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1.过一点可以作
无数
个圆；过两点可以作无数
个圆，这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线
上；过不在同一条直线上的三点可以作一
个圆。这就得到：不在同一条直线上的三个点确定一
个圆。答案
1. 无数 无数 垂直平分线 一 一
解析
【分析】
我们结合圆的定义（圆上任意一点到圆心的距离等于半径）逐步推导：1.过单个点作圆时，仅需保证圆心到该点距离等于半径，圆心无其他限制；2.过两个点作圆时，圆心需要到两点距离相等，结合线段垂直平分线的性质即可确定圆心的位置范围；3.过不在同一直线的三个点作圆时，圆心需要同时到三个点距离相等，也就是要同时在两条不同线段的垂直平分线上，两条直线相交仅一个交点，即可确定唯一的圆心，进而确定圆的数量。
【解析】
1. 过一点作圆：平面内除该点外的任意点都可作为圆心，圆心到该点的距离为半径，因此可以作无数个圆；
2. 过两点作圆：圆心需要到两个点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有符合要求的圆心都在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可以作无数个圆；
3. 过不在同一直线上的三点作圆：圆心需要同时到三个点的距离相等，即圆心是任意两点连线的垂直平分线的交点，三条垂直平分线有且只有1个交点，因此只能作一个圆，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【答案】
无数 无数 垂直平分线 一 一
【知识点】
圆的确定条件；线段垂直平分线的性质；三点定圆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，需牢记过不同点数作圆的数量规律，注意“不在同一直线上”是三个点确定一个圆的必要前提，判断三点作圆数量时不可忽略该条件。
【难度系数】
0.9
我们结合圆的定义（圆上任意一点到圆心的距离等于半径）逐步推导：1.过单个点作圆时，仅需保证圆心到该点距离等于半径，圆心无其他限制；2.过两个点作圆时，圆心需要到两点距离相等，结合线段垂直平分线的性质即可确定圆心的位置范围；3.过不在同一直线的三个点作圆时，圆心需要同时到三个点距离相等，也就是要同时在两条不同线段的垂直平分线上，两条直线相交仅一个交点，即可确定唯一的圆心，进而确定圆的数量。
【解析】
1. 过一点作圆：平面内除该点外的任意点都可作为圆心，圆心到该点的距离为半径，因此可以作无数个圆；
2. 过两点作圆：圆心需要到两个点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有符合要求的圆心都在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可以作无数个圆；
3. 过不在同一直线上的三点作圆：圆心需要同时到三个点的距离相等，即圆心是任意两点连线的垂直平分线的交点，三条垂直平分线有且只有1个交点，因此只能作一个圆，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【答案】
无数 无数 垂直平分线 一 一
【知识点】
圆的确定条件；线段垂直平分线的性质；三点定圆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，需牢记过不同点数作圆的数量规律，注意“不在同一直线上”是三个点确定一个圆的必要前提，判断三点作圆数量时不可忽略该条件。
【难度系数】
0.9
·练习1 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
练习1 B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，共线的三点无法确定圆。我们先列出从所有点中任选三个点的所有组合，再排除掉三点共线的无效组合，剩下的组合的数量就是最多可画出圆的个数。
【解析】
已知点共有4个：直线l上的A、B、C，以及直线外的点P。
从4个点中任选3个，共有以下4种组合：
1. 组合A、B、C：三点都在直线l上，属于共线三点，不能确定圆；
2. 组合A、B、P：A、B在直线l上，P在直线l外，三点不共线，可以确定1个圆；
3. 组合A、C、P：A、C在直线l上，P在直线l外，三点不共线，可以确定1个圆；
4. 组合B、C、P：B、C在直线l上，P在直线l外，三点不共线，可以确定1个圆。
综上，能确定圆的组合共有3种，即最多可画出3个圆。
【答案】
B
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 点共线的判定
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的性质，注意排除共线的三点组合即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，共线的三点无法确定圆。我们先列出从所有点中任选三个点的所有组合，再排除掉三点共线的无效组合，剩下的组合的数量就是最多可画出圆的个数。
【解析】
已知点共有4个：直线l上的A、B、C，以及直线外的点P。
从4个点中任选3个，共有以下4种组合：
1. 组合A、B、C：三点都在直线l上，属于共线三点，不能确定圆；
2. 组合A、B、P：A、B在直线l上，P在直线l外，三点不共线，可以确定1个圆；
