​$t = 2$​时，​$OP=\sqrt {10}+2，$​​$OQ = 4$​且​$\sqrt {10}+2＞4$​∴​$PQ=OP - OQ=\sqrt {10}-2$​​$(3)$​由​$(2)，$​得​$OP=\sqrt {10}+t，$​​$OQ = 2\ \mathrm {t}$​且​$AB=\sqrt {17}-\sqrt {10}。$​分类讨论如下：当点​$P $​在点​$Q $​的右侧时​$PQ=OP - OQ=\sqrt {10}+t-2\ \mathrm {t}=\sqrt {10}-t$​∵​$PQ = AB，$​∴​$\sqrt {10}-t=\sqrt {17}-\sqrt {10}$​∴​$t = 2\sqrt {10}-\sqrt {17}$​当点​$P $​在点​$Q $​的左侧时​$PQ=OQ - OP=2\ \mathrm {t}-(\sqrt {10}+t)=t-\sqrt {10}$​同理，得​$t-\sqrt {10}=\sqrt {17}-\sqrt {10}，$​解得​$t=\sqrt {17}$​综上，​$t $​的值为​$2\sqrt {10}-\sqrt {17}$​或​$\sqrt {17}$​