1. 三元一次方程
含有个未知数，并且含未知数的项的次数都是的方程，叫作三元一次方程.
2. 三元一次方程组
含有个未知数，并且含未知数的项的次数都是的方程组叫作三元一次方程组.
一般地，三元一次方程组含有三个方程.
3. 三元一次方程组的解
对于未知数为$x,y,z$的三元一次方程组，若$x,y,z$分别用数$c_1,c_2,c_3$代入，能使每个方程左右两边的值 ______ ，则把$(c_1,c_2,c_3)$叫作这个方程组的一个解. 习惯上也记作$\begin{cases}x=c_1, \\ y=c_2, \\ z=c_3.\end{cases}$
4. 解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为，然后利用解二元一次方程组的方法求解. 消元的方法仍是消元法或消元法.

1. 三 1
2. 三 1
3. 相等
4. 二元一次方程组 代入 加减

【例1】解方程组：$\begin{cases}3x + y - 4z = 13, \quad ① \\5x - y + 3z = 5, \quad ② \\x + y - z = 3. \quad ③\end{cases}$

解:由①+②,得 8x-z=18. ④
由②+③,得 6x+2z=8. ⑤
④×2+⑤,得 22x=44,解得 x=2.
把 x=2 代入④,得 16-z=18,解得 z=-2.
把 x=2,z=-2 代入③,解得 y=-1,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\ y=-1, \\ z=-2.\end{cases}$

【变式】已知代数式$ax^2+bx+c$，当$x=-1$时，其值为4；当$x=1$时，其值为8；当$x=2$时，其值为25；当$x=3$时，其值为（）

A.4
B.8
C.62
D.52

D

【例2】小芳、小民、小君三位同学去商店买文具用品，小芳说：“我买了4支水笔、2本笔记本、10本作文本共用了19元.”小民说：“我买了2支水笔、3本笔记本、10本练习本共用了20元.”小君说：“我买了12本练习本、8本作文本共用了10元，作文本与练习本的价格是一样的哦!”请根据以上内容，求出笔记本、水笔、练习本的单价.

解:设笔记本每本 x 元,水笔每支 y 元,练习本或作文本每本 z 元.
根据题意,得$\begin{cases}2x+4y+10z=19, \\3x+2y+10z=20, \\(12+8)z=10.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=4, \\ y=1.5, \\ z=0.5.\end{cases}$
答:笔记本每本 4 元,水笔每支 1.5 元,练习本每本 0.5 元.

【变式】三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题.例:把数字1,2,3,…,9分别填入如图所示的9个圆圈内,要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18,则$x+y+z$的和是 ()


A.6
B.15
C.18
D.24
课后提升
分层评价，培育核心素养
A组

B