4.如图，已知$AC // BD$，$AE$，$BE$分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$，点$E$在直线$CD$上。求证：$AB=AC+BD$。

证明:方法一(截长法):如图①,在 AB 上截取$ AF=AC $,连接 EF。
因为 AE 平分$ ∠ CAB $,所以$ ∠ 1=∠ 2 $。
在$△ ACE $和$△ AFE $中,$\begin{cases} AC=AF,\\ ∠ 1=∠ 2,\\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ ACE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$。
所以$ ∠ C=∠ 5 $。
因为$ AC// BD $,所以$ ∠ C+∠ D=180° $。
因为$ ∠ 5+∠ 6=180° $,
所以$ ∠ D=∠ 6 $。
因为 BE 平分$ ∠ DBA $,所以$ ∠ 3=∠ 4 $。
在$△ BEF $和$△ BED $中,$\begin{cases} ∠ 6=∠ D,\\ ∠ 3=∠ 4,\\ BE=BE, \end{cases}$
所以$△ BEF≌△ BED(\mathrm{AAS})$。
所以$ BF=BD $。
所以$ AF+BF=AC+BD $,即$ AB=AC+BD $。
方法二(补短法):如图②,延长 AC 至点 F,使$ AF=AB $,连接 EF。
因为 AE 平分$ ∠ CAB $,所以$ ∠ 1=∠ 2 $。
在$△ AEF $和$△ AEB $中,$\begin{cases} AF=AB,\\ ∠ 1=∠ 2,\\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ AEF≌△ AEB(\mathrm{SAS})$。
所以$ EF=EB,∠ F=∠ 3 $。
因为 BE 平分$ ∠ DBA $,
所以$ ∠ 3=∠ 4 $,
所以$ ∠ F=∠ 4 $。
因为$ AC// BD $,
所以$ ∠ 5=∠ D $。
在$△ CEF $和$△ DEB $中,$\begin{cases} ∠ F=∠ 4,\\ ∠ 5=∠ D,\\ EF=EB, \end{cases}$
所以$△ CEF≌△ DEB(\mathrm{AAS})$。
所以$ CF=DB $。
因为$ AB=AF=AC+CF $,
所以$ AB=AC+BD $。

5.如图，AD，BC相交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2＝35°.若AB//ED，则∠BFD的度数是（）


A.60°
B.70°
C.80°
D.90°

5. B

6.在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$P$是平面内一点，将$AP$绕点$A$顺时针旋转至$AQ$，使$∠ QAP=∠ BAC$，连接$BQ$，$CP$.
(1)如图①，若点$P$在$△ ABC$的内部，试说明$BQ=CP$.
(2)如图②，若点$P$在$△ ABC$的外部，以上结论还成立吗？请说明理由.

解:(1)因为$ ∠ QAP=∠ BAC $,
所以$ ∠ QAP-∠ BAP=∠ BAC-∠ BAP $,即$ ∠ QAB=∠ PAC $。
另外由旋转,得$ AQ=AP $。
在$△ AQB $和$△ APC $中,
$\begin{cases} AQ=AP,\\ ∠ QAB=∠ PAC,\\ AB=AC, \end{cases}$
所以$△ AQB≌△ APC(\mathrm{SAS})$。
所以$ BQ=CP $。
(2)成立.理由如下:
因为$ ∠ QAP=∠ BAC $,
所以$ ∠ QAP+∠ BAP=∠ BAC+∠ BAP $,即$ ∠ QAB=∠ PAC $。
另外由旋转,得$ AQ=AP $。
在$△ AQB $和$△ APC $中,
$\begin{cases} AQ=AP,\\ ∠ QAB=∠ PAC,\\ AB=AC, \end{cases}$
所以$△ AQB≌△ APC(\mathrm{SAS})$。
所以$ BQ=CP $。