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9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,将它向右平移得到$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$,AC和$A'B'$交于点D,延长$BA$,$C'A'$交于点E,若$BC'=7$,$B'C=3$,则线段$DE$的长为……………………………（
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
A
）A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
9.A 解析:连结AA',因为由平移的性质知AA'//BB',AA'=BB',所以四边形AA'B'B为平行四边形,又因为AE//A'D,A'E//AD,所以四边形ADA'E为平行四边形,因为∠BAC=90°,所以∠DAE=90°,所以四边形ADA'E为矩形,所以DE=AA'=BB',由平移的性质知BB'=CC',因为BC'=BB'+B'C+CC'=7,即有2BB'=7-3=4,得BB'=2,所以DE=BB'=2
解析
【分析】
这道题考查平移性质及特殊四边形的判定与应用，解题思路如下：
1. 利用平移的性质，得到对应点连线平行且相等，构造平行四边形；
2. 结合平行线关系，进一步构造平行四边形，再结合原直角三角形的直角条件，判定该平行四边形为矩形；
3. 利用矩形对角线相等的性质，将所求线段DE转化为与平移对应线段相等的量，最后结合已知线段长度计算得出结果。
【解析】
连结$AA'$，根据平移的性质，$\mathrm{Rt}△ ABC$向右平移得到$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，因此$AA'// BB'$，且$AA'=BB'$，故四边形$AA'B'B$为平行四边形。
又因为$AE// A'D$，$A'E// AD$，所以四边形$ADA'E$是平行四边形。
已知$∠ BAC=90°$，则$∠ DAE=90°$，因此平行四边形$ADA'E$是矩形，根据矩形的性质，对角线相等，可得$DE=AA'$。
由平移的性质可知$BB'=CC'$，结合$BC'=BB'+B'C+CC'=7$，且$B'C=3$，代入得：$BB' + 3 + BB' =7$，解得$BB'=2$，因此$DE=AA'=BB'=2$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、平行四边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题通过平移性质构造特殊四边形，将未知线段转化为已知线段求解，关键是利用直角条件判定平行四边形为矩形，进而得到线段等量关系，是平移性质的典型应用。
【难度系数】
0.5
这道题考查平移性质及特殊四边形的判定与应用，解题思路如下：
1. 利用平移的性质，得到对应点连线平行且相等，构造平行四边形；
2. 结合平行线关系，进一步构造平行四边形，再结合原直角三角形的直角条件，判定该平行四边形为矩形；
3. 利用矩形对角线相等的性质，将所求线段DE转化为与平移对应线段相等的量，最后结合已知线段长度计算得出结果。
【解析】
连结$AA'$，根据平移的性质，$\mathrm{Rt}△ ABC$向右平移得到$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，因此$AA'// BB'$，且$AA'=BB'$，故四边形$AA'B'B$为平行四边形。
又因为$AE// A'D$，$A'E// AD$，所以四边形$ADA'E$是平行四边形。
已知$∠ BAC=90°$，则$∠ DAE=90°$，因此平行四边形$ADA'E$是矩形，根据矩形的性质，对角线相等，可得$DE=AA'$。
由平移的性质可知$BB'=CC'$，结合$BC'=BB'+B'C+CC'=7$，且$B'C=3$，代入得：$BB' + 3 + BB' =7$，解得$BB'=2$，因此$DE=AA'=BB'=2$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、平行四边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题通过平移性质构造特殊四边形，将未知线段转化为已知线段求解，关键是利用直角条件判定平行四边形为矩形，进而得到线段等量关系，是平移性质的典型应用。
【难度系数】
0.5
10.（改编）将四个直角三角形按图示方式围成$□ ABCD$，其中$△ ABF≌△ CDH$，$∠ ABF=45°$，其内部四个顶点构成正方形$EFGH$，若要求出$□ ABCD$的面积，则只需知道$······$（
A.$AB$的长
B.$BC$的长
C.$AE$的长
D.$ED$的长
A
）A.$AB$的长
B.$BC$的长
C.$AE$的长
D.$ED$的长
答案
