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8.已知$|a|=3,b^2=4,a＜b$,则$a+b=$
-1或-5
.答案
8.-1或-5
解析
【分析】
解题时先根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再根据乘方的意义求出b的所有可能取值，接着结合a＜b的限制条件筛选出符合要求的a、b组合，最后分别计算每组组合的a+b的值即可。
【解析】
解：
∵|a|=3，
∴a=3或a=-3；
∵b²=4，
∴b=2或b=-2。
又
∵a＜b，
∴当a=3时，3＞2且3＞-2，不符合a＜b的要求，舍去；
当a=-3时，-3＜2、-3＜-2，均满足要求。
①当a=-3，b=2时，a+b=-3+2=-1；
②当a=-3，b=-2时，a+b=-3+(-2)=-5。
综上，a+b的值为-1或-5。
【答案】
-1或-5
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数的乘方
3. 有理数大小比较
【点评】
本题需要注意绝对值、平方运算的结果都对应两种不同的原数取值，解题时要先列举所有可能，再结合约束条件排除不符合的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再根据乘方的意义求出b的所有可能取值，接着结合a＜b的限制条件筛选出符合要求的a、b组合，最后分别计算每组组合的a+b的值即可。
【解析】
解：
∵|a|=3，
∴a=3或a=-3；
∵b²=4，
∴b=2或b=-2。
又
∵a＜b，
∴当a=3时，3＞2且3＞-2，不符合a＜b的要求，舍去；
当a=-3时，-3＜2、-3＜-2，均满足要求。
①当a=-3，b=2时，a+b=-3+2=-1；
②当a=-3，b=-2时，a+b=-3+(-2)=-5。
综上，a+b的值为-1或-5。
【答案】
-1或-5
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数的乘方
3. 有理数大小比较
【点评】
本题需要注意绝对值、平方运算的结果都对应两种不同的原数取值，解题时要先列举所有可能，再结合约束条件排除不符合的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
9.平方等于它本身的数是
0或1
，即$a^2=a$，则$a=$0或1
；立方等于它本身的数是0或±1
，即$a^3=a$，则$a=$0或±1
；平方等于立方的数是0或1
。答案
9. 0或1,0或1,0或±1,0或±1,0或1
解析
【分析】
这道题考查特殊有理数的乘方特征，解题时我们可以从乘方的意义出发，选取0、1、-1这几个常用的特殊值代入验证，再排除其他不符合条件的数即可。注意不要漏掉0这个特殊解，也不要忽略负数的乘方符号规律，按照题目顺序依次求解平方等于本身、立方等于本身、平方等于立方的三类数即可。
【解析】
我们通过代入特殊值验证的方法求解，符合七年级知识要求：
1. 求平方等于它本身的数，即满足$a^2=a$的$a$：
代入验证：$a=0$时，$0^2=0$，等式成立；$a=1$时，$1^2=1$，等式成立；$a=-1$时，$(-1)^2=1≠-1$，不成立；绝对值大于1的数平方的绝对值远大于自身，不满足，因此$a=0$或$1$。
2. 求立方等于它本身的数，即满足$a^3=a$的$a$：
代入验证：$a=0$时，$0^3=0$，等式成立；$a=1$时，$1^3=1$，等式成立；$a=-1$时，$(-1)^3=-1$，等式成立；绝对值大于1的数立方的绝对值远大于自身，不满足，因此$a=0$或$\pm1$。
3. 求平方等于立方的数，即满足$a^2=a^3$的$a$：
代入验证：$a=0$时，$0^2=0^3=0$，成立；$a=1$时，$1^2=1^3=1$，成立；$a=-1$时，$(-1)^2=1$，$(-1)^3=-1$，不相等，不成立；其余数均不满足，因此结果为0或1。
【答案】
0或1；0或1；0或±1；0或±1；0或1
【知识点】
乘方的意义；有理数乘方运算；特殊值验证
【点评】
本题是乘方的基础题型，重点考察对特殊有理数乘方结果的掌握情况，采用特殊值代入验证的方法解题简单高效，解题时要注意避免漏解0和负数的情况。
【难度系数】
0.8
这道题考查特殊有理数的乘方特征，解题时我们可以从乘方的意义出发，选取0、1、-1这几个常用的特殊值代入验证，再排除其他不符合条件的数即可。注意不要漏掉0这个特殊解，也不要忽略负数的乘方符号规律，按照题目顺序依次求解平方等于本身、立方等于本身、平方等于立方的三类数即可。
【解析】
我们通过代入特殊值验证的方法求解，符合七年级知识要求：
1. 求平方等于它本身的数，即满足$a^2=a$的$a$：
代入验证：$a=0$时，$0^2=0$，等式成立；$a=1$时，$1^2=1$，等式成立；$a=-1$时，$(-1)^2=1≠-1$，不成立；绝对值大于1的数平方的绝对值远大于自身，不满足，因此$a=0$或$1$。
2. 求立方等于它本身的数，即满足$a^3=a$的$a$：
代入验证：$a=0$时，$0^3=0$，等式成立；$a=1$时，$1^3=1$，等式成立；$a=-1$时，$(-1)^3=-1$，等式成立；绝对值大于1的数立方的绝对值远大于自身，不满足，因此$a=0$或$\pm1$。
