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7. 关于$x$的方程$a(x+m)^2 + b = 0$的解是$x_1=-2, x_2=1$（$a$，$m$，$b$均为常数，且$a≠0$），则方程$a(x+m+3)^2 + b = 0$的解是（
A.$x_1=-1, x_2=-4$
B.$x_1=-2, x_2=1$
C.$x_1=1, x_2=3$
D.$x_1=-5, x_2=-2$
D
）。A.$x_1=-1, x_2=-4$
B.$x_1=-2, x_2=1$
C.$x_1=1, x_2=3$
D.$x_1=-5, x_2=-2$
答案
7. D
解析
【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的应用，可从两个方程的结构特征入手思考：两个方程均为$a(含x的整体)^2 + b = 0$的形式，根据直接开平方法的规则，两个方程中等号左边平方部分的取值都等于$-\frac{b}{a}$，因此平方内的整体的取值完全相同。我们可以将第二个方程中$x+m+3$变形为$(x+3)+m$，把$(x+3)$看作第一个方程中的$x$，直接利用已知方程的解求新方程的解，无需计算参数$a、m、b$的具体值，简化运算。
【解析】
根据直接开平方法，方程$a(x+m)^2 + b = 0$变形得：
$(x+m)^2 = -\frac{b}{a}$，开平方得$x + m = \pm\sqrt{-\frac{b}{a}}$，
已知该方程的解为$x_1=-2$，$x_2=1$，即$x+m$的取值为$-2+m$和$1+m$，也就是$\pm\sqrt{-\frac{b}{a}}$对应的值为$m-2$和$m+1$。
对于方程$a(x+m+3)^2 + b = 0$，同理变形得：
$(x+m+3)^2 = -\frac{b}{a}$，开平方得$x + m + 3 = \pm\sqrt{-\frac{b}{a}}$，
因此$x + m + 3$的取值与第一个方程中$x+m$的取值相等，即：
① $x + m + 3 = -2 + m$，化简得$x + 3 = -2$，解得$x_1=-5$；
② $x + m + 3 = 1 + m$，化简得$x + 3 = 1$，解得$x_2=-2$。
因此方程$a(x+m+3)^2 + b = 0$的解为$x_1=-5$，$x_2=-2$。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法；一元二次方程的解；整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程解的概念和直接开平方法的典型应用题型，核心考查对结构相似方程的变形处理能力，解题的关键是抓住两个方程的共性，用整体代换的思路简化计算，避免不必要的参数求解。
【难度系数】
0.7
本题考查直接开平方法解一元二次方程的应用，可从两个方程的结构特征入手思考：两个方程均为$a(含x的整体)^2 + b = 0$的形式，根据直接开平方法的规则，两个方程中等号左边平方部分的取值都等于$-\frac{b}{a}$，因此平方内的整体的取值完全相同。我们可以将第二个方程中$x+m+3$变形为$(x+3)+m$，把$(x+3)$看作第一个方程中的$x$，直接利用已知方程的解求新方程的解，无需计算参数$a、m、b$的具体值，简化运算。
【解析】
根据直接开平方法，方程$a(x+m)^2 + b = 0$变形得：
$(x+m)^2 = -\frac{b}{a}$，开平方得$x + m = \pm\sqrt{-\frac{b}{a}}$，
已知该方程的解为$x_1=-2$，$x_2=1$，即$x+m$的取值为$-2+m$和$1+m$，也就是$\pm\sqrt{-\frac{b}{a}}$对应的值为$m-2$和$m+1$。
对于方程$a(x+m+3)^2 + b = 0$，同理变形得：
$(x+m+3)^2 = -\frac{b}{a}$，开平方得$x + m + 3 = \pm\sqrt{-\frac{b}{a}}$，
因此$x + m + 3$的取值与第一个方程中$x+m$的取值相等，即：
① $x + m + 3 = -2 + m$，化简得$x + 3 = -2$，解得$x_1=-5$；
② $x + m + 3 = 1 + m$，化简得$x + 3 = 1$，解得$x_2=-2$。
因此方程$a(x+m+3)^2 + b = 0$的解为$x_1=-5$，$x_2=-2$。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法；一元二次方程的解；整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程解的概念和直接开平方法的典型应用题型，核心考查对结构相似方程的变形处理能力，解题的关键是抓住两个方程的共性，用整体代换的思路简化计算，避免不必要的参数求解。
【难度系数】
0.7
8.关于x的一元二次方程$x^2 = a$的两个根分别是$2m - 1$与$m - 5$，则$m =$
2
答案
8. 2
解析
【分析】
