2. 用棱长分别是 12 厘米和 8 厘米的小正方体各搭一个大正方体,如果搭出的两个正方体的棱长相同,那么它们的棱长最小是多少？各要用几个小正方体？

$12 = 2 × 2 × 3$ $8 = 2 × 2 × 2$
12 和 8 的最小公倍数是 $2 × 2 × 2 × 3 = 24$
大正方体的棱长最小是 24 厘米
$24 ÷ 12 = 2$（个） $2 × 2 × 2 = 8$（个）
$24 ÷ 8 = 3$（个） $3 × 3 × 3 = 27$（个）
答：它们的棱长最小是 24 厘米，分别需要 8 个棱长 12 厘米的小正方体和 27 个棱长 8 厘米的小正方体。
提示：求它们的棱长最小是多少，只需要找出 12 和 8 的最小公倍数就可以，通过计算求出大正方体的棱长；用大正方体的棱长除以小正方体的棱长，得到每条棱上有几个小正方体，进而可求出这个大正方体里有几个小正方体。

3. 一个长方体,如果高减少 3 厘米就变成了一个正方体,表面积就减少了 96 平方厘米,现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？

$96 ÷ 4 = 24$（平方厘米）
$24 ÷ 3 = 8$（厘米）
$8 × 8 × 3 = 192$（立方厘米）
答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差 192 立方厘米。
提示：根据题意，长方体的高减少 3 厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是 4 个长为正方体的棱长、宽为 3 厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以 4，求出一个长方形的面积，再除以 3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为 3 厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积 $ = $长 $ × $宽 $ × $高，代入数据计算即可。

4. 如图所示,一个透明的密封长方体容器,从里面量,长 12 厘米,宽 10 厘米,高 15 厘米,容器中水深 6 厘米。如果长方体容器向右侧倒(右侧面为底面)置桌子平面上,水的高度会是多少厘米？

$12 × 10 × 6 ÷ (10 × 15) = 4.8$（厘米）
答：水的高度会是 4.8 厘米。
提示：先根据长方体的体积公式 $V = abh$，求出长方体内水的体积，由于水的体积不变，把长方体的右侧面作为底面，所以用水的体积除以右侧面的面积就是水面的高度，据此解答。

5. 榫卯是中国古代建筑、家具及木制器械的主要构造方式,其特点在于两个木构件通过凹凸结合的方式连接。具体来说,凸出的部分称为榫(或榫头),凹进的部分称为卯(或榫眼、榫槽)。连接时,一个构件的榫头会插入到另一个构件的榫眼中,从而实现两个构件的稳固连接。现有一款零件(如图①所示),若将两个完全相同的此零件按照榫卯结构(如图②所示)组装并固定在一起,外部全部涂上颜料。根据图①中给出的数据,请你算一算,连接在一起的两个零件没有被涂色的所有面的面积之和是多少平方厘米？

假设不能测量的距离为 $a$ 厘米，则题图①中的零件从三个方向观察如下


$(13 - 3) ÷ 2 = 5$（厘米）
$40 ÷ 2 = 20$（厘米）
$25 × 13 × 2 + (40 + a) × 25 × 2 + [13a + 40 × (5 + 3) - 20 × 3] × 2 + 25 × 3 × 2 = (3320 + 76a)$ 平方厘米
$(3320 + 76a) × 2 = (6640 + 152a)$ 平方厘米
$(2a + 40) × (13 + 25) × 2 + 13 × 25 × 2 = 152a + 3690$（平方厘米）
$6640 + 152a - 3690 - 152a = 2950$（平方厘米）
答：没有被涂色的面的面积和为 2950 平方厘米。
提示：因为一个构件的榫头会插入到另一个构件的榫眼中，所以可以算出各部件的长度，结合零件从三个方向观察到的图形，可设无法测量的长度为 $a$ 厘米，因此算出一个零件的表面积。由于零件一模一样，从而得到两个零件的表面积之和。而拼成的部件是一个长方体，可以得到长、宽、高的数据，因此算出表面积，两个零件的表面积之和减去拼接后的表面积就能得到没有涂色的所有面的面积和。