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10. 已知 $ 2 x - y = 3 $.
(1) 用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $；
(2) 若 $ 2 ＜ y ＜ 3 $，求 $ x $ 的取值范围；
(3) 若 $ - 1 ≤ x ≤ 2 $，求 $ y $ 的最小值.
(1) 用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $；
(2) 若 $ 2 ＜ y ＜ 3 $，求 $ x $ 的取值范围；
(3) 若 $ - 1 ≤ x ≤ 2 $，求 $ y $ 的最小值.
答案
10. 解：(1)由 $ 2x - y = 3 $ 可得 $ y = 2x - 3 $。
(2)由 $ 2 ＜ y ＜ 3 $，得 $ 2 ＜ 2x - 3 ＜ 3 $，
解不等式 $ 2x - 3 ＞ 2 $，得 $ x ＞ 2.5 $，
解不等式 $ 2x - 3 ＜ 3 $，得 $ x ＜ 3 $，
所以 $ x $ 的取值范围是 $ 2.5 ＜ x ＜ 3 $。
(3)由 $ -1 ≤ x ≤ 2 $，得 $ -5 ≤ 2x - 3 ≤ 1 $，即 $ -5 ≤ y ≤ 1 $，
所以 $ y $ 的最小值为 $ -5 $。
(2)由 $ 2 ＜ y ＜ 3 $，得 $ 2 ＜ 2x - 3 ＜ 3 $，
解不等式 $ 2x - 3 ＞ 2 $，得 $ x ＞ 2.5 $，
解不等式 $ 2x - 3 ＜ 3 $，得 $ x ＜ 3 $，
所以 $ x $ 的取值范围是 $ 2.5 ＜ x ＜ 3 $。
(3)由 $ -1 ≤ x ≤ 2 $，得 $ -5 ≤ 2x - 3 ≤ 1 $，即 $ -5 ≤ y ≤ 1 $，
所以 $ y $ 的最小值为 $ -5 $。
11. 对于有理数，规定新运算：$ a * b = \{ \begin{array} { l } { a + b - 5 ( a ＞ b ), } \\ { a b - b ( a ≤ b ). } \end{array} $ 如 $ 3 * 2 $，因为 $ 3 ＞ 2 $，所以 $ 3 * 2 = 3 + 2 - 5 = 0 $.
(1) 计算：$ ( - 2 ) * 5 $；
(2) 若 $ ( x + 3 ) * 2 = 3 $，求 $ x $ 的值；
(3) 记 $ M = ( x + 3 ) * ( x - 1 ) $，$ N = x * ( x + 1 ) $，判断 $ M $ 和 $ N $ 的大小关系，并说明理由.
(1) 计算：$ ( - 2 ) * 5 $；
(2) 若 $ ( x + 3 ) * 2 = 3 $，求 $ x $ 的值；
(3) 记 $ M = ( x + 3 ) * ( x - 1 ) $，$ N = x * ( x + 1 ) $，判断 $ M $ 和 $ N $ 的大小关系，并说明理由.
答案
11. 解：(1)根据题中的新定义，得 $ (-2) * 5 = -10 - 5 = -15 $。
(2)当 $ x + 3 ＞ 2 $，即 $ x ＞ -1 $ 时，
原等式化简为 $ x + 3 + 2 - 5 = 3 $，解得 $ x = 3 $；
当 $ x + 3 ≤ 2 $，即 $ x ≤ -1 $ 时，
原等式化简为 $ 2(x + 3) - 2 = 3 $，
解得 $ x = -\frac{1}{2} $，
不符合题意，舍去。
所以 $ x $ 的值为 $ 3 $。
(3) $ M ＜ N $。理由：根据题中的新定义化简，得
$ M = x + 3 + x - 1 - 5 = 2x - 3 $，$ N = x(x + 1) - (x + 1) = x^2 + x - x - 1 = x^2 - 1 $。
$ \because N - M = x^2 - 1 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 + 1 = (x - 1)^2 + 1 ＞ 0 $，$ \therefore M ＜ N $。
(2)当 $ x + 3 ＞ 2 $，即 $ x ＞ -1 $ 时，
原等式化简为 $ x + 3 + 2 - 5 = 3 $，解得 $ x = 3 $；
当 $ x + 3 ≤ 2 $，即 $ x ≤ -1 $ 时，
原等式化简为 $ 2(x + 3) - 2 = 3 $，
解得 $ x = -\frac{1}{2} $，
不符合题意，舍去。
所以 $ x $ 的值为 $ 3 $。
(3) $ M ＜ N $。理由：根据题中的新定义化简，得
$ M = x + 3 + x - 1 - 5 = 2x - 3 $，$ N = x(x + 1) - (x + 1) = x^2 + x - x - 1 = x^2 - 1 $。
$ \because N - M = x^2 - 1 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 + 1 = (x - 1)^2 + 1 ＞ 0 $，$ \therefore M ＜ N $。
12. （2025·潮南区期末）书店用 $ 1500 $ 元首次购进了甲、乙两种杂志，甲种杂志每本进价为 $ 18 $ 元，乙种杂志每本进价为 $ 15 $ 元，书店在销售时将甲种杂志定价为每本 $ 26 $ 元，乙种杂志定价为每本 $ 20 $ 元，全部售完后共获利润 $ 600 $ 元.
