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2.用反证法证明:若$a＞b＞0$,则$a^2＞b^2$,应先假设(
A.$a＜b$
B.$a≤b$
C.$a^2＜b^2$
D.$a^2≤b^2$
D
).A.$a＜b$
B.$a≤b$
C.$a^2＜b^2$
D.$a^2≤b^2$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先要明确反证法的第一步要求：反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。首先定位本题的结论是$a^2＞b^2$，要注意不能否定原命题的条件$a＞b＞0$，因此直接排除否定条件的A、B选项；再明确“大于”的反面包含“小于”和“等于”两种情况，不能只考虑小于的情况，由此就能锁定正确选项。
【解析】
根据反证法的步骤，第一步需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题需要证明的结论是$a^2＞b^2$，该结论的反面为$a^2≤b^2$，因此应先假设$a^2≤b^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法，实数大小比较
【点评】
本题考查反证法的基础应用，核心是明确反证法第一步需否定原命题的结论，而非否定条件，易错点是忽略大小关系否定时“等于”的情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确反证法的第一步要求：反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。首先定位本题的结论是$a^2＞b^2$，要注意不能否定原命题的条件$a＞b＞0$，因此直接排除否定条件的A、B选项；再明确“大于”的反面包含“小于”和“等于”两种情况，不能只考虑小于的情况，由此就能锁定正确选项。
【解析】
根据反证法的步骤，第一步需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题需要证明的结论是$a^2＞b^2$，该结论的反面为$a^2≤b^2$，因此应先假设$a^2≤b^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法，实数大小比较
【点评】
本题考查反证法的基础应用，核心是明确反证法第一步需否定原命题的结论，而非否定条件，易错点是忽略大小关系否定时“等于”的情况。
【难度系数】
0.8
3.在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作圆的个数为(
A.0
B.1
C.2
D.0或1
D
).A.0
B.1
C.2
D.0或1
答案
3. D
解析
【分析】
解题时需先明确过三点作圆的相关定理，再对三点的位置关系分类讨论：首先回忆“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理，可知三点的位置分为共线和不共线两种情况，分别分析两种情况下能作出的圆的数量，即可得出答案。
【解析】
分两种情况讨论A、B、C三点的位置关系：
1. 若A、B、C三点在同一条直线上：过同一直线上的三点无法作出圆，此时可作圆的个数为0；
2. 若A、B、C三点不在同一条直线上：根据确定圆的定理，不在同一直线上的三点有且只有1个外接圆，此时可作圆的个数为1。
因此过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为0或1，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是基础易错题，核心考查过三点作圆的判定，解题时要注意全面考虑三点的位置关系，不要忽略三点共线时无法作圆的情况，避免漏选情况错选B。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确过三点作圆的相关定理，再对三点的位置关系分类讨论：首先回忆“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理，可知三点的位置分为共线和不共线两种情况，分别分析两种情况下能作出的圆的数量，即可得出答案。
【解析】
分两种情况讨论A、B、C三点的位置关系：
1. 若A、B、C三点在同一条直线上：过同一直线上的三点无法作出圆，此时可作圆的个数为0；
2. 若A、B、C三点不在同一条直线上：根据确定圆的定理，不在同一直线上的三点有且只有1个外接圆，此时可作圆的个数为1。
因此过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为0或1，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是基础易错题，核心考查过三点作圆的判定，解题时要注意全面考虑三点的位置关系，不要忽略三点共线时无法作圆的情况，避免漏选情况错选B。
【难度系数】
0.7
4.如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，点A在y轴上，点B的坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为
(2,0)
.答案
4. (2,0)
解析
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上所有点的距离相等，因此圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。解题思路如下：①先根据网格特征确定A、B、C三点的坐标；②先求弦AB的垂直平分线，AB两点纵坐标相同，是水平线段，其垂直平分线为竖直直线，可直接确定圆心的横坐标；③再求弦BC的垂直平分线的方程；④两条垂直平分线的交点就是圆心坐标。
【解析】
解：结合网格可得三点坐标：$A(0,4)$，$B(4,4)$，$C(6,2)$。
1. 求弦$AB$的垂直平分线：
$AB$两点纵坐标均为4，$AB$为水平线段，$AB$的中点坐标为$( \frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2} )=(2,4)$，
$AB$的垂直平分线垂直于$AB$（为竖直方向），因此垂直平分线为直线$x=2$，即圆心的横坐标为2。
