1. [2025西安月考] 下列方程中属于二元一次方程的是（）

A.$x + \frac{2}{y} = -4$
B.$3x^2 + y = 8$
C.$x + y - 2 = 0$
D.$x - y - 2z = 10$

1 C $x + \frac{2}{y} = -4$ 不是整式方程,不属于二元一次方程,故A项不符合题意;$3x^2 + y = 8$ 中,含有未知数的项$3x^2$的次数为2,不属于二元一次方程,故B项不符合题意;$x - y - 2z = 10$ 含有3个未知数,不属于二元一次方程,故D项不符合题意。

2. [2026郑州二七区期中]下列方程组是二元一次方程组的是（）

A.$\begin{cases} x + y = 5, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 6, \\ y + z = 7 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - 1 = xy, \\ x - y = xy \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = 3, \\ 2x - y = 7 \end{cases}$

2 D A项,第二个方程不是整式方程,不符合题意;B项,方程组含有3个未知数,不符合题意;C项,含有未知数的项xy的次数为2,不符合题意。

3. [2025宁波海曙区期中]若$(a - 1)x + 4y^{|a|}=3$是关于$x,y$的二元一次方程，则$a=$。

3 -1 根据二元一次方程的定义,得$|a| = 1$且$a - 1 ≠ 0$,所以$a = -1$。

4. 教材P114T4变式 在①$\begin{cases}x=2, \\ y=1,\end{cases}$②$\begin{cases}x=3, \\ y=2,\end{cases}$③$\begin{cases}x=1, \\ y=4\end{cases}$中， ______ 是方程$x - y = 1$的解， ______ 是方程$x + y = 5$的解， ______ 是方程组$\begin{cases}x - y = 1, \\ x + y = 5\end{cases}$的解。（填序号）

4 ①② ②③ ② 对于$x - y = 1$,当$\begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases}$时,$x - y = 2 - 1 = 1$,故①是$x - y = 1$的解;当$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$时,$x - y = 3 - 2 = 1$,故②是$x - y = 1$的解;当$\begin{cases} x = 1, \\ y = 4 \end{cases}$时,$x - y = 1 - 4 = -3 ≠ 1$,故③不是$x - y = 1$的解。对于$x + y = 5$,当$\begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases}$时,$x + y = 2 + 1 = 3 ≠ 5$,故①不是$x + y = 5$的解;当$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$时,$x + y = 3 + 2 = 5$,故②是$x + y = 5$的解;当$\begin{cases} x = 1, \\ y = 4 \end{cases}$时,$x + y = 1 + 4 = 5$,故③是$x + y = 5$的解。根据以上计算,可知$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$是$x - y = 1$与$x + y = 5$的公共解,所以②是方程组$\begin{cases} x - y = 1, \\ x + y = 5 \end{cases}$的解。

5. 新趋势·结论开放 [2025 宿迁宿城区月考] 已知二元一次方程$x + 3y = 14$，请写出该方程的一个整数解：。

5 (答案不唯一)$\begin{cases} x=2, \\ y=4 \end{cases}$

变式 新趋势·结论开放 [2026 菏泽实验中学月考]写出一个解为$\begin{cases}x=1, \\ y=4\end{cases}$的二元一次方程组: ______ 。

变式 (答案不唯一)$\begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = -3 \end{cases}$

6. [2025 广州白云区期中] 已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程$mx + 3y = 2$的一个解，则$m$的值为 ______ 。
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变式 [2025 六安裕安区月考] 若$\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$是方程$2x - 3y = 2$的解，则$-4m +5 +6n =$ ______ 。

6 $-\frac{1}{2}$ 将$\begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases}$代入方程,得$2m + 3 = 2$,解得$m = -\frac{1}{2}$。
变式 1 把$\begin{cases} x = m, \\ y = n \end{cases}$代入方程$2x - 3y = 2$,得$2m - 3n = 2$,所以$-4m + 5 + 6n = -2(2m - 3n) + 5 = -2 × 2 + 5 = 1$。

7. 天星原创 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + by = 8, \\ bx - ay = -1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 2,\end{cases}$则$a,b$的值分别为 ______ 。

7 2,1 把$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$代入$2x + by = 8$,得$6 + 2b = 8$,解得$b = 1$。把$\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$和$b = 1$代入$bx - ay = -1$,得$3 - 2a = -1$,解得$a = 2$。

8. 古题今算 [2025广安中考]《九章算术》中有一道题，原文：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？”译文：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱。问：人数、物价各多少？设人数为$ x $，物价为$ y $，则可列方程组为（）

A.$\begin{cases} y = 8x + 3, \\ y = 7x + 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y = 8x - 3, \\ y = 7x + 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y = 8x - 3, \\ y = 7x - 4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y = 8x + 3, \\ y = 7x - 4 \end{cases}$

8 B 人数为x,物价为y,根据“每人出8钱,盈余3钱”,得$y = 8x - 3$;根据“每人出7钱,不足4钱”,得$y = 7x + 4$,联立即可得方程组。

9. [2024齐齐哈尔中考]校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（）

A.5种
B.4种
C.3种
D.2种

9 B 设购买8元的笔记本x本,10元的笔记本y本,依题意,得$8x + 10y = 200$,整理,得$y = 20 - \frac{4}{5}x$,因为x,y均为正整数,所以$\begin{cases} x = 5, \\ y = 16 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 10, \\ y = 12 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 15, \\ y = 8 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 20, \\ y = 4 \end{cases}$,所以购买方案有4种。

10. [2026 毕节模拟] 如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个宽为25 cm的大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x cm和y cm，则依题意可列方程组为。

10 $\begin{cases} x + 2y = 25, \\ x = 3y \end{cases}$