3. 组合A、C、P：A、C在直线l上，P在直线l外，三点不共线，可以确定1个圆；
4. 组合B、C、P：B、C在直线l上，P在直线l外，三点不共线，可以确定1个圆。
综上，能确定圆的组合共有3种，即最多可画出3个圆。
【答案】
B
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 点共线的判定
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的性质，注意排除共线的三点组合即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
知识点二 三角形的外接圆与外心
2.经过三角形的三个顶点可以作一个
2.经过三角形的三个顶点可以作一个
圆
，这个圆叫作三角形的外接圆
，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线
的交点，叫作这个三角形的外心
，这个三角形叫做圆的内接三角形
。答案
2. 圆 外接圆 三条边的垂直平分线 外心 内接三角形
解析
【分析】
解题时可结合过三点作圆的性质和相关定义逐一推导填空：①首先回忆：不在同一直线上的三个点确定一个圆，三角形三个顶点不在同一直线上，因此可确定经过三点的图形；②再明确该圆和三角形的名称对应关系；③接下来思考外接圆圆心的性质：圆心到三角形三个顶点的距离相等，结合垂直平分线的性质，就能推出圆心是哪条线的交点，以及该圆心的名称；最后明确三角形相对于该圆的名称即可。
【解析】
1. 第一空：根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，三角形三个顶点不在同一直线上，因此经过三角形三个顶点可以作一个圆；
2. 第二空：根据定义，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；
3. 第三空：外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点；
4. 第四空：根据定义，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；
5. 第五空：若三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫做圆的内接三角形。
【答案】
圆 外接圆 三条边的垂直平分线 外心 内接三角形
【知识点】
确定圆的条件，三角形外接圆与外心，圆的内接三角形
【点评】
本题考查三角形外接圆、外心的相关基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握对应定义就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时可结合过三点作圆的性质和相关定义逐一推导填空：①首先回忆：不在同一直线上的三个点确定一个圆，三角形三个顶点不在同一直线上，因此可确定经过三点的图形；②再明确该圆和三角形的名称对应关系；③接下来思考外接圆圆心的性质：圆心到三角形三个顶点的距离相等，结合垂直平分线的性质，就能推出圆心是哪条线的交点，以及该圆心的名称；最后明确三角形相对于该圆的名称即可。
【解析】
1. 第一空：根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，三角形三个顶点不在同一直线上，因此经过三角形三个顶点可以作一个圆；
2. 第二空：根据定义，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；
3. 第三空：外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点；
4. 第四空：根据定义，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；
5. 第五空：若三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫做圆的内接三角形。
【答案】
圆 外接圆 三条边的垂直平分线 外心 内接三角形
【知识点】
确定圆的条件，三角形外接圆与外心，圆的内接三角形
【点评】
本题考查三角形外接圆、外心的相关基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握对应定义就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
·练习2 下列关于三角形外心的说法中,错误的是(
A. 三角形的外心到三个顶点的距离相等
B. 三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C. 等腰三角形的外心在三角形内部
D. 任何一个三角形有且只有一个外接圆
温馨提示 (1)任意一个三角形有且只有一个外接圆,而一个圆的内接三角形可以有无数个.
(2)直角三角形的外心是斜边的中点,锐角三角形的外心在三角形的内部,钝角三角形的外心在三角形的外部.
C
).A. 三角形的外心到三个顶点的距离相等
B. 三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C. 等腰三角形的外心在三角形内部
D. 任何一个三角形有且只有一个外接圆
温馨提示 (1)任意一个三角形有且只有一个外接圆,而一个圆的内接三角形可以有无数个.
(2)直角三角形的外心是斜边的中点,锐角三角形的外心在三角形的内部,钝角三角形的外心在三角形的外部.