解本题的核心是掌握直接开平方法解一元二次方程时根的特征：正数有两个互为相反数的平方根，因此方程$x^2=a$的两个根之和为0。我们可以利用这个性质，将已知的两个根相加等于0，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。另外若方程有两个相等的根，则两根都为0，本题中不存在这种情况，无需额外考虑。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2=a$的两个根互为相反数，
∴ 两根之和为0，即：
$\begin{aligned}(2m - 1) + (m - 5) &= 0 \\3m - 6 &= 0 \\3m &= 6 \\m &= 2\end{aligned}$
验证：当$m=2$时，两根分别为$2×2-1=3$和$2-5=-3$，是$x^2=9$的两个根，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 相反数的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直接开平方法解一元二次方程的根的性质，解题关键是明确正数的两个平方根互为相反数，代入数值列方程求解即可，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是掌握直接开平方法解一元二次方程时根的特征：正数有两个互为相反数的平方根，因此方程$x^2=a$的两个根之和为0。我们可以利用这个性质，将已知的两个根相加等于0，列出关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。另外若方程有两个相等的根，则两根都为0，本题中不存在这种情况，无需额外考虑。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2=a$的两个根互为相反数，
∴ 两根之和为0，即：
$\begin{aligned}(2m - 1) + (m - 5) &= 0 \\3m - 6 &= 0 \\3m &= 6 \\m &= 2\end{aligned}$
验证：当$m=2$时，两根分别为$2×2-1=3$和$2-5=-3$，是$x^2=9$的两个根，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 相反数的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直接开平方法解一元二次方程的根的性质，解题关键是明确正数的两个平方根互为相反数，代入数值列方程求解即可，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
9.已知方程$(x^2 + y^2 - 1)^2 = 9$，则$x^2 + y^2 =$
4
答案
9. 4
解析
【分析】
解题时可运用整体思想，将$x^2+y^2$看作一个整体，先利用直接开平方法对等式两边开平方，再结合平方的非负性（$x^2≥0$，$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$）排除不符合题意的解，最终得到正确结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由平方的非负性可知$t≥0$，原方程转化为：
$(t - 1)^2 = 9$
两边直接开平方得：
$t - 1 = \pm3$
当$t - 1 = 3$时，解得$t = 4$；
当$t - 1 = -3$时，解得$t = -2$，不符合$t≥0$的要求，舍去。
因此$x^2 + y^2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法、整体思想、非负数的性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键是灵活运用整体思想简化运算，同时要注意隐含条件$x^2+y^2≥0$，避免产生增解。
【难度系数】
0.7
解题时可运用整体思想，将$x^2+y^2$看作一个整体，先利用直接开平方法对等式两边开平方，再结合平方的非负性（$x^2≥0$，$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$）排除不符合题意的解，最终得到正确结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由平方的非负性可知$t≥0$，原方程转化为：
$(t - 1)^2 = 9$
两边直接开平方得：
$t - 1 = \pm3$
当$t - 1 = 3$时，解得$t = 4$；
当$t - 1 = -3$时，解得$t = -2$，不符合$t≥0$的要求，舍去。
因此$x^2 + y^2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法、整体思想、非负数的性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键是灵活运用整体思想简化运算，同时要注意隐含条件$x^2+y^2≥0$，避免产生增解。
【难度系数】
0.7
10.下面是小明解方程$(x-1)^2=4(x-9)^2$的过程.
