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10. 一题多变(1)已知点A的坐标为$(n+3,3)$,点B的坐标为$(n-4,n),AB// x$轴,则线段$AB= $____.
(2)在平面直角坐标系中,点$A(-3,2),B(3,4),C(x,y)$,若$AC// y$轴,则线段BC的最小值为____.
(2)在平面直角坐标系中,点$A(-3,2),B(3,4),C(x,y)$,若$AC// y$轴,则线段BC的最小值为____.
答案
(1)7 解析：由AB//x轴可得3 = n，即点A的坐标为(6, 3)，点B的坐标为(-1, 3)，∴线段AB的长度为7。
(2)6 解析：∵AC//y轴，∴x = -3。根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值 = 3 - (-3) = 6。
技法点拨
若AB//x轴，则A，B两点的纵坐标相等；若AB//y轴，则A，B两点的横坐标相等。
(2)6 解析：∵AC//y轴，∴x = -3。根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值 = 3 - (-3) = 6。
技法点拨
若AB//x轴，则A，B两点的纵坐标相等；若AB//y轴，则A，B两点的横坐标相等。
11. (贵港中考改编)在平面直角坐标系中,点$P(m-3,4-2m)$不可能在第____象限.
答案
一 解析：①当m - 3＞0，即m＞3时，-2m＜-6，4 - 2m＜-2，所以点P(m - 3, 4 - 2m)在第四象限；②当m - 3＜0，即m＜3时，-2m＞-6，4 - 2m＞-2，点P(m - 3, 4 - 2m)可以在第二或第三象限。综上所述，点P不可能在第一象限。
12. (2024·汕头期中)如图,在平面直角坐标系中,$AB// EG// x$轴,$BC// DE// HG// AP// y$轴,点D,C,P,H在x轴上,$A(1,2),B(-1,2),D(-3,0),E(-3,-2),G(3,-2)$,把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线(粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按$A-B-C-D-E-F-G-H-P-A…$的规律紧绕在图形“凸”的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是____.
答案
(-1, 0) 解析：∵AB//EG//x轴，BC//DE//HG//AP//y轴，且A(1, 2)，B(-1, 2)，D(-3, 0)，E(-3, -2)，G(3, -2)，∴AB = 2，BC = AP = 2，CD = HP = 2，DE = HG = 2，EF = GF = 3，∴绕“凸”一圈，线长20个单位长度，∵2024÷20 = 101……4，AB + BC = 4，∴细线另一端在C点，∴细线另一端所在位置的点的坐标是(-1, 0)。
13. 已知点$P(2m+4,m-1)$.试分别根据下列条件,求出点P的坐标.
(1)点P在y轴上;
(2)点P在x轴上;
(3)点P到x轴、y轴的距离相等;
(4)点P在过点$A(2,-3)$,且与x轴平行的直线上;
(5)点A的坐标为$(m-4,m)$,且PA与y轴平行.
(1)点P在y轴上;
(2)点P在x轴上;
(3)点P到x轴、y轴的距离相等;
(4)点P在过点$A(2,-3)$,且与x轴平行的直线上;
(5)点A的坐标为$(m-4,m)$,且PA与y轴平行.
答案
(1)令2m + 4 = 0，解得m = -2，∴点P的坐标为(0, -3)。
(2)令m - 1 = 0，解得m = 1，∴点P的坐标为(6, 0)。
(3)令2m + 4 = m - 1或2m + 4 + m - 1 = 0，解得m = -5或m = -1。当m = -5时，2m + 4 = -6，m - 1 = -6，则P(-6, -6)；当m = -1时，2m + 4 = 2，m - 1 = -2，则P(2, -2)。∴点P的坐标为(-6, -6)或(2, -2)。
(4)令m - 1 = -3，解得m = -2。∴点P的坐标为(0, -3)。
(5)令m - 4 = 2m + 4，解得m = -8。∴点P的坐标为(-12, -9)。
(2)令m - 1 = 0，解得m = 1，∴点P的坐标为(6, 0)。
(3)令2m + 4 = m - 1或2m + 4 + m - 1 = 0，解得m = -5或m = -1。当m = -5时，2m + 4 = -6，m - 1 = -6，则P(-6, -6)；当m = -1时，2m + 4 = 2，m - 1 = -2，则P(2, -2)。∴点P的坐标为(-6, -6)或(2, -2)。
(4)令m - 1 = -3，解得m = -2。∴点P的坐标为(0, -3)。
(5)令m - 4 = 2m + 4，解得m = -8。∴点P的坐标为(-12, -9)。
14. (2024·无锡校级月考)阅读下列一段文字,然后回答问题.
已知平面内两点$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$,则这两点间的距离可用下列公式计算:
$MN= \sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
例如:已知$P(3,1),Q(1,-2)$,则这两点间的距离$PQ= \sqrt {(3-1)^{2}+(1+2)^{2}}= \sqrt {13}$.
特别地,如果两点$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴,那么这两点间的距离公式可简化为$MN= |x_{1}-x_{2}|或MN= |y_{1}-y_{2}|$.
(1)已知$A(1,2),B(-2,-3)$,试求A,B两点间的距离.
(2)已知A,B在平行于x轴的同一条直线上,点A的横坐标为5,点B的横坐标为-1,试求A,B两点间的距离.
(3)已知$\triangle ABC的顶点坐标分别为A(0,4),B(-1,2),C(4,2)$,你能判定$\triangle ABC$的形状吗? 请说明理由.
已知平面内两点$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$,则这两点间的距离可用下列公式计算:
$MN= \sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
例如:已知$P(3,1),Q(1,-2)$,则这两点间的距离$PQ= \sqrt {(3-1)^{2}+(1+2)^{2}}= \sqrt {13}$.
特别地,如果两点$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴,那么这两点间的距离公式可简化为$MN= |x_{1}-x_{2}|或MN= |y_{1}-y_{2}|$.
(1)已知$A(1,2),B(-2,-3)$,试求A,B两点间的距离.
(2)已知A,B在平行于x轴的同一条直线上,点A的横坐标为5,点B的横坐标为-1,试求A,B两点间的距离.
(3)已知$\triangle ABC的顶点坐标分别为A(0,4),B(-1,2),C(4,2)$,你能判定$\triangle ABC$的形状吗? 请说明理由.
答案
(1)AB = $\sqrt{(1 + 2)^{2}+(2 + 3)^{2}}$ = $\sqrt{34}$
(2)AB = |5 - (-1)| = 6。
(3)△ABC是直角三角形，理由：∵AB = $\sqrt{(0 + 1)^{2}+(4 - 2)^{2}}$ = $\sqrt{5}$，BC = $\sqrt{(-1 - 4)^{2}+(2 - 2)^{2}}$ = 5，AC = $\sqrt{(0 - 4)^{2}+(4 - 2)^{2}}$ = $\sqrt{20}$，∴AB² + AC² = ($\sqrt{5}$)² + ($\sqrt{20}$)² = 25 = BC²，∴△ABC是直角三角形。
(2)AB = |5 - (-1)| = 6。
(3)△ABC是直角三角形，理由：∵AB = $\sqrt{(0 + 1)^{2}+(4 - 2)^{2}}$ = $\sqrt{5}$，BC = $\sqrt{(-1 - 4)^{2}+(2 - 2)^{2}}$ = 5，AC = $\sqrt{(0 - 4)^{2}+(4 - 2)^{2}}$ = $\sqrt{20}$，∴AB² + AC² = ($\sqrt{5}$)² + ($\sqrt{20}$)² = 25 = BC²，∴△ABC是直角三角形。