3. 求平方等于立方的数，即满足$a^2=a^3$的$a$：
代入验证：$a=0$时，$0^2=0^3=0$，成立；$a=1$时，$1^2=1^3=1$，成立；$a=-1$时，$(-1)^2=1$，$(-1)^3=-1$，不相等，不成立；其余数均不满足，因此结果为0或1。
【答案】
0或1；0或1；0或±1；0或±1；0或1
【知识点】
乘方的意义；有理数乘方运算；特殊值验证
【点评】
本题是乘方的基础题型，重点考察对特殊有理数乘方结果的掌握情况，采用特殊值代入验证的方法解题简单高效，解题时要注意避免漏解0和负数的情况。
【难度系数】
0.8
10.设$n$是正整数，则$\frac{(-1)^n + (-1)^{n+2}}{2}$的值为
1或-1
.答案
10.1或-1
解析
【分析】
要计算该式的值，首先需掌握$(-1)$的幂次规律：$(-1)$的偶数次幂为1，奇数次幂为$-1$。同时正整数$n$和$n+2$的奇偶性完全相同（加2不改变数的奇偶性），因此只需分$n$为奇数、$n$为偶数两种情况，分别代入式子计算即可。
【解析】
我们分两种情况讨论求解：
1. 当$n$为正奇数时，$n+2$也为奇数：
此时$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+2}=-1$，代入原式得：
$\frac{(-1)+(-1)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
2. 当$n$为正偶数时，$n+2$也为偶数：
此时$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+2}=1$，代入原式得：
$\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1$
综上，原式的值为1或-1。
【答案】
1或-1
【知识点】
乘方的符号规律，分类讨论思想，有理数混合运算
【点评】
本题属于乘方模块的基础题型，核心考查$(-1)$的幂次运算规律，解题关键是明确$n$和$n+2$奇偶性一致，通过分情况讨论即可快速得出结果，主要检验对乘方符号规律的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要计算该式的值，首先需掌握$(-1)$的幂次规律：$(-1)$的偶数次幂为1，奇数次幂为$-1$。同时正整数$n$和$n+2$的奇偶性完全相同（加2不改变数的奇偶性），因此只需分$n$为奇数、$n$为偶数两种情况，分别代入式子计算即可。
【解析】
我们分两种情况讨论求解：
1. 当$n$为正奇数时，$n+2$也为奇数：
此时$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+2}=-1$，代入原式得：
$\frac{(-1)+(-1)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
2. 当$n$为正偶数时，$n+2$也为偶数：
此时$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+2}=1$，代入原式得：
$\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1$
综上，原式的值为1或-1。
【答案】
1或-1
【知识点】
乘方的符号规律，分类讨论思想，有理数混合运算
【点评】
本题属于乘方模块的基础题型，核心考查$(-1)$的幂次运算规律，解题关键是明确$n$和$n+2$奇偶性一致，通过分情况讨论即可快速得出结果，主要检验对乘方符号规律的掌握程度。
【难度系数】
0.8
11.《庄子·天下》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是
$\dfrac{1}{16}$
.答案
11.$\dfrac{1}{16}$
解析
【分析】
解题时可以先从简单的天数入手推导剩余长度的规律：每天截取木棍的一半，说明当天截取后剩余的长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$。第1天剩余长度是总长度乘$\frac{1}{2}$，第2天剩余长度是第1天剩余长度再乘$\frac{1}{2}$，也就是总长度乘$(\frac{1}{2})^2$，以此类推，第$n$天截取后剩余长度就是总长度乘$(\frac{1}{2})^n$，最后将$n=4$代入计算即可。
【解析】
解：由题意得，每天截取后剩余的长度为前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，已知木棍初始长度为1。
第1天截取后剩余长度：$1× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1=\frac{1}{2}$
第2天截取后剩余长度：$\frac{1}{2}× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
第3天截取后剩余长度：$(\frac{1}{2})^2× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$