解:$x-1=2(x-9)$，………………第一步
$x-1=2x-18$，………………第二步
解得$x=17$.………………第三步
(1)以上解方程的过程中从第
(2)请将这个方程正确的求解过程填写在下面的框图中.
解:$x-1=2(x-9)$，………………第一步
$x-1=2x-18$，………………第二步
解得$x=17$.………………第三步
(1)以上解方程的过程中从第
一
步开始出现错误，错误的原因是开平方时忽略平方根有两个
；(2)请将这个方程正确的求解过程填写在下面的框图中.
答案
10.(1) 一，开平方时忽略平方根有两个
10.(2) $x-1=2(x-9)$ $x=17$ $x-1=-2(x-9)$ $x=\frac{19}{3}$
10.(2) $x-1=2(x-9)$ $x=17$ $x-1=-2(x-9)$ $x=\frac{19}{3}$
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：
(1) 首先回忆平方根的性质：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，对比小明的解题步骤，第一步仅取了正的平方根，即可判断错误步骤和原因；
(2) 按照直接开平方法的规范步骤，先将方程降次得到两个一元一次方程，再分别求解两个方程，将结果对应填入框图即可。
【解析】
(1) 根据平方根的性质：两个数的平方相等时，这两个数相等或互为相反数，即对于等式$A^2=B^2$，可得$A=B$或$A=-B$。
小明在第一步开平方时，仅写出了$x-1=2(x-9)$，遗漏了$x-1=-2(x-9)$的情况，因此从第一步开始出错，错误原因是开平方时忽略平方根有两个。
(2) 对原方程$(x-1)^2=4(x-9)^2$降次，可得两个一元一次方程：
① 第一个方程：$x-1=2(x-9)$
解这个方程：
去括号得：$x-1=2x-18$
移项合并同类项得：$x=17$
② 第二个方程：$x-1=-2(x-9)$
解这个方程：
去括号得：$x-1=-2x+18$
移项合并同类项得：$3x=19$，解得$x=\frac{19}{3}$
因此框图从上到下四个空依次填入对应内容即可。
【答案】
(1) 一，开平方时忽略平方根有两个
(2) 从上到下依次为：$x-1=2(x-9)$；$x=17$；$x-1=-2(x-9)$；$x=\frac{19}{3}$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心易错点是开平方时漏解负数平方根的情况，熟练掌握平方根的性质和直接开平方法的步骤就能避免错误，顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：
(1) 首先回忆平方根的性质：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，对比小明的解题步骤，第一步仅取了正的平方根，即可判断错误步骤和原因；
(2) 按照直接开平方法的规范步骤，先将方程降次得到两个一元一次方程，再分别求解两个方程，将结果对应填入框图即可。
【解析】
(1) 根据平方根的性质：两个数的平方相等时，这两个数相等或互为相反数，即对于等式$A^2=B^2$，可得$A=B$或$A=-B$。
小明在第一步开平方时，仅写出了$x-1=2(x-9)$，遗漏了$x-1=-2(x-9)$的情况，因此从第一步开始出错，错误原因是开平方时忽略平方根有两个。
(2) 对原方程$(x-1)^2=4(x-9)^2$降次，可得两个一元一次方程：
① 第一个方程：$x-1=2(x-9)$
解这个方程：
去括号得：$x-1=2x-18$
移项合并同类项得：$x=17$
② 第二个方程：$x-1=-2(x-9)$
解这个方程：
去括号得：$x-1=-2x+18$
移项合并同类项得：$3x=19$，解得$x=\frac{19}{3}$
因此框图从上到下四个空依次填入对应内容即可。
【答案】
(1) 一，开平方时忽略平方根有两个
(2) 从上到下依次为：$x-1=2(x-9)$；$x=17$；$x-1=-2(x-9)$；$x=\frac{19}{3}$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心易错点是开平方时漏解负数平方根的情况，熟练掌握平方根的性质和直接开平方法的步骤就能避免错误，顺利解题。
【难度系数】
0.7
11. 对于实数 $ p,q $，我们用符号 $ \max\{p,q\} $ 表示 $ p,q $ 两数中较大的数，如：$ \max\{1,2\}=2 $。
(1) $ \max\{-\sqrt{3}, -\sqrt{5}\}= $
(2) 若 $ \max\{(x-1)^2, x^2\}=4 $，其中 $ x ＜ \frac{1}{2} $，求 $ x $ 的值。
(1) $ \max\{-\sqrt{3}, -\sqrt{5}\}= $
$-\sqrt{3}$
；(2) 若 $ \max\{(x-1)^2, x^2\}=4 $，其中 $ x ＜ \frac{1}{2} $，求 $ x $ 的值。
