登录
1. 下列方程中，是一元一次方程的是(
A.$3x + 2y = 5$
B.$y^2 - 6y + 5 = 0$
C.$\frac{1}{3}x - 3 = \frac{1}{x}$
D.$3x - 2 = 4x - 7$
D
)。A.$3x + 2y = 5$
B.$y^2 - 6y + 5 = 0$
C.$\frac{1}{3}x - 3 = \frac{1}{x}$
D.$3x - 2 = 4x - 7$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元一次方程，需先明确一元一次方程的三个判定要点：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个要点排查，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
B选项：方程中未知数y的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
C选项：方程的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
D选项：方程只含有一个未知数x，x的最高次数为1，且是整式方程，完全符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对一元一次方程判定规则的掌握，只要牢记三个判定要点，注意区分整式方程和分式方程，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元一次方程，需先明确一元一次方程的三个判定要点：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个要点排查，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
B选项：方程中未知数y的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次方程；
C选项：方程的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
D选项：方程只含有一个未知数x，x的最高次数为1，且是整式方程，完全符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对一元一次方程判定规则的掌握，只要牢记三个判定要点，注意区分整式方程和分式方程，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
2. 下列方程中,解是$x=4$的方程是(
A.$3x=-2-10$
B.$x+5=2x+1$
C.$3x-8=5x$
D.$2(x+2)=3x+2$
B
)。A.$3x=-2-10$
B.$x+5=2x+1$
C.$3x-8=5x$
D.$2(x+2)=3x+2$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断解为x=4的方程，有两种常用解题思路：思路一，根据方程解的定义，将x=4分别代入四个选项的方程，计算左右两边的值，若左右两边相等，则x=4是该方程的解；思路二，分别求解四个选项中的一元一次方程，判断哪个方程的解为x=4。其中代入验证法计算量更小，解题更快捷。
【解析】
我们选择代入验证法解题，将x=4依次代入各选项验证：
选项A：左边=3×4=12，右边=-2-10=-12，左边≠右边，x=4不是该方程的解；
选项B：左边=4+5=9，右边=2×4+1=9，左边=右边，x=4是该方程的解；
选项C：左边=3×4-8=4，右边=5×4=20，左边≠右边，x=4不是该方程的解；
选项D：左边=2×(4+2)=12，右边=3×4+2=14，左边≠右边，x=4不是该方程的解。
因此符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题型，主要考查方程解的概念的应用，代入验证法是解决此类题型的常用技巧，计算难度低，熟练掌握即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断解为x=4的方程，有两种常用解题思路：思路一，根据方程解的定义，将x=4分别代入四个选项的方程，计算左右两边的值，若左右两边相等，则x=4是该方程的解；思路二，分别求解四个选项中的一元一次方程，判断哪个方程的解为x=4。其中代入验证法计算量更小，解题更快捷。
【解析】
我们选择代入验证法解题，将x=4依次代入各选项验证：
选项A：左边=3×4=12，右边=-2-10=-12，左边≠右边，x=4不是该方程的解；
选项B：左边=4+5=9，右边=2×4+1=9，左边=右边，x=4是该方程的解；
选项C：左边=3×4-8=4，右边=5×4=20，左边≠右边，x=4不是该方程的解；
选项D：左边=2×(4+2)=12，右边=3×4+2=14，左边≠右边，x=4不是该方程的解。
因此符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题型，主要考查方程解的概念的应用，代入验证法是解决此类题型的常用技巧，计算难度低，熟练掌握即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 方程$2x - 4 = 3x + 8$经移项，可得$2x - 3x = 8 + 4$。这实际上是根据等式的性质，在方程的两边都加上(
A.$-3x + 4$
B.$3x - 4$
C.$-3x - 4$
D.$3x + 4$
A
)。A.$-3x + 4$
B.$3x - 4$
C.$-3x - 4$