10.A 解析:因为四边形EFGH是正方形,所以EF=FG=HG=EH,∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°,所以∠AED=∠AFB=∠CGB=∠CHD=90°,因为∠ABF=45°,所以AF=BF,因为△ABF≌△CDH,所以AF=BF=CH=DH,设EF=FG=HG=EH=x,AF=BF=CH=DH=y,所以BG=DE=x+y,AE=CG=y-x,AF²+BF²=2y²=AB²,所以□ABCD的面积=2×△ABF的面积+2×△BCG的面积+正方形EFGH的面积=2×1/2 y² + 2×1/2(y-x)(y+x)+x²=2y²=AB²,故答案为:A。
解析
【分析】
要解决本题，需结合正方形的性质、全等三角形的性质以及等腰直角三角形的特点，推导平行四边形ABCD的面积表达式，进而确定所需条件。首先，内部四边形EFGH是正方形，其四边相等、四角为直角，可推出周围四个三角形均为直角三角形；结合∠ABF=45°，可知△ABF是等腰直角三角形，利用全等三角形性质得到对应边相等，通过设未知数表示各边长度，计算平行四边形总面积，最终发现面积与AB的长度直接相关，即可判断选项。
【解析】
1. 因为四边形EFGH是正方形，所以EF=FG=GH=HE，∠AFB=∠BGC=∠CHD=∠DEA=90°（正方形的四个角都是直角）。
2. 在Rt△ABF中，∠ABF=45°，则∠BAF=90°-45°=45°，故△ABF是等腰直角三角形，因此AF=BF。
3. 由△ABF≌△CDH，得AF=BF=CH=DH。设正方形EFGH的边长为x，AF=BF=y，则BG=DE=x+y，AE=CG=y-x（AF=AE+EF，故AE=AF-EF=y-x，同理CG=CH-HG=y-x）。
4. 平行四边形ABCD的面积为四个直角三角形面积与中间正方形面积之和：
△ABF和△CDH的面积和：$2×\frac{1}{2}×AF×BF = y^2$；
△BCG和△ADE的面积和：$2×\frac{1}{2}×BG×CG = (x+y)(y-x)=y^2 -x^2$；
正方形EFGH的面积：$x^2$；
总面积：$y^2 + (y^2 -x^2) +x^2=2y^2$。
5. 在等腰直角△ABF中，由勾股定理得$AB^2=AF^2 + BF^2=y^2 + y^2=2y^2$，因此平行四边形ABCD的面积=AB²，即只需知道AB的长即可求出面积。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形面积，正方形性质，全等三角形性质
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形、等腰直角三角形的性质，需通过设未知数推导各边关系，得出平行四边形面积与AB边长的关联，重点考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合正方形的性质、全等三角形的性质以及等腰直角三角形的特点，推导平行四边形ABCD的面积表达式，进而确定所需条件。首先，内部四边形EFGH是正方形，其四边相等、四角为直角，可推出周围四个三角形均为直角三角形；结合∠ABF=45°，可知△ABF是等腰直角三角形，利用全等三角形性质得到对应边相等，通过设未知数表示各边长度，计算平行四边形总面积，最终发现面积与AB的长度直接相关，即可判断选项。
【解析】
1. 因为四边形EFGH是正方形，所以EF=FG=GH=HE，∠AFB=∠BGC=∠CHD=∠DEA=90°（正方形的四个角都是直角）。
2. 在Rt△ABF中，∠ABF=45°，则∠BAF=90°-45°=45°，故△ABF是等腰直角三角形，因此AF=BF。
3. 由△ABF≌△CDH，得AF=BF=CH=DH。设正方形EFGH的边长为x，AF=BF=y，则BG=DE=x+y，AE=CG=y-x（AF=AE+EF，故AE=AF-EF=y-x，同理CG=CH-HG=y-x）。
4. 平行四边形ABCD的面积为四个直角三角形面积与中间正方形面积之和：
△ABF和△CDH的面积和：$2×\frac{1}{2}×AF×BF = y^2$；
△BCG和△ADE的面积和：$2×\frac{1}{2}×BG×CG = (x+y)(y-x)=y^2 -x^2$；
正方形EFGH的面积：$x^2$；
总面积：$y^2 + (y^2 -x^2) +x^2=2y^2$。
5. 在等腰直角△ABF中，由勾股定理得$AB^2=AF^2 + BF^2=y^2 + y^2=2y^2$，因此平行四边形ABCD的面积=AB²，即只需知道AB的长即可求出面积。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形面积，正方形性质，全等三角形性质
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形、等腰直角三角形的性质，需通过设未知数推导各边关系，得出平行四边形面积与AB边长的关联，重点考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
11.要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，则$x$的值可以是________。