答案
11.(1) $-\sqrt{3}$
11.(2) $-1$
11.(2) $-1$
解析
【分析】
（1）首先明确符号$\max\{p,q\}$的含义是选取$p$、$q$两个数中较大的数；两个负数比较大小，绝对值越小的数越大，先比较$-\sqrt{3}$和$-\sqrt{5}$的绝对值大小，即可确定较大的数。
（2）第一步先根据$x＜\frac{1}{2}$的条件，判断$(x-1)^2$和$x^2$的大小：通过作差法计算两个式子的差，结合$x$的范围得出哪个式子更大，即可确定$\max\{(x-1)^2,x^2\}$对应的表达式；第二步令该表达式等于4，用直接开平方法解一元二次方程；第三步结合$x＜\frac{1}{2}$的限制条件，筛选出符合要求的解即可。
【解析】
（1）因为$\sqrt{3}＜\sqrt{5}$，根据负数比较大小的规则，绝对值小的数更大，可得$-\sqrt{3}＞-\sqrt{5}$，结合$\max$符号的定义，得$\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\}=-\sqrt{3}$。
（2）先比较$(x-1)^2$和$x^2$的大小：
作差得：$\begin{aligned}(x-1)^2 - x^2&=x^2-2x+1-x^2\\&=1-2x\end{aligned}$
已知$x＜\frac{1}{2}$，则$2x＜1$，因此$1-2x＞0$，即$(x-1)^2 ＞ x^2$。
因此$\max\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=4$，对等式直接开平方得：
$x-1=\pm2$
解得$x_1=1+2=3$，$x_2=1-2=-1$。
又因为$x＜\frac{1}{2}$，$3＞\frac{1}{2}$不符合条件，舍去，故$x=-1$。
【答案】
（1）$-\sqrt{3}$；（2）$-1$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较，直接开平方法解方程
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解和一元二次方程的求解能力，解题的关键是先结合给定的取值范围判断出$\max$符号对应的具体表达式，解方程后要注意根据限制条件筛选解，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确符号$\max\{p,q\}$的含义是选取$p$、$q$两个数中较大的数；两个负数比较大小，绝对值越小的数越大，先比较$-\sqrt{3}$和$-\sqrt{5}$的绝对值大小，即可确定较大的数。
（2）第一步先根据$x＜\frac{1}{2}$的条件，判断$(x-1)^2$和$x^2$的大小：通过作差法计算两个式子的差，结合$x$的范围得出哪个式子更大，即可确定$\max\{(x-1)^2,x^2\}$对应的表达式；第二步令该表达式等于4，用直接开平方法解一元二次方程；第三步结合$x＜\frac{1}{2}$的限制条件，筛选出符合要求的解即可。
【解析】
（1）因为$\sqrt{3}＜\sqrt{5}$，根据负数比较大小的规则，绝对值小的数更大，可得$-\sqrt{3}＞-\sqrt{5}$，结合$\max$符号的定义，得$\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\}=-\sqrt{3}$。
（2）先比较$(x-1)^2$和$x^2$的大小：
作差得：$\begin{aligned}(x-1)^2 - x^2&=x^2-2x+1-x^2\\&=1-2x\end{aligned}$
已知$x＜\frac{1}{2}$，则$2x＜1$，因此$1-2x＞0$，即$(x-1)^2 ＞ x^2$。
因此$\max\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=4$，对等式直接开平方得：
$x-1=\pm2$
解得$x_1=1+2=3$，$x_2=1-2=-1$。
又因为$x＜\frac{1}{2}$，$3＞\frac{1}{2}$不符合条件，舍去，故$x=-1$。
【答案】
（1）$-\sqrt{3}$；（2）$-1$
【知识点】
新定义运算，实数大小比较，直接开平方法解方程
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解和一元二次方程的求解能力，解题的关键是先结合给定的取值范围判断出$\max$符号对应的具体表达式，解方程后要注意根据限制条件筛选解，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
12.定义新运算:对于任意实数 $ m,n $ 都有 $ m☆n=m^2n +n $.例如:$(-3)☆5=(-3)^2×5+5=50$.根据以上定义解决下列问题:
(1)若 $ x☆4=40 $,求 $ x $ 的值;
(2)若 $ (x-5)☆1=17 $,求 $ x $ 的值.