D.$3x + 4$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查移项的本质依据，需要结合等式的性质1思考。首先明确等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数或整式，等式仍然成立。对比原方程$2x-4=3x+8$和移项后的方程$2x-3x=8+4$：要把原方程右边的$3x$消去，需要两边同时加$-3x$；要把原方程左边的$-4$消去，需要两边同时加$4$。将两个要加的整式合并，就是两边同时加的式子，再对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
设方程两边同时加上的整式为$M$：
左边加$M$后变为$2x - 4 + M$，移项后左边为$2x - 3x$，因此$2x - 4 + M = 2x - 3x$，解得$M = -3x + 4$。
验证右边：原右边$3x + 8$加$M=-3x+4$后，得$3x + 8 - 3x + 4 = 8 + 4$，和移项后的右边完全一致。
因此方程两边都加上的是$-3x + 4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质1；移项的依据
【点评】
本题没有直接考查移项变号的规则，而是回归移项的本质原理，能帮助学生理解移项变号的底层逻辑，避免机械记忆导致的错误，是基础概念类的典型考题。
【难度系数】
0.7
本题考查移项的本质依据，需要结合等式的性质1思考。首先明确等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数或整式，等式仍然成立。对比原方程$2x-4=3x+8$和移项后的方程$2x-3x=8+4$：要把原方程右边的$3x$消去，需要两边同时加$-3x$；要把原方程左边的$-4$消去，需要两边同时加$4$。将两个要加的整式合并，就是两边同时加的式子，再对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
设方程两边同时加上的整式为$M$：
左边加$M$后变为$2x - 4 + M$，移项后左边为$2x - 3x$，因此$2x - 4 + M = 2x - 3x$，解得$M = -3x + 4$。
验证右边：原右边$3x + 8$加$M=-3x+4$后，得$3x + 8 - 3x + 4 = 8 + 4$，和移项后的右边完全一致。
因此方程两边都加上的是$-3x + 4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质1；移项的依据
【点评】
本题没有直接考查移项变号的规则，而是回归移项的本质原理，能帮助学生理解移项变号的底层逻辑，避免机械记忆导致的错误，是基础概念类的典型考题。
【难度系数】
0.7
4. 一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成。现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程（
A.$\frac{x}{12}+\frac{x}{8}=1$
B.$\frac{x+2}{12}+\frac{x-2}{8}=1$
C.$\frac{2}{x}+\frac{x-2}{12}+\frac{x-2}{8}=1$
D.$\frac{x}{12}+\frac{x-2}{8}=1$
D
）。A.$\frac{x}{12}+\frac{x}{8}=1$
B.$\frac{x+2}{12}+\frac{x-2}{8}=1$
C.$\frac{2}{x}+\frac{x-2}{12}+\frac{x-2}{8}=1$
D.$\frac{x}{12}+\frac{x-2}{8}=1$
答案
4. D
解析
【分析】
这是一道工程问题列方程的题目，解题时首先明确工程问题的基本设定：将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。接下来分析两队的工作时长：题目设完成工程共需x天，甲从工程开始到结束全程参与，所以甲的工作时长为x天；乙是甲先做2天后才加入，所以乙的工作时长比总天数少2天，即$(x-2)$天。最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”的等量关系列方程，再匹配选项即可。
【解析】
工程问题中我们把总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做12天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{12}$；乙单独做8天完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{8}$。
2. 确定工作时长：设完成这项工程共需x天，甲全程参与，工作时长为x天；乙晚2天加入，工作时长为$(x-2)$天。
3. 列等量关系：总工作量=甲的工作量+乙的工作量，其中工作量=工作效率×工作时间，因此可列方程：
$\frac{x}{12}+\frac{x-2}{8}=1$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；工作量计算
【点评】
本题属于工程问题的基础题型，解题核心是牢记总工作量设为1的常规设定，准确梳理每个工作主体的实际工作时长，再结合工作量、工作效率、工作时间三者的关系搭建等量关系即可，易错点是误判乙的工作时长。
【难度系数】
0.7
