1.顶点在并且两边都与圆的角叫作圆周角。

1. 圆上 相交

【分析】
本题考查圆周角的定义，解题时只需回忆圆周角的两个核心判定要素即可：一是角的顶点的位置要求，二是角的两条边的位置要求，对应两个空缺内容直接填写即可。
【解析】
根据圆周角的定义可知：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，因此第一个空填“圆上”，第二个空填“相交”。
【答案】
圆上；相交
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定义的识记，熟练掌握教材中的基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

•练习1 如图，$∠ APB$是圆周角的是().

练习1 D

【分析】
要判断哪个角是圆周角，首先需明确圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。解题时只需用这两个条件逐一核对每个选项中的∠APB即可。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一分析选项：
选项A：∠APB的顶点P在圆外，不满足顶点在圆上的要求，不是圆周角；
选项B：∠APB的顶点P在圆内，不满足顶点在圆上的要求，不是圆周角；
选项C：∠APB的边PB与圆相切，仅存在1个公共点，不满足两边都与圆相交的要求，不是圆周角；
选项D：∠APB的顶点P在⊙O上，且两边PA、PB均与⊙O相交，完全符合圆周角的定义。
【答案】
D
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握圆周角的两个判定特征，避免遗漏条件判断失误。
【难度系数】
0.9

知识点二 圆周角定理及其推论
2.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的.
3.(1)同弧或等弧所对的圆周角；
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.

2. 一半
3.(1) 相等
(2) 直角 直径

【分析】
本题为圆周角定理及其推论的基础识记类题目，解题时只需准确回忆教材中圆周角相关的定理、推论内容，对应题干要求填空即可。第2题直接考查圆周角定理的核心内容，第3题考查圆周角定理的两个常用推论，均属于基础概念的直接考察。
【解析】
2. 根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，因此此处填“一半”。
3. (1) 根据圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆心角相等，而圆周角为对应圆心角的一半，因此同弧或等弧所对的圆周角相等，此处填“相等”。
(2) 半圆（或直径）所对的圆心角为180°，对应的圆周角为180°÷2=90°，即直角；反过来，若圆周角为90°，则它所对的圆心角为90°×2=180°，圆心角180°对应的弦是直径，因此两处依次填“直角”“直径”。
【答案】
2. 一半
3.(1) 相等
(2) 直角 直径
【知识点】
圆周角定理；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础概念考察题，主要考查对圆周角相关定理、推论的识记掌握程度，这些知识点是解决圆周角相关几何题的基础，需准确熟练记忆。
【难度系数】
0.9

• 练习2 如图，已知AB是$\odot O$的直径，D是圆上任意一点（不与点A，B重合），连接BD并延长到点C，使$DC = BD$，连接AC，试判断$△ ABC$的形状.
易错提醒 若“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论就不一定成立. 例如，如图，弦AB所对的圆周角$∠ C$和$∠ E$相等，$∠ C$和$∠ D$互补，所以在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补.

$△ ABC$ 是等腰三角形.

【分析】
解题时首先从已知条件“AB是⊙O的直径”入手，联想到圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，因此需要先作辅助线连接AD，得到AD与BC垂直的关系；再结合条件“DC=BD”，可判断AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得到AB=AC，进而判断三角形的形状。
【解析】
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），即AD⊥BC，
又
∵BD=DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△ABC为等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形。
【知识点】
圆周角定理推论；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题的关键是根据直径的特征正确作出辅助线，将圆的性质和三角形的相关性质结合推导，考查了对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

知识点三 圆内接四边形的性质
4.圆内接四边形的对角.

4. 互补

【分析】
本题考查圆内接四边形的基本性质，属于基础概念类题目。解题时可结合圆周角定理推导：首先明确圆内接四边形的一组对角所对的弧之和为整圆，对应弧的总度数为360°，再根据圆周角等于所对弧度数的一半，即可推出对角的和为180°，也就是互补的关系，直接识记性质也可快速作答。
【解析】
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。圆内接四边形的任意一组对角，所对的弧恰好拼接成整个圆周，总度数为360°，因此这组对角的度数和为360°÷2=180°，即两角互补。因此圆内接四边形的对角互补。
【答案】
互补
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，是圆相关性质的基础考点，牢记该性质是解决圆中角度计算、证明等相关问题的前提。
【难度系数】
0.9

·练习3 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，E为BC延长线上一点.若$∠ DCE=55°$，则$∠ BOD$的度数是().


A.$75°$
B.$110°$
C.$130°$
D.$140°$
知识拓展 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角(如图，$∠ A=∠ 1$).

练习3 B

【分析】
解题时首先观察图形特征，已知四边形是圆内接四边形且给出了外角∠DCE的度数，第一步先利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，求出与∠DCE相等的内对角∠A的度数；接下来∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠A是弧BD所对的圆周角，再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可计算出∠BOD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，
∴ $∠ A = ∠ DCE = 55°$，
又
∵ $∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ A$是弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ BOD = 2∠ A = 2×55° = 110°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆相关性质的直接应用，只要熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8