2. 求弦$BC$的垂直平分线：
$BC$的中点坐标为$( \frac{4+6}{2},\frac{4+2}{2} )=(5,3)$，
直线$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{2-4}{6-4}=-1$，因此$BC$的垂直平分线的斜率为$1$（互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$），
由点斜式可得$BC$垂直平分线的方程：$y-3=1×(x-5)$，化简得$y=x-2$。
3. 求交点即圆心坐标：
将$x=2$代入$y=x-2$，解得$y=0$，因此圆心坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
1. 垂直平分线性质
2. 垂径定理推论
3. 确定圆的条件
【点评】
本题核心考查“圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心”的性质，解题关键是准确求出两条不同弦的垂直平分线再联立求交点，属于常考基础题型，需要熟练掌握线段垂直平分线的求解方法。
【难度系数】
0.7
要确定圆弧所在圆的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上所有点的距离相等，因此圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。解题思路如下：①先根据网格特征确定A、B、C三点的坐标；②先求弦AB的垂直平分线，AB两点纵坐标相同，是水平线段，其垂直平分线为竖直直线，可直接确定圆心的横坐标；③再求弦BC的垂直平分线的方程；④两条垂直平分线的交点就是圆心坐标。
【解析】
解：结合网格可得三点坐标：$A(0,4)$，$B(4,4)$，$C(6,2)$。
1. 求弦$AB$的垂直平分线：
$AB$两点纵坐标均为4，$AB$为水平线段，$AB$的中点坐标为$( \frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2} )=(2,4)$，
$AB$的垂直平分线垂直于$AB$（为竖直方向），因此垂直平分线为直线$x=2$，即圆心的横坐标为2。
2. 求弦$BC$的垂直平分线：
$BC$的中点坐标为$( \frac{4+6}{2},\frac{4+2}{2} )=(5,3)$，
直线$BC$的斜率$k_{BC}=\frac{2-4}{6-4}=-1$，因此$BC$的垂直平分线的斜率为$1$（互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$），
由点斜式可得$BC$垂直平分线的方程：$y-3=1×(x-5)$，化简得$y=x-2$。
3. 求交点即圆心坐标：
将$x=2$代入$y=x-2$，解得$y=0$，因此圆心坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
1. 垂直平分线性质
2. 垂径定理推论
3. 确定圆的条件
【点评】
本题核心考查“圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心”的性质，解题关键是准确求出两条不同弦的垂直平分线再联立求交点，属于常考基础题型，需要熟练掌握线段垂直平分线的求解方法。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD=5$,$D$是$AB$的中点,则它的外接圆的直径为
10
。答案
5. 10
解析
【分析】
解题时首先要明确直角三角形外接圆的特征：直角三角形的外接圆直径等于其斜边的长度，因此只需要求出斜边AB的长度即可得到外接圆直径。再结合已知条件，D是斜边AB的中点，CD是斜边中线，可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质计算AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ △ABC的外接圆的直径为斜边AB。
∵ D是AB的中点，CD是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线定理，AB = 2CD。
已知CD=5，代入得AB=2×5=10，
即△ABC的外接圆直径为10。
【答案】
10
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查直角三角形的性质和外接圆的特征，解题的关键是牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系，以及斜边中线的性质，两个结论结合即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确直角三角形外接圆的特征：直角三角形的外接圆直径等于其斜边的长度，因此只需要求出斜边AB的长度即可得到外接圆直径。再结合已知条件，D是斜边AB的中点，CD是斜边中线，可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质计算AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ △ABC的外接圆的直径为斜边AB。
∵ D是AB的中点，CD是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线定理，AB = 2CD。
已知CD=5，代入得AB=2×5=10，
即△ABC的外接圆直径为10。
【答案】
10
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查直角三角形的性质和外接圆的特征，解题的关键是牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系，以及斜边中线的性质，两个结论结合即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6.如图是由小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫作格点,A,B,C三点均在格点上,请确定圆心O的位置,使A,B,C三点都在$\odot O$上.(用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.)
