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1. 下列分式中，是最简分式的是（
A.$\dfrac{15bc}{12a}$
B.$\dfrac{x-y}{x^2+y^2}$
C.$\dfrac{xy-y}{3xy}$
D.$\dfrac{m-1}{1-m}$
B
）A.$\dfrac{15bc}{12a}$
B.$\dfrac{x-y}{x^2+y^2}$
C.$\dfrac{xy-y}{3xy}$
D.$\dfrac{m-1}{1-m}$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为逐个分析选项：先对可因式分解的分子或分母进行因式分解，再判断分子分母是否存在公因式，有公因式则可约分，不是最简分式，无公因式则是最简分式。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：$\dfrac{15bc}{12a}$中，分子系数15和分母系数12有公因数3，可约分为$\dfrac{5bc}{4a}$，不是最简分式；
选项B：$\dfrac{x-y}{x^2+y^2}$中，分子为$x-y$，分母$x^2+y^2$无法因式分解，且分子分母没有公共因式，不能约分，是最简分式；
选项C：$\dfrac{xy-y}{3xy}$中，分子可因式分解为$y(x-1)$，分子分母有公因式$y$，可约分为$\dfrac{x-1}{3x}$，不是最简分式；
选项D：$\dfrac{m-1}{1-m}$中，分母可变形为$-(m-1)$，分子分母有公因式$m-1$，可约分为$-1$，不是最简分式。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式判定，因式分解，公因式识别
【点评】
本题是分式章节的基础题，核心考查最简分式的定义，解题时要注意先对分子分母因式分解，尤其互为相反数的因式也属于可约分的情况，不要漏判。
【难度系数】
0.8
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为逐个分析选项：先对可因式分解的分子或分母进行因式分解，再判断分子分母是否存在公因式，有公因式则可约分，不是最简分式，无公因式则是最简分式。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：$\dfrac{15bc}{12a}$中，分子系数15和分母系数12有公因数3，可约分为$\dfrac{5bc}{4a}$，不是最简分式；
选项B：$\dfrac{x-y}{x^2+y^2}$中，分子为$x-y$，分母$x^2+y^2$无法因式分解，且分子分母没有公共因式，不能约分，是最简分式；
选项C：$\dfrac{xy-y}{3xy}$中，分子可因式分解为$y(x-1)$，分子分母有公因式$y$，可约分为$\dfrac{x-1}{3x}$，不是最简分式；
选项D：$\dfrac{m-1}{1-m}$中，分母可变形为$-(m-1)$，分子分母有公因式$m-1$，可约分为$-1$，不是最简分式。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式判定，因式分解，公因式识别
【点评】
本题是分式章节的基础题，核心考查最简分式的定义，解题时要注意先对分子分母因式分解，尤其互为相反数的因式也属于可约分的情况，不要漏判。
【难度系数】
0.8
2. 下列式子从等号左边到右边的变形中，一定正确的是 （
A.$\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{a-1}{b-1}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$
D
）A.$\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{a-1}{b-1}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确分式的核心性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。接下来结合性质逐一判断选项：先排除分子分母同加、同减的不符合性质的B、C选项；再验证剩余选项：A是分子分母分别平方，不属于同乘同一个整式，可通过举反例排除；D是分子分母同乘b，且b作为原分式的分母必然不为0，符合分式基本性质，变形正确。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，逐一判断：
选项A：取特殊值$a=1,b=2$，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}$，左右不相等，变形错误；
选项B：取特殊值$a=1,b=2$，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，左右不相等，变形错误；
选项C：取特殊值$a=2,b=3$，左边$\frac{2}{3}$，右边$\frac{2-1}{3-1}=\frac{1}{2}$，左右不相等，变形错误；
选项D：原分式$\frac{a}{b}$中$b$是分母，因此$b≠0$，分子分母同时乘$b$可得$\frac{a· b}{b· b}=\frac{ab}{b^2}$，符合分式基本性质，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式变形的基础题，解题关键是准确掌握分式基本性质的要求，注意只有分子分母同乘同除同一个非零整式时，分式的值才不变，同时要注意题目隐含的分母不为0的限制条件，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确分式的核心性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。接下来结合性质逐一判断选项：先排除分子分母同加、同减的不符合性质的B、C选项；再验证剩余选项：A是分子分母分别平方，不属于同乘同一个整式，可通过举反例排除；D是分子分母同乘b，且b作为原分式的分母必然不为0，符合分式基本性质，变形正确。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，逐一判断：