答案
练习2 C
解析
【分析】
解题时需结合三角形外心的定义、性质、不同类型三角形外心的位置以及三角形外接圆的相关概念，对四个选项逐一分析判断。首先明确核心知识点：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等；不共线三点确定唯一的圆，因此每个三角形仅有1个外接圆；另外要注意等腰三角形可分为锐角、直角、钝角三类，外心位置不固定，需分类讨论，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 三角形外心是外接圆的圆心，外接圆半径处处相等，因此外心到三个顶点的距离相等，该表述正确，不符合题意；
B. 根据三角形外心的定义，外心就是三条边的垂直平分线的交点，该表述正确，不符合题意；
C. 等腰三角形包含锐角等腰、直角等腰、钝角等腰三类，其中锐角等腰的外心在内部，直角等腰的外心在斜边中点，钝角等腰的外心在三角形外部，因此“等腰三角形的外心在三角形内部”的表述错误，符合题意；
D. 三角形三个顶点不共线，根据“不共线的三点确定唯一的圆”，可知任何一个三角形有且只有一个外接圆，该表述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；三角形外心的性质；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略等腰三角形的分类，默认等腰三角形是锐角三角形，从而错选其他选项，解题时要注意克服思维定势，考虑全面。
【难度系数】
0.7
解题时需结合三角形外心的定义、性质、不同类型三角形外心的位置以及三角形外接圆的相关概念，对四个选项逐一分析判断。首先明确核心知识点：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等；不共线三点确定唯一的圆，因此每个三角形仅有1个外接圆；另外要注意等腰三角形可分为锐角、直角、钝角三类，外心位置不固定，需分类讨论，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 三角形外心是外接圆的圆心，外接圆半径处处相等，因此外心到三个顶点的距离相等，该表述正确，不符合题意；
B. 根据三角形外心的定义，外心就是三条边的垂直平分线的交点，该表述正确，不符合题意；
C. 等腰三角形包含锐角等腰、直角等腰、钝角等腰三类，其中锐角等腰的外心在内部，直角等腰的外心在斜边中点，钝角等腰的外心在三角形外部，因此“等腰三角形的外心在三角形内部”的表述错误，符合题意；
D. 三角形三个顶点不共线，根据“不共线的三点确定唯一的圆”，可知任何一个三角形有且只有一个外接圆，该表述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；三角形外心的性质；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略等腰三角形的分类，默认等腰三角形是锐角三角形，从而错选其他选项，解题时要注意克服思维定势，考虑全面。
【难度系数】
0.7
知识点三 反证法
3.先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作
3.先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作
反证法
.答案
3. 反证法
解析
【分析】
本题考查常见证明方法的定义识别，解题时只需将题干描述的证明流程和所学证明方法的定义对应匹配即可。题干给出的“先提出结论相反的假设、推导矛盾、否定假设、确认原命题成立”的逻辑是反证法的核心特征，匹配对应定义就能得到答案。
【解析】
结合所学反证法的定义：反证法的证明流程就是先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。题干描述与反证法的定义完全吻合，因此应填入反证法。
【答案】
反证法
【知识点】
反证法的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题目，直接考查对反证法定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查常见证明方法的定义识别，解题时只需将题干描述的证明流程和所学证明方法的定义对应匹配即可。题干给出的“先提出结论相反的假设、推导矛盾、否定假设、确认原命题成立”的逻辑是反证法的核心特征，匹配对应定义就能得到答案。
【解析】
结合所学反证法的定义：反证法的证明流程就是先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。题干描述与反证法的定义完全吻合，因此应填入反证法。
【答案】
反证法
【知识点】
反证法的定义
【点评】
本题是基础概念识记类题目，直接考查对反证法定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
练习3 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于$60°$”时，首先应假设这个三角形中(
A.有一个内角大于$60°$
B.有一个内角小于$60°$
C.每一个内角都大于$60°$
D.每一个内角都小于$60°$
知识拓展 反证法中常用的结论词与反设词
C
).A.有一个内角大于$60°$
B.有一个内角小于$60°$
C.每一个内角都大于$60°$
D.每一个内角都小于$60°$
知识拓展 反证法中常用的结论词与反设词
答案
练习3 C
解析
【分析】
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立。首先确定原命题的结论：“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，等价于“三角形中至少有一个内角≤60°”。根据常用反设词的对应规则，“至少有一个”的反面是“一个也没有”，也就是不存在内角≤60°，即所有内角都大于60°，对应选项即可找到答案。
【解析】
反证法证明命题时，首先需要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，也就是“三角形中至少存在一个内角≤60°”。