（写出一个即可）
（写出一个即可）
答案
11.3(答案不唯一,x≥2即可)
解析
【分析】首先明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数，据此列出关于x的不等式，求解得到x的取值范围，再在该范围内选取一个符合要求的数值即可。
【解析】要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数$x-2$为非负数，因此列出不等式：$x - 2 ≥ 0$，解这个不等式得$x ≥ 2$。在$x ≥ 2$的范围内任意选取一个数，比如3，即可满足题目要求。
【答案】3（答案不唯一，x≥2即可）
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题直接考查二次根式有意义的基本概念，属于基础题型，侧重对核心概念的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数$x-2$为非负数，因此列出不等式：$x - 2 ≥ 0$，解这个不等式得$x ≥ 2$。在$x ≥ 2$的范围内任意选取一个数，比如3，即可满足题目要求。
【答案】3（答案不唯一，x≥2即可）
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题直接考查二次根式有意义的基本概念，属于基础题型，侧重对核心概念的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.9
12.若一个八边形的每个外角都相等，则它的一个内角等于
875 850 A 957 850 D
135
度。答案
12.135
解析
【分析】
要计算八边形的一个内角度数，需利用多边形外角和的性质：任意多边形的外角和恒为360°。已知该八边形每个外角相等，先求出一个外角的度数，再根据“内角与相邻外角互补（和为180°）”，即可算出对应的内角度数。
【解析】
1. 计算八边形的一个外角：因为任意多边形外角和为360°，且该八边形每个外角相等，所以每个外角的度数为 $ 360° ÷ 8 = 45° $。
2. 计算一个内角：由于内角与相邻外角的和为180°，因此一个内角的度数为 $ 180° - 45° = 135° $。
【答案】
135
【知识点】
多边形外角和、内角与外角的关系
【点评】
本题考查多边形外角和的基础应用，属于常规基础题，核心是掌握多边形外角和为360°以及内外角互补的性质，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算八边形的一个内角度数，需利用多边形外角和的性质：任意多边形的外角和恒为360°。已知该八边形每个外角相等，先求出一个外角的度数，再根据“内角与相邻外角互补（和为180°）”，即可算出对应的内角度数。
【解析】
1. 计算八边形的一个外角：因为任意多边形外角和为360°，且该八边形每个外角相等，所以每个外角的度数为 $ 360° ÷ 8 = 45° $。
2. 计算一个内角：由于内角与相邻外角的和为180°，因此一个内角的度数为 $ 180° - 45° = 135° $。
【答案】
135
【知识点】
多边形外角和、内角与外角的关系
【点评】
本题考查多边形外角和的基础应用，属于常规基础题，核心是掌握多边形外角和为360°以及内外角互补的性质，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BC,若AC=4,AB=5,则对角线BD的长为$\underline{\qquad\qquad}$。
答案
13.$2\sqrt{13}$
解析
【分析】
要计算平行四边形ABCD的对角线BD的长，需结合平行四边形对角线互相平分的性质，利用勾股定理逐步求解。首先，在直角三角形ABC中，已知AC和AB的长度，可先算出BC的长度；再根据平行四边形对角线互相平分得到OC的长度，最后在直角三角形BOC中算出BO的长度，进而得到BD=2BO。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线互相平分，即 $ OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $，$ BD = 2BO $。
又
∵ $ AC ⊥ BC $，
∴ $ △ ABC $ 是直角三角形，
在 $ Rt△ ABC $ 中，由勾股定理得：
$ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 $。
在 $ Rt△ BOC $ 中，$ OC=2 $，$ BC=3 $，由勾股定理得：
$ BO = \sqrt{BC^2 + OC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $。
∴ $ BD = 2BO = 2\sqrt{13} $。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合直角三角形的勾股定理分步计算，属于基础题型，注重对核心知识点的应用。