选项A：取特殊值$a=1,b=2$，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}$，左右不相等，变形错误；
选项B：取特殊值$a=1,b=2$，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，左右不相等，变形错误；
选项C：取特殊值$a=2,b=3$，左边$\frac{2}{3}$，右边$\frac{2-1}{3-1}=\frac{1}{2}$，左右不相等，变形错误；
选项D：原分式$\frac{a}{b}$中$b$是分母，因此$b≠0$，分子分母同时乘$b$可得$\frac{a· b}{b· b}=\frac{ab}{b^2}$，符合分式基本性质，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式变形的基础题，解题关键是准确掌握分式基本性质的要求，注意只有分子分母同乘同除同一个非零整式时，分式的值才不变，同时要注意题目隐含的分母不为0的限制条件，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
3. 计算$(\dfrac{x}{2y^2})^3$的结果是（
A.$\dfrac{x^3}{2y^2}$
B.$\dfrac{x^3}{2y^6}$
C.$\dfrac{x^3}{6y^4}$
D.$\dfrac{x^3}{8y^6}$
D
）A.$\dfrac{x^3}{2y^2}$
B.$\dfrac{x^3}{2y^6}$
C.$\dfrac{x^3}{6y^4}$
D.$\dfrac{x^3}{8y^6}$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查分式的乘方相关运算，解题思路如下：第一步回忆分式乘方的运算法则，需将分式的分子、分母分别进行乘方运算；第二步对分母部分的积的乘方展开计算，分别计算系数的乘方和含字母因式的乘方；第三步利用幂的乘方法则计算字母部分的结果，最终化简后对应选项即可。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方，可得：
$(\dfrac{x}{2y^2})^3=\dfrac{x^3}{(2y^2)^3}$
再根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算分母：
$(2y^2)^3=2^3· (y^2)^3$
根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(y^2)^3=y^{2×3}=y^6$，且$2^3=8$，因此分母为$8y^6$。
综上，原式的计算结果为$\dfrac{x^3}{8y^6}$。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘方、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对整式乘方运算法则在分式运算中的应用，计算时注意不要遗漏系数的乘方，幂的乘方时指数是相乘而非相加，熟练掌握运算法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘方相关运算，解题思路如下：第一步回忆分式乘方的运算法则，需将分式的分子、分母分别进行乘方运算；第二步对分母部分的积的乘方展开计算，分别计算系数的乘方和含字母因式的乘方；第三步利用幂的乘方法则计算字母部分的结果，最终化简后对应选项即可。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方，可得：
$(\dfrac{x}{2y^2})^3=\dfrac{x^3}{(2y^2)^3}$
再根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算分母：
$(2y^2)^3=2^3· (y^2)^3$
根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(y^2)^3=y^{2×3}=y^6$，且$2^3=8$，因此分母为$8y^6$。
综上，原式的计算结果为$\dfrac{x^3}{8y^6}$。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘方、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对整式乘方运算法则在分式运算中的应用，计算时注意不要遗漏系数的乘方，幂的乘方时指数是相乘而非相加，熟练掌握运算法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
4. 若将分式$\frac{a-b}{a+b}$中$a$，$b$的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（
A.不变
B.扩大到原来的2倍
C.扩大到原来的4倍
D.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
A
）A.不变
B.扩大到原来的2倍
C.扩大到原来的4倍
D.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