该结论的反面为：三角形中不存在小于或等于60°的内角，即三角形的每一个内角都大于60°。
因此首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的反设步骤，解题核心是准确找出原命题结论的否定形式，要注意“至少有一个”这类存在性表述的否定是对应的全称性表述，避免混淆部分否定和全部否定。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立。首先确定原命题的结论：“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，等价于“三角形中至少有一个内角≤60°”。根据常用反设词的对应规则，“至少有一个”的反面是“一个也没有”，也就是不存在内角≤60°，即所有内角都大于60°，对应选项即可找到答案。
【解析】
反证法证明命题时，首先需要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，也就是“三角形中至少存在一个内角≤60°”。
该结论的反面为：三角形中不存在小于或等于60°的内角，即三角形的每一个内角都大于60°。
因此首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的反设步骤，解题核心是准确找出原命题结论的否定形式，要注意“至少有一个”这类存在性表述的否定是对应的全称性表述，避免混淆部分否定和全部否定。
【难度系数】
0.8
1.(教材P120习题T6变式)小红不小心把家里的一个圆形玻璃镜打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是(
A.AB,AC边上的中线的交点
B.AB,AC边的垂直平分线的交点
C.AB,AC边上的高所在直线的交点
D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点
B
).A.AB,AC边上的中线的交点
B.AB,AC边的垂直平分线的交点
C.AB,AC边上的高所在直线的交点
D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点
答案
1. B
解析
【分析】
要配制和原来同样大小的玻璃镜，需要先确定原有圆形玻璃的圆心。已知点A、B、C都在原来的圆周上，因此这个圆是△ABC的外接圆，我们要找的就是△ABC的外接圆圆心（外心）。根据外心的性质，它到A、B、C三个顶点的距离相等，再结合线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需要找到AB、AC两条边的垂直平分线的交点，这个交点到三个顶点距离都相等，就是所求的圆心。
【解析】
首先，所求玻璃镜的圆心是△ABC的外接圆圆心，该点到A、B、C三点的距离相等。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
因此，到A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，到A、C两点距离相等的点在AC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点到A、B、C三点距离均相等，即为玻璃镜的圆心。
对选项逐一判断：
A选项：AB、AC边上中线的交点是三角形的重心，不符合要求；
B选项：AB、AC边的垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，符合要求；
C选项：AB、AC边上高所在直线的交点是三角形的垂心，不符合要求；
D选项：∠BAC与∠ABC的平分线的交点是三角形的内心，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的定义，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形相关的基础概念，解题的关键是明确外接圆圆心的性质，结合线段垂直平分线的性质即可快速判断，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
要配制和原来同样大小的玻璃镜，需要先确定原有圆形玻璃的圆心。已知点A、B、C都在原来的圆周上，因此这个圆是△ABC的外接圆，我们要找的就是△ABC的外接圆圆心（外心）。根据外心的性质，它到A、B、C三个顶点的距离相等，再结合线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需要找到AB、AC两条边的垂直平分线的交点，这个交点到三个顶点距离都相等，就是所求的圆心。
【解析】
首先，所求玻璃镜的圆心是△ABC的外接圆圆心，该点到A、B、C三点的距离相等。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
因此，到A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，到A、C两点距离相等的点在AC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点到A、B、C三点距离均相等，即为玻璃镜的圆心。
对选项逐一判断：
A选项：AB、AC边上中线的交点是三角形的重心，不符合要求；
B选项：AB、AC边的垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，符合要求；
C选项：AB、AC边上高所在直线的交点是三角形的垂心，不符合要求；
D选项：∠BAC与∠ABC的平分线的交点是三角形的内心，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的定义，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形相关的基础概念，解题的关键是明确外接圆圆心的性质，结合线段垂直平分线的性质即可快速判断，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