【难度系数】
0.6
要计算平行四边形ABCD的对角线BD的长，需结合平行四边形对角线互相平分的性质，利用勾股定理逐步求解。首先，在直角三角形ABC中，已知AC和AB的长度，可先算出BC的长度；再根据平行四边形对角线互相平分得到OC的长度，最后在直角三角形BOC中算出BO的长度，进而得到BD=2BO。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线互相平分，即 $ OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $，$ BD = 2BO $。
又
∵ $ AC ⊥ BC $，
∴ $ △ ABC $ 是直角三角形，
在 $ Rt△ ABC $ 中，由勾股定理得：
$ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 $。
在 $ Rt△ BOC $ 中，$ OC=2 $，$ BC=3 $，由勾股定理得：
$ BO = \sqrt{BC^2 + OC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $。
∴ $ BD = 2BO = 2\sqrt{13} $。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合直角三角形的勾股定理分步计算，属于基础题型，注重对核心知识点的应用。
【难度系数】
0.6
14.某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下：
则10次成绩的中位数为
则10次成绩的中位数为
8.5
环。答案
14.8.5
解析
【分析】要计算10次射击成绩的中位数，首先明确中位数的计算规则：当数据总个数为偶数时，中位数是将数据从小到大排列后，中间两个数的平均数；若为奇数，则是中间的那个数。本题共有10个数据（偶数），因此需要先根据表格统计的成绩和次数，确定排序后第5个和第6个数据的值，再计算它们的平均数即可。
【解析】1. 整理各成绩对应的位置：成绩6环出现1次，对应第1位；7环出现1次，对应第2位；8环出现3次，对应第3、4、5位；9环出现4次，对应第6、7、8、9位；10环出现1次，对应第10位。2. 10个数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数，其中第5个数据是8环，第6个数据是9环，因此中位数=(8+9)÷2=8.5。
【答案】8.5
【知识点】中位数、数据统计
【点评】本题考查中位数的计算，核心是掌握偶数个数据的中位数求法，需准确确定排序后中间两个数据的位置，属于基础统计题，难度不大。
【难度系数】0.7
【解析】1. 整理各成绩对应的位置：成绩6环出现1次，对应第1位；7环出现1次，对应第2位；8环出现3次，对应第3、4、5位；9环出现4次，对应第6、7、8、9位；10环出现1次，对应第10位。2. 10个数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数，其中第5个数据是8环，第6个数据是9环，因此中位数=(8+9)÷2=8.5。
【答案】8.5
【知识点】中位数、数据统计
【点评】本题考查中位数的计算，核心是掌握偶数个数据的中位数求法，需准确确定排序后中间两个数据的位置，属于基础统计题，难度不大。
【难度系数】0.7
15.(改编)如图,在正方形ABCD中,AB=6,点M在边CD上,且$AM=2\sqrt{10}$,$△ AEM$与$△ ADM$关于所在的直线AM对称,将$△ ADM$按顺时针方向绕点A旋转$90°$得到$△ ABF$,连结EF,则线段EF的长为________。
答案
15.$2\sqrt{13}$ 解析:如图,连结BM。因为△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,所以AE=AD,∠MAD=∠MAE。因为△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,所以AF=AM,AB=AD=AE,∠FAB=∠MAD。所以∠FAB=∠MAE,所以∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE,所以∠FAE=∠MAB。所以△FAE≌△MAB(SAS),所以EF=BM。因为四边形ABCD是正方形,所以BC=CD=AB=6。因为AM=2√10,所以DM=√(AM²-AD²)=√((2√10)²-6²)=2,所以CM=CD-DM=6-2=4。所以在Rt△BCM中,BM=√(BC²+CM²)=√(6²+4²)=2√13,所以EF=2√13
解析
【分析】
要解决本题，需利用轴对称和旋转的性质推导线段关系：首先，由△AEM与△ADM关于AM对称，可得AE=AD，∠MAE=∠MAD；再由△ADM旋转90°得到△ABF，可得AF=AM，∠FAB=∠MAD，且AB=AD，由此可推出∠FAE=∠MAB，进而证明△FAE≌△MAB，将EF转化为BM；最后通过勾股定理计算BM的长度，即可得到EF的长。
【解析】