答案
4. A
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是：先按题目要求将原分式中的a、b替换为扩大2倍后的2a、2b，得到变化后的新分式，再利用分式的基本性质化简新分式，最后将化简结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
解：将a、b的值同时扩大到原来的2倍，把原分式中的a替换为2a、b替换为2b，代入得：
$\frac{2a-2b}{2a+2b}$
分别对分子、分母提取公因式2，可得：
$\frac{2(a-b)}{2(a+b)}$
根据分式的基本性质，分子、分母同时除以不为0的2，约分后得：
$\frac{a-b}{a+b}$
化简结果和原分式完全相同，因此分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题关键是准确替换扩大后的字母，正确提取公因式约分，易错点是仅对部分项乘倍数或约分不彻底。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心思路是：先按题目要求将原分式中的a、b替换为扩大2倍后的2a、2b，得到变化后的新分式，再利用分式的基本性质化简新分式，最后将化简结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
解：将a、b的值同时扩大到原来的2倍，把原分式中的a替换为2a、b替换为2b，代入得：
$\frac{2a-2b}{2a+2b}$
分别对分子、分母提取公因式2，可得：
$\frac{2(a-b)}{2(a+b)}$
根据分式的基本性质，分子、分母同时除以不为0的2，约分后得：
$\frac{a-b}{a+b}$
化简结果和原分式完全相同，因此分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题关键是准确替换扩大后的字母，正确提取公因式约分，易错点是仅对部分项乘倍数或约分不彻底。
【难度系数】
0.9
5. 若$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2}$的运算结果为整式，则$□$代表的式子可能是（
A.$y - x$
B.$y + x$
C.$\frac{1}{x}$
D.$3x$
D
）A.$y - x$
B.$y + x$
C.$\frac{1}{x}$
D.$3x$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再利用平方差公式对多项式因式分解，约分后观察化简结果的分母，要使最终结果为整式，只需中的式子能将化简后剩余的分母约掉即可，据此逐一验证选项就能得到答案。
【解析】
先对原式进行化简：
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，结合平方差公式$y^2-x^2=(y-x)(y+x)$，可得：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} × \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
约分化简后得：$\frac{□ · (y-x)}{x}$
若运算结果为整式，则分母$x$需要被约去，即中需含有因式$x$：
选项A：$y-x$不含因式$x$，代入后结果为分式，不符合；
选项B：$y+x$不含因式$x$，代入后结果为分式，不符合；
选项C：$\frac{1}{x}$代入后结果为$\frac{y-x}{x^2}$，是分式，不符合；
选项D：$3x$含因式$x$，代入后约去$x$得$3(y-x)$，是整式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算；平方差公式；整式的定义
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式化简的方法，需要熟练掌握分式乘除的运算规则和常见的因式分解方法，结合整式的特征判断未知项即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再利用平方差公式对多项式因式分解，约分后观察化简结果的分母，要使最终结果为整式，只需中的式子能将化简后剩余的分母约掉即可，据此逐一验证选项就能得到答案。
【解析】
先对原式进行化简：
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，结合平方差公式$y^2-x^2=(y-x)(y+x)$，可得：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} × \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
约分化简后得：$\frac{□ · (y-x)}{x}$
若运算结果为整式，则分母$x$需要被约去，即中需含有因式$x$：
选项A：$y-x$不含因式$x$，代入后结果为分式，不符合；
选项B：$y+x$不含因式$x$，代入后结果为分式，不符合；
选项C：$\frac{1}{x}$代入后结果为$\frac{y-x}{x^2}$，是分式，不符合；
选项D：$3x$含因式$x$，代入后约去$x$得$3(y-x)$，是整式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算；平方差公式；整式的定义
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式化简的方法，需要熟练掌握分式乘除的运算规则和常见的因式分解方法，结合整式的特征判断未知项即可求解。
【难度系数】
0.7