第4天截取后剩余长度：$(\frac{1}{2})^3× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$
【答案】
$\dfrac{1}{16}$
【知识点】
乘方的应用；有理数乘方运算
【点评】
本题以传统典籍记载的内容为背景，结合生活情境考查乘方的相关知识，解题时只需先归纳出剩余长度的变化规律，再结合乘方的意义计算即可，既能考查基础知识的掌握情况，也能让学生感受到数学与传统文化的联系。
【难度系数】
0.9
解题时可以先从简单的天数入手推导剩余长度的规律：每天截取木棍的一半，说明当天截取后剩余的长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$。第1天剩余长度是总长度乘$\frac{1}{2}$，第2天剩余长度是第1天剩余长度再乘$\frac{1}{2}$，也就是总长度乘$(\frac{1}{2})^2$，以此类推，第$n$天截取后剩余长度就是总长度乘$(\frac{1}{2})^n$，最后将$n=4$代入计算即可。
【解析】
解：由题意得，每天截取后剩余的长度为前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，已知木棍初始长度为1。
第1天截取后剩余长度：$1× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1=\frac{1}{2}$
第2天截取后剩余长度：$\frac{1}{2}× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
第3天截取后剩余长度：$(\frac{1}{2})^2× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$
第4天截取后剩余长度：$(\frac{1}{2})^3× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$
【答案】
$\dfrac{1}{16}$
【知识点】
乘方的应用；有理数乘方运算
【点评】
本题以传统典籍记载的内容为背景，结合生活情境考查乘方的相关知识，解题时只需先归纳出剩余长度的变化规律，再结合乘方的意义计算即可，既能考查基础知识的掌握情况，也能让学生感受到数学与传统文化的联系。
【难度系数】
0.9
12.已知$(a+2)^2$与$|b-3|$互为相反数，求$a^b$的值.
答案
12.-8
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“互为相反数”入手，根据相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可列出等式。再观察等式中两个式子的特征：平方数和绝对值都具有非负性（即取值都大于等于0），两个非负数相加得0，说明两个非负数各自都为0，据此可列方程求出a、b的值，最后代入乘方运算计算结果即可。
【解析】
解：
∵$(a+2)^2$与$|b-3|$互为相反数
∴$(a+2)^2 + |b-3| = 0$
又
∵平方数和绝对值均为非负数，即$(a+2)^2 ≥ 0$，$|b-3| ≥ 0$
∴只有当$a+2=0$且$b-3=0$时，等式成立
解得$a=-2$，$b=3$
将$a=-2$，$b=3$代入得：
$a^b=(-2)^3=-8$
【答案】
-8
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查非负数的性质应用，解题关键是牢记“若多个非负数的和为0，则每个非负数的取值都为0”的规律，运算时要注意负数乘方的符号判断，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“互为相反数”入手，根据相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可列出等式。再观察等式中两个式子的特征：平方数和绝对值都具有非负性（即取值都大于等于0），两个非负数相加得0，说明两个非负数各自都为0，据此可列方程求出a、b的值，最后代入乘方运算计算结果即可。
【解析】
解：
∵$(a+2)^2$与$|b-3|$互为相反数
∴$(a+2)^2 + |b-3| = 0$
又
∵平方数和绝对值均为非负数，即$(a+2)^2 ≥ 0$，$|b-3| ≥ 0$
∴只有当$a+2=0$且$b-3=0$时，等式成立
解得$a=-2$，$b=3$
将$a=-2$，$b=3$代入得：
$a^b=(-2)^3=-8$
【答案】
-8
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查非负数的性质应用，解题关键是牢记“若多个非负数的和为0，则每个非负数的取值都为0”的规律，运算时要注意负数乘方的符号判断，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
13.计算：$2^1 -1=1,2^2 -1=3,2^3 -1=7,2^4 -1=15,2^5 -1=31,···$.归纳各计算结果中个位的数字规律，猜测$2^{888} -1$的个位数字是