答案
解：
根据不在同一直线上的三点确定一个圆，所求圆心O是线段AB、BC的垂直平分线的交点，作图步骤如下：
1. 线段BC为水平线段，取BC的中点，过该中点作竖直直线，即为BC的垂直平分线；
2. 利用网格构造全等直角三角形，作出线段AB的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O，此时OA=OB=OC，A、B、C三点都在以O为圆心的圆上。
根据不在同一直线上的三点确定一个圆，所求圆心O是线段AB、BC的垂直平分线的交点，作图步骤如下：
1. 线段BC为水平线段，取BC的中点，过该中点作竖直直线，即为BC的垂直平分线；
2. 利用网格构造全等直角三角形，作出线段AB的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O，此时OA=OB=OC，A、B、C三点都在以O为圆心的圆上。
解析
【分析】
要确定过A、B、C三点的圆的圆心，首先回忆相关概念：不在同一直线上的三点确定一个圆，该圆的圆心是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。因此我们只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，交点就是所求圆心O。首先观察边BC是水平线段，它的垂直平分线容易构造：找到BC的中点，过中点作竖直直线就是BC的垂直平分线；再利用网格的格点特征，找到两个到A、B距离相等的格点，连接两点即可得到AB的垂直平分线，两条线的交点即为所求。
【解析】
所求圆心O是△ABC外接圆的圆心，为线段AB、BC的垂直平分线的交点，作图步骤如下：
1. 线段BC为水平线段，数格可知BC共占6个单位长度，取距离B点3个单位长度的BC中点，过该中点作竖直直线，即为BC的垂直平分线；
2. 构造AB的垂直平分线：在网格中找到两个到A、B两点距离相等的格点，连接这两个格点得到的直线就是AB的垂直平分线；
3. 上述两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O，此时OA=OB=OC，A、B、C三点都在以O为圆心的圆上。
【答案】
作线段BC的垂直平分线与线段AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心O，作图符合要求即可。
【知识点】
1. 三点定圆
2. 垂直平分线性质
3. 外心定义
【点评】
本题属于网格作图题，结合了三角形外接圆的相关知识，既考查对基础概念的理解，也要求能灵活运用网格特征构造辅助线，是对几何基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要确定过A、B、C三点的圆的圆心，首先回忆相关概念：不在同一直线上的三点确定一个圆，该圆的圆心是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。因此我们只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，交点就是所求圆心O。首先观察边BC是水平线段，它的垂直平分线容易构造：找到BC的中点，过中点作竖直直线就是BC的垂直平分线；再利用网格的格点特征，找到两个到A、B距离相等的格点，连接两点即可得到AB的垂直平分线，两条线的交点即为所求。
【解析】
所求圆心O是△ABC外接圆的圆心，为线段AB、BC的垂直平分线的交点，作图步骤如下：
1. 线段BC为水平线段，数格可知BC共占6个单位长度，取距离B点3个单位长度的BC中点，过该中点作竖直直线，即为BC的垂直平分线；
2. 构造AB的垂直平分线：在网格中找到两个到A、B两点距离相等的格点，连接这两个格点得到的直线就是AB的垂直平分线；
3. 上述两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O，此时OA=OB=OC，A、B、C三点都在以O为圆心的圆上。
【答案】
作线段BC的垂直平分线与线段AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心O，作图符合要求即可。
【知识点】
1. 三点定圆
2. 垂直平分线性质
3. 外心定义
【点评】
本题属于网格作图题，结合了三角形外接圆的相关知识，既考查对基础概念的理解，也要求能灵活运用网格特征构造辅助线，是对几何基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7.用反证法证明时，假设“点在圆内或圆外”，经过推理得出矛盾，则点和圆的位置关系是(
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆外
D.不确定
B
).A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆外
D.不确定
答案
7. B
解析
【分析】
首先明确点和圆的位置关系共有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。反证法的核心逻辑是：先假设原命题的结论不成立（即假设结论的全部对立面成立），若通过推导得出矛盾，就说明假设错误，原命题的结论正确。本题中给出的反证法假设是“点在圆内或圆外”，该假设覆盖了除“点在圆上”之外的所有位置情况，推出矛盾后就说明该假设不成立，即可得到正确的位置关系。
【解析】
点与圆的位置关系共三类：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
根据反证法的规则：①假设原结论不成立，即假设原结论的所有对立面成立；②若推理得出矛盾，则假设错误，原结论成立。
本题中反证法的假设为“点在圆内或圆外”，是对“点在圆上”这一结论的否定，现已推出矛盾，说明“点在圆内或圆外”的假设不成立，因此点的位置为点在圆上。故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法，点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对反证法证明逻辑的理解，以及对点与圆三类位置关系的识记，解题关键是明确反证法的假设是原结论的全部反面。
【难度系数】
0.8
首先明确点和圆的位置关系共有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。反证法的核心逻辑是：先假设原命题的结论不成立（即假设结论的全部对立面成立），若通过推导得出矛盾，就说明假设错误，原命题的结论正确。本题中给出的反证法假设是“点在圆内或圆外”，该假设覆盖了除“点在圆上”之外的所有位置情况，推出矛盾后就说明该假设不成立，即可得到正确的位置关系。
【解析】
点与圆的位置关系共三类：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
根据反证法的规则：①假设原结论不成立，即假设原结论的所有对立面成立；②若推理得出矛盾，则假设错误，原结论成立。