(1)若 $ x☆4=40 $,求 $ x $ 的值;
(2)若 $ (x-5)☆1=17 $,求 $ x $ 的值.
答案
12.(1) $x_1=3,x_2=-3$
12.(2) $x_1=1,x_2=9$
12.(2) $x_1=1,x_2=9$
解析
【分析】
本题是定义新运算类题目，解题核心是准确理解新运算规则：$m☆n=m^2n +n$。解题时先将对应位置的字母或式子代入新运算公式，转化为常规的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可。第一问代入$m=x$、$n=4$列方程，第二问代入$m=x-5$、$n=1$列方程，注意开平方时不要漏掉负根。
【解析】
(1) 根据新运算规则，将$m=x$，$n=4$代入$m☆n=m^2n +n$得：
$x☆4 = 4x^2 + 4 = 40$
移项整理得：$4x^2 = 36$
两边同时除以4得：$x^2 = 9$
直接开平方得：$x = \pm 3$
即$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 根据新运算规则，将$m=x-5$，$n=1$代入$m☆n=m^2n +n$得：
$(x-5)☆1 = (x-5)^2 + 1 = 17$
移项整理得：$(x-5)^2 = 16$
直接开平方得：$x-5 = \pm 4$
当$x-5=4$时，解得$x=9$；
当$x-5=-4$时，解得$x=1$；
即$x_1=1$，$x_2=9$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=1,x_2=9$
【知识点】
定义新运算，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题解题关键是正确理解新定义的运算规则，将新运算问题转化为常规的一元二次方程求解问题，求解时注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是定义新运算类题目，解题核心是准确理解新运算规则：$m☆n=m^2n +n$。解题时先将对应位置的字母或式子代入新运算公式，转化为常规的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可。第一问代入$m=x$、$n=4$列方程，第二问代入$m=x-5$、$n=1$列方程，注意开平方时不要漏掉负根。
【解析】
(1) 根据新运算规则，将$m=x$，$n=4$代入$m☆n=m^2n +n$得：
$x☆4 = 4x^2 + 4 = 40$
移项整理得：$4x^2 = 36$
两边同时除以4得：$x^2 = 9$
直接开平方得：$x = \pm 3$
即$x_1=3$，$x_2=-3$。
(2) 根据新运算规则，将$m=x-5$，$n=1$代入$m☆n=m^2n +n$得：
$(x-5)☆1 = (x-5)^2 + 1 = 17$
移项整理得：$(x-5)^2 = 16$
直接开平方得：$x-5 = \pm 4$
当$x-5=4$时，解得$x=9$；
当$x-5=-4$时，解得$x=1$；
即$x_1=1$，$x_2=9$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-3$
(2) $x_1=1,x_2=9$
【知识点】
定义新运算，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题解题关键是正确理解新定义的运算规则，将新运算问题转化为常规的一元二次方程求解问题，求解时注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