5
.答案
13.5
解析
【分析】
我们要找$2^n-1$的个位数字规律，首先观察题目给出的前几个计算结果的个位数字，发现其呈现周期性循环的特点。解题时第一步先列出已知结果的个位数字，确定循环周期；第二步用所求的指数888除以周期，根据余数判断对应周期里的个位数字即可。
【解析】
先整理已知算式结果的个位数字：
$2^1 -1=1$，个位数字为1；
$2^2 -1=3$，个位数字为3；
$2^3 -1=7$，个位数字为7；
$2^4 -1=15$，个位数字为5；
$2^5 -1=31$，个位数字为1；
……
可见个位数字按照1、3、7、5的顺序，每4个为一个周期循环出现。
接下来计算888除以周期4的结果：$888 ÷ 4 = 222$，没有余数，说明$2^{888} -1$的个位数字对应周期中的第4个数字，也就是5。
【答案】
5
【知识点】
1. 乘方运算 2. 规律探究 3. 周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，重点考查观察、归纳能力，解题核心是找到个位数字的循环周期，再通过除法求余数定位对应的数字，掌握这类方法可以快速解决同类型的个位数字规律问题。
【难度系数】
0.7
我们要找$2^n-1$的个位数字规律，首先观察题目给出的前几个计算结果的个位数字，发现其呈现周期性循环的特点。解题时第一步先列出已知结果的个位数字，确定循环周期；第二步用所求的指数888除以周期，根据余数判断对应周期里的个位数字即可。
【解析】
先整理已知算式结果的个位数字：
$2^1 -1=1$，个位数字为1；
$2^2 -1=3$，个位数字为3；
$2^3 -1=7$，个位数字为7；
$2^4 -1=15$，个位数字为5；
$2^5 -1=31$，个位数字为1；
……
可见个位数字按照1、3、7、5的顺序，每4个为一个周期循环出现。
接下来计算888除以周期4的结果：$888 ÷ 4 = 222$，没有余数，说明$2^{888} -1$的个位数字对应周期中的第4个数字，也就是5。
【答案】
5
【知识点】
1. 乘方运算 2. 规律探究 3. 周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，重点考查观察、归纳能力，解题核心是找到个位数字的循环周期，再通过除法求余数定位对应的数字，掌握这类方法可以快速解决同类型的个位数字规律问题。
【难度系数】
0.7
14.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示.这样捏合到第
7
次后可拉出128根面条.答案
14.7
解析
【分析】
解题时先从已知的前几次捏合后的面条数量入手找规律：初始状态面条为1根，第1次捏合拉伸后得到2根面条，第2次捏合后得到4根，第3次捏合后得到8根，不难发现每次捏合后的面条数量都是前一次的2倍，因此第n次捏合后的面条数量为2的n次方。接下来只需要计算2的多少次方等于128，即可得到对应的捏合次数。
【解析】
我们先列举前几次捏合后的面条数量，寻找规律：
第1次捏合后，面条数：$2 = 2^1$根；
第2次捏合后，面条数：$4 = 2^2$根；
第3次捏合后，面条数：$8 = 2^3$根；
……
由此可得规律：第$n$次捏合后，面条总数为$2^n$根。
现在要求面条总数为128根，即$2^n=128$。
因为$2^7=128$，所以$n=7$。
【答案】
7
【知识点】
乘方运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方的实际应用，解题核心是通过归纳前几次的结果得到数量变化规律，再结合乘方运算求解，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的前几次捏合后的面条数量入手找规律：初始状态面条为1根，第1次捏合拉伸后得到2根面条，第2次捏合后得到4根，第3次捏合后得到8根，不难发现每次捏合后的面条数量都是前一次的2倍，因此第n次捏合后的面条数量为2的n次方。接下来只需要计算2的多少次方等于128，即可得到对应的捏合次数。
【解析】
我们先列举前几次捏合后的面条数量，寻找规律：
第1次捏合后，面条数：$2 = 2^1$根；
第2次捏合后，面条数：$4 = 2^2$根；
第3次捏合后，面条数：$8 = 2^3$根；
……
由此可得规律：第$n$次捏合后，面条总数为$2^n$根。
现在要求面条总数为128根，即$2^n=128$。
因为$2^7=128$，所以$n=7$。
【答案】
7
【知识点】
乘方运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方的实际应用，解题核心是通过归纳前几次的结果得到数量变化规律，再结合乘方运算求解，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
15.(1)根据乘方的定义计算:
①$3^2×5^2=$
②$(-2)^3×5^3=$
(2)根据(1)中的计算结果猜想:$a^n·b^n=$
(3)利用(2)中结论计算:①$(-4)^{2025}×0.25^{2025}$;②$(\dfrac{21}{26})^4×(\dfrac{13}{7})^4×(\dfrac{2}{3})^3$.