本题中反证法的假设为“点在圆内或圆外”，是对“点在圆上”这一结论的否定，现已推出矛盾，说明“点在圆内或圆外”的假设不成立，因此点的位置为点在圆上。故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法，点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对反证法证明逻辑的理解，以及对点与圆三类位置关系的识记，解题关键是明确反证法的假设是原结论的全部反面。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,一条圆弧经过A(0,3),B(2,3),C(3,2)三点,则下列说法正确的是(
A.这条圆弧所在圆的半径为$\frac{5}{2}$
B.点M(3,0)在这条圆弧所在圆外
C.原点O(0,0)在这条圆弧所在圆上
D.这条圆弧所在圆的圆心为(1,1)
D
).A.这条圆弧所在圆的半径为$\frac{5}{2}$
B.点M(3,0)在这条圆弧所在圆外
C.原点O(0,0)在这条圆弧所在圆上
D.这条圆弧所在圆的圆心为(1,1)
答案
8. D
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确：不在同一直线上的三点确定一个圆，该圆的圆心是任意两点连线的垂直平分线的交点。首先观察A、B两点坐标特征，先求出AB的垂直平分线，确定圆心所在直线，再设出圆心坐标，利用圆心到各点距离相等（半径相等）列方程求出圆心，再计算半径，最后逐一判断各选项即可。
【解析】
1. 求AB的垂直平分线：已知A(0,3)，B(2,3)，两点纵坐标相同，故AB为水平线段，AB中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+3}{2})=(1,3)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=1$，即圆弧所在圆的圆心在直线$x=1$上。
2. 设圆心坐标为$P(1,t)$，由圆心到圆上各点距离相等，得$PA=PC$，即$PA^2=PC^2$：
$PA^2=(1-0)^2+(t-3)^2=1+(t-3)^2$
$PC^2=(1-3)^2+(t-2)^2=4+(t-2)^2$
列方程：$1+(t-3)^2=4+(t-2)^2$
展开化简：$1+t^2-6t+9=4+t^2-4t+4$，解得$t=1$，因此圆心为$P(1,1)$，故选项D正确。
3. 验证其余选项：
半径$r=PA=\sqrt{(1-0)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}≠\frac{5}{2}$，故A错误；
点$M(3,0)$到圆心的距离$PM=\sqrt{(3-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}=r$，故M在圆上，B错误；
原点$O(0,0)$到圆心的距离$PO=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}＜r$，故O在圆内，C错误。
【答案】
D
【知识点】
过三点的圆，垂直平分线的性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是利用三点确定圆的方法找到圆心，解题的关键是先根据特殊线段的特征快速确定圆心所在直线，再结合距离相等列方程求解，同时要熟练掌握点与圆位置关系的判定方法。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确：不在同一直线上的三点确定一个圆，该圆的圆心是任意两点连线的垂直平分线的交点。首先观察A、B两点坐标特征，先求出AB的垂直平分线，确定圆心所在直线，再设出圆心坐标，利用圆心到各点距离相等（半径相等）列方程求出圆心，再计算半径，最后逐一判断各选项即可。
【解析】
1. 求AB的垂直平分线：已知A(0,3)，B(2,3)，两点纵坐标相同，故AB为水平线段，AB中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+3}{2})=(1,3)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=1$，即圆弧所在圆的圆心在直线$x=1$上。
2. 设圆心坐标为$P(1,t)$，由圆心到圆上各点距离相等，得$PA=PC$，即$PA^2=PC^2$：
$PA^2=(1-0)^2+(t-3)^2=1+(t-3)^2$
$PC^2=(1-3)^2+(t-2)^2=4+(t-2)^2$
列方程：$1+(t-3)^2=4+(t-2)^2$
展开化简：$1+t^2-6t+9=4+t^2-4t+4$，解得$t=1$，因此圆心为$P(1,1)$，故选项D正确。
3. 验证其余选项：
半径$r=PA=\sqrt{(1-0)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}≠\frac{5}{2}$，故A错误；
点$M(3,0)$到圆心的距离$PM=\sqrt{(3-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}=r$，故M在圆上，B错误；
原点$O(0,0)$到圆心的距离$PO=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}＜r$，故O在圆内，C错误。
【答案】
D
【知识点】
过三点的圆，垂直平分线的性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是利用三点确定圆的方法找到圆心，解题的关键是先根据特殊线段的特征快速确定圆心所在直线，再结合距离相等列方程求解，同时要熟练掌握点与圆位置关系的判定方法。
【难度系数】
0.7
9.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点D在AC上，连接BD，利用尺规作图法求作$\odot O$，使$\odot O$经过点B，C，D（保留作图痕迹，不要求写作法）。
答案
解：
分别作线段BC、线段BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，所得的⊙O即为所求，保留尺规作垂直平分线的对应圆弧痕迹、交点O以及所作的完整圆。
分别作线段BC、线段BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，所得的⊙O即为所求，保留尺规作垂直平分线的对应圆弧痕迹、交点O以及所作的完整圆。
解析
【分析】
要作经过B、C、D三点的圆，首先回忆“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的结论，这个圆的圆心是△BCD的外心，外心到B、C、D三点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此只需作出△BCD任意两边的垂直平分线，交点就是圆心O，再以O为圆心、O到点B的距离为半径画圆即可。
【解析】
要作过B、C、D三点的⊙O，依据相关性质推导步骤：