1. 利用轴对称性质：
∵△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，
∴AE=AD，∠MAE=∠MAD。
2. 利用旋转性质：
∵△ADM顺时针旋转90°得到△ABF，
∴AF=AM，AB=AD，∠FAB=∠MAD。
3. 推导角相等：
∵∠FAB=∠MAD，∠MAE=∠MAD，
∴∠FAB=∠MAE，
∴∠FAB+∠BAE=∠MAE+∠BAE，即∠FAE=∠MAB。
4. 证明全等：在△FAE和△MAB中，$\{\begin{array}{l}AF=AM\\∠FAE=∠MAB\\AE=AB\end{array} $，
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF=BM。
5. 计算DM：在Rt△ADM中，AD=AB=6，AM=2√10，由勾股定理得$DM=\sqrt{AM^2 - AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 6^2}=\sqrt{40 - 36}=2$。
6. 计算CM：
∵CD=AB=6，
∴CM=CD - DM=6 - 2=4。
7. 计算BM：在Rt△BCM中，BC=6，CM=4，由勾股定理得$BM=\sqrt{BC^2 + CM^2}=\sqrt{6^2 + 4^2}=\sqrt{36 + 16}=2\sqrt{13}$，
∴EF=2√13。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形性质、轴对称与旋转的性质，通过全等三角形将待求线段EF转化为易计算的BM，结合勾股定理求解，需运用转化思想，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用轴对称和旋转的性质推导线段关系：首先，由△AEM与△ADM关于AM对称，可得AE=AD，∠MAE=∠MAD；再由△ADM旋转90°得到△ABF，可得AF=AM，∠FAB=∠MAD，且AB=AD，由此可推出∠FAE=∠MAB，进而证明△FAE≌△MAB，将EF转化为BM；最后通过勾股定理计算BM的长度，即可得到EF的长。
【解析】
1. 利用轴对称性质：
∵△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，
∴AE=AD，∠MAE=∠MAD。
2. 利用旋转性质：
∵△ADM顺时针旋转90°得到△ABF，
∴AF=AM，AB=AD，∠FAB=∠MAD。
3. 推导角相等：
∵∠FAB=∠MAD，∠MAE=∠MAD，
∴∠FAB=∠MAE，
∴∠FAB+∠BAE=∠MAE+∠BAE，即∠FAE=∠MAB。
4. 证明全等：在△FAE和△MAB中，$\{\begin{array}{l}AF=AM\\∠FAE=∠MAB\\AE=AB\end{array} $，
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF=BM。
5. 计算DM：在Rt△ADM中，AD=AB=6，AM=2√10，由勾股定理得$DM=\sqrt{AM^2 - AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 6^2}=\sqrt{40 - 36}=2$。
6. 计算CM：
∵CD=AB=6，
∴CM=CD - DM=6 - 2=4。
7. 计算BM：在Rt△BCM中，BC=6，CM=4，由勾股定理得$BM=\sqrt{BC^2 + CM^2}=\sqrt{6^2 + 4^2}=\sqrt{36 + 16}=2\sqrt{13}$，
∴EF=2√13。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形性质、轴对称与旋转的性质，通过全等三角形将待求线段EF转化为易计算的BM，结合勾股定理求解，需运用转化思想，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
16.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,连结AE,AF,DE。若菱形面积为$56\sqrt{10}$,$AB=14$,四边形AECF的面积是$△ ABE$面积的3.5倍,则线段DE的长为________。
答案
16.$4\sqrt{26}$ 解析:如图,过点D作DH⊥BC于点H,由菱形面积为56√10,得14DH=56√10,得DH=4√10。连结AC,由BE=CF得S△ABE=S△ACF,于是S四边形AECF=S△ABC=1/2 S菱形ABCD=28√10。因为四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍,所以S△ABE=28√10÷3.5=8√10,S△ABE=4√10 BE / 2 =8√10,得BE=4,EC=BC-BE=10,在△CDH中,由勾股定理得CH=√(CD²-DH²)=√(14²-(4√10)²)=6,于是EH=EC+CH=10+6=16。在△DEH中,由勾股定理得DE=√(EH²+DH²)=√(16²+(4√10)²)=4√26,故答案为:4√26