①$3^2×5^2=$
225
,$(3×5)^2=$225
;②$(-2)^3×5^3=$
-1 000
,$[(-2)×5]^3=$-1 000
.(2)根据(1)中的计算结果猜想:$a^n·b^n=$
$(ab)^n$
.(3)利用(2)中结论计算:①$(-4)^{2025}×0.25^{2025}$;②$(\dfrac{21}{26})^4×(\dfrac{13}{7})^4×(\dfrac{2}{3})^3$.
答案
15.(1)①225,225 ②-1 000,-1 000 (2)$(ab)^n$ (3)①-1 ②$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
首先解决(1)问，根据乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，分别计算两组式子的结果，对比发现每组两个式子结果相等；接着解决(2)问，通过(1)中两组同指数幂相乘的计算结果，归纳猜想得出一般规律：同指数的两个幂相乘，底数相乘，指数不变；最后解决(3)问，直接运用(2)中得出的规律进行简便计算，第②小问注意先将指数相同的项合并计算，再拆分调整指数进一步简化运算。
【解析】
(1)①根据乘方定义计算：
$3^2×5^2=9×25=225$，
$(3×5)^2=15^2=225$；
②同理计算：
$(-2)^3×5^3=(-8)×125=-1000$，
$[(-2)×5]^3=(-10)^3=-1000$；
(2)观察(1)中两组运算结果，可得：$a^n·b^n=(ab)^n$；
(3)①根据(2)的结论计算：
原式=$(-4×0.25)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$；
②先合并指数为4的两项，再调整指数计算：
原式=$(\dfrac{21}{26}×\dfrac{13}{7})^4×(\dfrac{2}{3})^3$
=$(\dfrac{3}{2})^4×(\dfrac{2}{3})^3$
=$\dfrac{3}{2}×(\dfrac{3}{2})^3×(\dfrac{2}{3})^3$
=$\dfrac{3}{2}×(\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3})^3$
=$\dfrac{3}{2}×1^3=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1)①225，225；②-1000，-1000
(2)$(ab)^n$
(3)①-1；②$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 乘方的定义
2. 积的乘方运算
3. 幂的简便运算
【点评】
本题从具体的乘方运算入手，引导学生经历“计算-猜想-验证-应用”的过程，既巩固了乘方的基础运算，又帮助学生掌握同指数幂相乘的简便运算规律，有效提升归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.75
首先解决(1)问，根据乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，分别计算两组式子的结果，对比发现每组两个式子结果相等；接着解决(2)问，通过(1)中两组同指数幂相乘的计算结果，归纳猜想得出一般规律：同指数的两个幂相乘，底数相乘，指数不变；最后解决(3)问，直接运用(2)中得出的规律进行简便计算，第②小问注意先将指数相同的项合并计算，再拆分调整指数进一步简化运算。
【解析】
(1)①根据乘方定义计算：
$3^2×5^2=9×25=225$，
$(3×5)^2=15^2=225$；
②同理计算：
$(-2)^3×5^3=(-8)×125=-1000$，
$[(-2)×5]^3=(-10)^3=-1000$；
(2)观察(1)中两组运算结果，可得：$a^n·b^n=(ab)^n$；
(3)①根据(2)的结论计算：
原式=$(-4×0.25)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$；
②先合并指数为4的两项，再调整指数计算：
原式=$(\dfrac{21}{26}×\dfrac{13}{7})^4×(\dfrac{2}{3})^3$
=$(\dfrac{3}{2})^4×(\dfrac{2}{3})^3$
=$\dfrac{3}{2}×(\dfrac{3}{2})^3×(\dfrac{2}{3})^3$
=$\dfrac{3}{2}×(\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3})^3$
=$\dfrac{3}{2}×1^3=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1)①225，225；②-1000，-1000
(2)$(ab)^n$
(3)①-1；②$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 乘方的定义
2. 积的乘方运算
3. 幂的简便运算
【点评】
本题从具体的乘方运算入手，引导学生经历“计算-猜想-验证-应用”的过程，既巩固了乘方的基础运算，又帮助学生掌握同指数幂相乘的简便运算规律，有效提升归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.75