(1) 求书店购进甲、乙两种杂志各多少本；
(2) 若书店以原进价再次购进甲、乙两种杂志，购进甲种杂志的数量是第一次的 $ 2 $ 倍，而购进乙种杂志的数量不变，甲种杂志降价出售，而乙种杂志按原售价出售.当两种杂志销售完毕时，要使再次获利不少于 $ 800 $ 元，求甲种杂志每本最低售价应为多少元；
(3) 某活动中心准备用 $ 280 $ 元购买甲、乙两种杂志，甲种杂志的单价是（2）的条件下的最低售价，在 $ 280 $ 元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？
(1) 求书店购进甲、乙两种杂志各多少本；
(2) 若书店以原进价再次购进甲、乙两种杂志，购进甲种杂志的数量是第一次的 $ 2 $ 倍，而购进乙种杂志的数量不变，甲种杂志降价出售，而乙种杂志按原售价出售.当两种杂志销售完毕时，要使再次获利不少于 $ 800 $ 元，求甲种杂志每本最低售价应为多少元；
(3) 某活动中心准备用 $ 280 $ 元购买甲、乙两种杂志，甲种杂志的单价是（2）的条件下的最低售价，在 $ 280 $ 元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？
答案
12. 解：(1)设购进甲种杂志 $ x $ 本，乙种杂志 $ y $ 本，
根据题意，得 $ \begin{cases} 18x + 15y = 1500, \\ (26 - 18)x + (20 - 15)y = 600, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 50, \\ y = 40. \end{cases} $
答：购进甲种杂志 $ 50 $ 本，乙种杂志 $ 40 $ 本。
(2)设甲种杂志每本售价应为 $ m $ 元，
$ \therefore 2 × 50(m - 18) + (20 - 15) × 40 ≥ 800 $，$ \therefore m ≥ 24 $。
答：甲种杂志每本最低售价应为 $ 24 $ 元。
(3)设购买甲种杂志 $ a $ 本，乙种杂志 $ b $ 本，
则 $ 24a + 20b = 280 $，
$ \therefore b = \frac{70 - 6a}{5} $。
$ \because a, b $ 为正整数，$ \therefore \begin{cases} a = 5, \\ b = 8 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a = 10, \\ b = 2. \end{cases} $
$ \therefore $ 共有两种购买方案：
方案一：甲、乙两种杂志分别购买 $ 5 $ 本，$ 8 $ 本；
方案二：甲、乙两种杂志分别购买 $ 10 $ 本，$ 2 $ 本。
根据题意，得 $ \begin{cases} 18x + 15y = 1500, \\ (26 - 18)x + (20 - 15)y = 600, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 50, \\ y = 40. \end{cases} $
答：购进甲种杂志 $ 50 $ 本，乙种杂志 $ 40 $ 本。
(2)设甲种杂志每本售价应为 $ m $ 元，
$ \therefore 2 × 50(m - 18) + (20 - 15) × 40 ≥ 800 $，$ \therefore m ≥ 24 $。
答：甲种杂志每本最低售价应为 $ 24 $ 元。
(3)设购买甲种杂志 $ a $ 本，乙种杂志 $ b $ 本，
则 $ 24a + 20b = 280 $，
$ \therefore b = \frac{70 - 6a}{5} $。
$ \because a, b $ 为正整数，$ \therefore \begin{cases} a = 5, \\ b = 8 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a = 10, \\ b = 2. \end{cases} $
$ \therefore $ 共有两种购买方案：
方案一：甲、乙两种杂志分别购买 $ 5 $ 本，$ 8 $ 本；
方案二：甲、乙两种杂志分别购买 $ 10 $ 本，$ 2 $ 本。