1. 因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以分别作线段BC、线段BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O，此时OB=OC=OD，满足圆心到三个点距离相等的要求；
2. 以点O为圆心，OB的长为半径画圆，所得的圆必然经过B、C、D三点，即为所求的⊙O，作图时需保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹、交点O以及完整的圆。
【答案】
分别作线段BC、线段BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，所得的⊙O即为所求，保留尺规作垂直平分线的对应圆弧痕迹、交点O以及所作的完整圆。
【知识点】
不共线三点确定一个圆；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题考查基础尺规作图，解题的核心是理解三角形外心的定义与性质，掌握线段垂直平分线的尺规作法，这类题目是对圆相关基本概念的直接应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要作经过B、C、D三点的圆，首先回忆“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的结论，这个圆的圆心是△BCD的外心，外心到B、C、D三点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此只需作出△BCD任意两边的垂直平分线，交点就是圆心O，再以O为圆心、O到点B的距离为半径画圆即可。
【解析】
要作过B、C、D三点的⊙O，依据相关性质推导步骤：
1. 因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以分别作线段BC、线段BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O，此时OB=OC=OD，满足圆心到三个点距离相等的要求；
2. 以点O为圆心，OB的长为半径画圆，所得的圆必然经过B、C、D三点，即为所求的⊙O，作图时需保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹、交点O以及完整的圆。
【答案】
分别作线段BC、线段BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，所得的⊙O即为所求，保留尺规作垂直平分线的对应圆弧痕迹、交点O以及所作的完整圆。
【知识点】
不共线三点确定一个圆；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题考查基础尺规作图，解题的核心是理解三角形外心的定义与性质，掌握线段垂直平分线的尺规作法，这类题目是对圆相关基本概念的直接应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
10.如图所示，在$△ ABC$中，$AB=AC=13\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$，求$△ ABC$的外接圆的半径。
答案
$\frac{169}{24}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
首先根据等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高AD，AD同时是BC的垂直平分线，而三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，因此外心O必然在AD上。先通过勾股定理求出AD的长度，再设外接圆半径为R，连接OB，在Rt△OBD中利用勾股定理列方程，即可求解R的值。
【解析】
1. 过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵$AB=AC=13\ \mathrm{cm}$，
∴AD是BC的垂直平分线，D为BC中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$。
3. 设$△ ABC$外接圆的半径为$R$，外接圆圆心O在AD上，连接OB，则$OB=OA=R$，$OD=AD-OA=12-R$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$，即$R^2=(12-R)^2+5^2$，
展开得：$R^2=144-24R+R^2+25$，
消去$R^2$整理得：$24R=169$，
解得：$R=\frac{169}{24}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{169}{24}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形性质；勾股定理；三角形外接圆性质
【点评】
本题是等腰三角形外接圆半径计算的典型题型，解题核心是利用等腰三角形和外接圆外心的性质确定外心的位置，再通过勾股定理构造方程求解，体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高AD，AD同时是BC的垂直平分线，而三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，因此外心O必然在AD上。先通过勾股定理求出AD的长度，再设外接圆半径为R，连接OB，在Rt△OBD中利用勾股定理列方程，即可求解R的值。
【解析】
1. 过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵$AB=AC=13\ \mathrm{cm}$，
∴AD是BC的垂直平分线，D为BC中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$。
3. 设$△ ABC$外接圆的半径为$R$，外接圆圆心O在AD上，连接OB，则$OB=OA=R$，$OD=AD-OA=12-R$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$，即$R^2=(12-R)^2+5^2$，
展开得：$R^2=144-24R+R^2+25$，
消去$R^2$整理得：$24R=169$，
解得：$R=\frac{169}{24}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{169}{24}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形性质；勾股定理；三角形外接圆性质
【点评】
本题是等腰三角形外接圆半径计算的典型题型，解题核心是利用等腰三角形和外接圆外心的性质确定外心的位置，再通过勾股定理构造方程求解，体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