解析
【分析】
本题为菱形相关的几何计算，核心思路：①利用菱形面积公式求出BC边上的高DH；②由BE=CF的条件，推导出四边形AECF的面积等于菱形面积的一半，结合其与△ABE的面积关系算出BE的长度；③构造直角三角形DEH，求出EH的长度后，用勾股定理计算DE，需熟练运用菱形性质、三角形面积公式与勾股定理。
【解析】
解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=14，菱形面积=BC·DH。
已知菱形面积为$56\sqrt{10}$，则$14·DH=56\sqrt{10}$，解得$DH=4\sqrt{10}$。
∵BE=CF，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ACF}$，因此四边形AECF的面积$=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×56\sqrt{10}=28\sqrt{10}$。
由题意，四边形AECF的面积是$△ ABE$面积的3.5倍，故$S_{△ ABE}=28\sqrt{10}÷3.5=8\sqrt{10}$。
又
∵$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}·BE·DH$，代入得：$\frac{1}{2}·BE·4\sqrt{10}=8\sqrt{10}$，解得$BE=4$。
∴$EC=BC - BE=14 - 4=10$。
在$Rt△ CDH$中，由勾股定理得：$CH=\sqrt{CD^2 - DH^2}=\sqrt{14^2 - (4\sqrt{10})^2}=\sqrt{196 - 160}=6$。
∴$EH=EC + CH=10 + 6=16$。
在$Rt△ DEH$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{EH^2 + DH^2}=\sqrt{16^2 + (4\sqrt{10})^2}=\sqrt{256 + 160}=4\sqrt{26}$。
【答案】
$4\sqrt{26}$
【知识点】
菱形的性质、三角形面积、勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形性质与勾股定理的应用，关键是利用BE=CF推导四边形AECF的面积与菱形面积的关系，辅助线（过D作DH⊥BC）的构造是解题突破口，需逐步推导各线段长度，逻辑要求清晰。
【难度系数】
0.4
本题为菱形相关的几何计算，核心思路：①利用菱形面积公式求出BC边上的高DH；②由BE=CF的条件，推导出四边形AECF的面积等于菱形面积的一半，结合其与△ABE的面积关系算出BE的长度；③构造直角三角形DEH，求出EH的长度后，用勾股定理计算DE，需熟练运用菱形性质、三角形面积公式与勾股定理。
【解析】
解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=14，菱形面积=BC·DH。
已知菱形面积为$56\sqrt{10}$，则$14·DH=56\sqrt{10}$，解得$DH=4\sqrt{10}$。
∵BE=CF，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ACF}$，因此四边形AECF的面积$=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×56\sqrt{10}=28\sqrt{10}$。
由题意，四边形AECF的面积是$△ ABE$面积的3.5倍，故$S_{△ ABE}=28\sqrt{10}÷3.5=8\sqrt{10}$。
又
∵$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}·BE·DH$，代入得：$\frac{1}{2}·BE·4\sqrt{10}=8\sqrt{10}$，解得$BE=4$。
∴$EC=BC - BE=14 - 4=10$。
在$Rt△ CDH$中，由勾股定理得：$CH=\sqrt{CD^2 - DH^2}=\sqrt{14^2 - (4\sqrt{10})^2}=\sqrt{196 - 160}=6$。
∴$EH=EC + CH=10 + 6=16$。
在$Rt△ DEH$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{EH^2 + DH^2}=\sqrt{16^2 + (4\sqrt{10})^2}=\sqrt{256 + 160}=4\sqrt{26}$。
【答案】
$4\sqrt{26}$
【知识点】
菱形的性质、三角形面积、勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形性质与勾股定理的应用，关键是利用BE=CF推导四边形AECF的面积与菱形面积的关系，辅助线（过D作DH⊥BC）的构造是解题突破口，需逐步推导各线段长度，逻辑要求清晰。
【难度系数】
0.4