这是一道工程问题列方程的题目，解题时首先明确工程问题的基本设定：将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。接下来分析两队的工作时长：题目设完成工程共需x天，甲从工程开始到结束全程参与，所以甲的工作时长为x天；乙是甲先做2天后才加入，所以乙的工作时长比总天数少2天，即$(x-2)$天。最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”的等量关系列方程，再匹配选项即可。
【解析】
工程问题中我们把总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做12天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{12}$；乙单独做8天完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{8}$。
2. 确定工作时长：设完成这项工程共需x天，甲全程参与，工作时长为x天；乙晚2天加入，工作时长为$(x-2)$天。
3. 列等量关系：总工作量=甲的工作量+乙的工作量，其中工作量=工作效率×工作时间，因此可列方程：
$\frac{x}{12}+\frac{x-2}{8}=1$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；工作量计算
【点评】
本题属于工程问题的基础题型，解题核心是牢记总工作量设为1的常规设定，准确梳理每个工作主体的实际工作时长，再结合工作量、工作效率、工作时间三者的关系搭建等量关系即可，易错点是误判乙的工作时长。
【难度系数】
0.7
5. 下面解方程的过程正确吗？如果不正确，应怎样改正？
解方程：$\frac{x-1}{4} -1 = \frac{x}{3}$。
解：去分母，得 $3(x-1)-1=4x$。
去括号，得 $3x-1-1=4x$。
移项，得 $3x+4x=-1-1$。
合并同类项，得 $7x=-2$。
解得 $x=-\frac{7}{2}$。
解方程：$\frac{x-1}{4} -1 = \frac{x}{3}$。
解：去分母，得 $3(x-1)-1=4x$。
去括号，得 $3x-1-1=4x$。
移项，得 $3x+4x=-1-1$。
合并同类项，得 $7x=-2$。
解得 $x=-\frac{7}{2}$。
答案
5. 错。改为:去分母,得 $3(x-1)-12=4x$。去括号,得 $3x-3-12=4x$。移项,得$3x-4x=3+12$。化简,得$-x=15$,解得 $x=-15$。
解析
【分析】
要判断解方程过程是否正确，需按照解一元一次方程的标准步骤逐一核对运算规则：首先核对去分母，等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，本题分母4和3的最小公倍数是12，原步骤中常数项-1漏乘12，是第一个错误；再核对去括号，括号外的因数要乘括号内的每一项，原步骤中3未乘括号内的-1，是第二个错误；再核对移项，移项要变号，原步骤中4x移到左边未变号，左边的常数项移到右边也未变号，是第三个错误；最后系数化为1的运算也错误，因此原过程错误，按正确步骤改正即可。
【解析】
原解方程的过程不正确，具体错误为：①去分母时常数项-1漏乘最小公倍数12；②去括号时3漏乘括号内的-1；③移项时未改变移动项的符号；④系数化为1运算错误。
正确解法如下：
去分母，等式两边同时乘12，得 $3(x-1)-12=4x$
去括号，得 $3x-3-12=4x$
移项，得 $3x-4x=3+12$
合并同类项，得 $-x=15$
系数化为1，得 $x=-15$
【答案】
不正确。改正:去分母,得 $3(x-1)-12=4x$。去括号,得 $3x-3-12=4x$。移项,得$3x-4x=3+12$。化简,得$-x=15$,解得 $x=-15$。
【知识点】
解一元一次方程，去分母法则，移项法则
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法，易错点集中在去分母时常数项漏乘公倍数、去括号漏乘项、移项不变号三类问题，解题时需严格遵循运算规则，做完后可代入原方程检验结果是否正确。
【难度系数】
0.7
要判断解方程过程是否正确，需按照解一元一次方程的标准步骤逐一核对运算规则：首先核对去分母，等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，本题分母4和3的最小公倍数是12，原步骤中常数项-1漏乘12，是第一个错误；再核对去括号，括号外的因数要乘括号内的每一项，原步骤中3未乘括号内的-1，是第二个错误；再核对移项，移项要变号，原步骤中4x移到左边未变号，左边的常数项移到右边也未变号，是第三个错误；最后系数化为1的运算也错误，因此原过程错误，按正确步骤改正即可。
【解析】
原解方程的过程不正确，具体错误为：①去分母时常数项-1漏乘最小公倍数12；②去括号时3漏乘括号内的-1；③移项时未改变移动项的符号；④系数化为1运算错误。
正确解法如下：
去分母，等式两边同时乘12，得 $3(x-1)-12=4x$
去括号，得 $3x-3-12=4x$
移项，得 $3x-4x=3+12$
合并同类项，得 $-x=15$
系数化为1，得 $x=-15$
【答案】
不正确。改正:去分母,得 $3(x-1)-12=4x$。去括号,得 $3x-3-12=4x$。移项,得$3x-4x=3+12$。化简,得$-x=15$,解得 $x=-15$。
【知识点】
解一元一次方程，去分母法则，移项法则
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法，易错点集中在去分母时常数项漏乘公倍数、去括号漏乘项、移项不变号三类问题，解题时需严格遵循运算规则，做完后可代入原方程检验结果是否正确。
【难度系数】
0.7