6. 将分式方程$\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x}=0$去分母后，可得（
A.$3x+(x-2)=0$
B.$3x-(x-2)=0$
C.$3(x-2)+x=0$
D.$3(x-2)-x=0$
B
）A.$3x+(x-2)=0$
B.$3x-(x-2)=0$
C.$3(x-2)+x=0$
D.$3(x-2)-x=0$
答案
6. B
解析
【分析】
解这道题的核心是掌握分式方程去分母的方法，第一步先找方程中两个分式的最简公分母，本题分母分别是$x-2$和$x$，二者没有公因式，因此最简公分母为$x(x-2)$；第二步将方程两边的每一项都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，计算时要注意第二项前面的负号，以及分数线自带括号的作用，避免符号出错。
【解析】
要对分式方程去分母，首先确定最简公分母为$x(x-2)$。
将方程两边同时乘以$x(x-2)$，每一项都要参与乘法运算：
第一项$\frac{3}{x-2} × x(x-2) = 3x$
第二项$-\frac{1}{x} × x(x-2) = -(x-2)$
右边$0 × x(x-2) = 0$
整理可得：$3x - (x-2) = 0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母；符号运算
【点评】
本题是分式方程变形的基础题型，重点考察去分母的操作规范，做题时要注意两点：一是所有项都要乘最简公分母，不要漏乘；二是注意减号后项的符号变化，避免因忽略分数线的括号作用导致符号错误。
【难度系数】
0.9
解这道题的核心是掌握分式方程去分母的方法，第一步先找方程中两个分式的最简公分母，本题分母分别是$x-2$和$x$，二者没有公因式，因此最简公分母为$x(x-2)$；第二步将方程两边的每一项都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，计算时要注意第二项前面的负号，以及分数线自带括号的作用，避免符号出错。
【解析】
要对分式方程去分母，首先确定最简公分母为$x(x-2)$。
将方程两边同时乘以$x(x-2)$，每一项都要参与乘法运算：
第一项$\frac{3}{x-2} × x(x-2) = 3x$
第二项$-\frac{1}{x} × x(x-2) = -(x-2)$
右边$0 × x(x-2) = 0$
整理可得：$3x - (x-2) = 0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母；符号运算
【点评】
本题是分式方程变形的基础题型，重点考察去分母的操作规范，做题时要注意两点：一是所有项都要乘最简公分母，不要漏乘；二是注意减号后项的符号变化，避免因忽略分数线的括号作用导致符号错误。
【难度系数】
0.9
7. 若分式方程$\frac{x}{x-4}=1+\frac{2a}{x-4}$有增根，则增根是（
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=3$
D.$x=4$
D
）A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=3$
D.$x=4$
答案
7. D
解析
【分析】
要确定分式方程的增根，首先明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，且该根会使原分式方程的分母为0，导致分式无意义。解题时先找原方程所有分母的最简公分母，令最简公分母为0，求出对应的x值，再验证该值是否为去分母后整式方程的根即可。
【解析】
首先观察原分式方程$\frac{x}{x-4}=1+\frac{2a}{x-4}$，各分式的分母均为$x-4$，最简公分母为$x-4$。
根据增根的性质，增根使最简公分母为0，令$x-4=0$，解得$x=4$。
接下来验证：将原方程两边同时乘最简公分母$x-4$（$x≠4$时分式有意义），去分母得：
$x = (x-4) + 2a$
把$x=4$代入上式，左边为$4$，右边为$4-4+2a=2a$，可得$4=2a$，即存在实数$a=2$使得整式方程成立，因此$x=4$是该分式方程的增根。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程增根的概念应用，解题核心是掌握增根需同时满足“是去分母后整式方程的根”“使原分式分母为0”两个条件，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
要确定分式方程的增根，首先明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，且该根会使原分式方程的分母为0，导致分式无意义。解题时先找原方程所有分母的最简公分母，令最简公分母为0，求出对应的x值，再验证该值是否为去分母后整式方程的根即可。
【解析】
首先观察原分式方程$\frac{x}{x-4}=1+\frac{2a}{x-4}$，各分式的分母均为$x-4$，最简公分母为$x-4$。
根据增根的性质，增根使最简公分母为0，令$x-4=0$，解得$x=4$。
接下来验证：将原方程两边同时乘最简公分母$x-4$（$x≠4$时分式有意义），去分母得：
$x = (x-4) + 2a$
把$x=4$代入上式，左边为$4$，右边为$4-4+2a=2a$，可得$4=2a$，即存在实数$a=2$使得整式方程成立，因此$x=4$是该分式方程的增根。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程增根的概念应用，解题核心是掌握增根需同时满足“是去分母后整式方程的根”“使原分式分母为0”两个条件，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
