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30. 如图,把三角形 ABC 的一边延长得到∠4。(5 分)
(1)∠3 和∠4 拼成的角是什么角？（）。
(2)你能说明$∠1+∠2=∠4$吗？
(1)∠3 和∠4 拼成的角是什么角？（）。
(2)你能说明$∠1+∠2=∠4$吗？
答案
30. (1)平角 (2)三角形内角和是$180°$,所以$∠1+∠2+∠3=180°$。$∠3$和$∠4$组成平角,所以$∠3+∠4=180°$,则$∠1+∠2=∠4$。
解析
【分析】
第(1)问观察图形，∠3和∠4在同一条直线上，它们组成的角是一条直线形成的角，属于平角；第(2)问利用三角形内角和为180°，以及平角的度数为180°，通过等量代换即可推导∠1+∠2=∠4。
【解析】
(1) 因为∠3和∠4在同一直线上，二者组成的角为180°，所以这个角是平角；
(2) 在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠1+∠2+∠3=180°；又因为∠3和∠4组成平角，所以∠3+∠4=180°；由此可得∠1+∠2+∠3=∠3+∠4，两边同时减去∠3，即可得到∠1+∠2=∠4。
【答案】
(1)平角；(2) 因为三角形内角和为180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，又∠3与∠4组成平角，故∠3+∠4=180°，因此∠1+∠2=∠4。
【知识点】三角形内角和、平角的定义
【点评】本题结合三角形内角和与平角的性质进行推导，是几何基础题型，需掌握相关定理完成证明。
【难度系数】0.3
第(1)问观察图形，∠3和∠4在同一条直线上，它们组成的角是一条直线形成的角，属于平角；第(2)问利用三角形内角和为180°，以及平角的度数为180°，通过等量代换即可推导∠1+∠2=∠4。
【解析】
(1) 因为∠3和∠4在同一直线上，二者组成的角为180°，所以这个角是平角；
(2) 在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠1+∠2+∠3=180°；又因为∠3和∠4组成平角，所以∠3+∠4=180°；由此可得∠1+∠2+∠3=∠3+∠4，两边同时减去∠3，即可得到∠1+∠2=∠4。
【答案】
(1)平角；(2) 因为三角形内角和为180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，又∠3与∠4组成平角，故∠3+∠4=180°，因此∠1+∠2=∠4。
【知识点】三角形内角和、平角的定义
【点评】本题结合三角形内角和与平角的性质进行推导，是几何基础题型，需掌握相关定理完成证明。
【难度系数】0.3
31.“沙漏”是一种计时工具，元代(13—14世纪)经阿拉伯商人传入我国，也称“沙钟”。李老师在景区文创店发现一款沙漏文创(如图所示)。此时沙漏下部沙子的体积是$185.26\mathrm{cm}^3$，如果再过1.5分钟，沙漏上部分的沙子就可以全部漏到下部分，那么此时已经计量了多少分钟？(沙漏上部的沙子匀速落入下部)
(5分)
(5分)
答案
31. 沙漏上部的沙子体积是$3.14×(2÷2)^2×3×\frac{1}{3}=3.14(\mathrm{cm}^3)$,全部的沙子有$3.14+185.26=188.4(\mathrm{cm}^3)$,$1.5÷\frac{3.14}{188.4}-1.5=88.5$(分)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先计算沙漏上部当前沙子的体积（为小圆锥），再求出沙子总体积；由于沙子匀速下落，1.5分钟漏完上部沙子，先算出总沙子全部漏完的时间，再减去剩余的1.5分钟，即可得到已经计量的时间。
【解析】
1. 计算上部沙子体积：上部沙子是底面直径2cm、高3cm的小圆锥，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入数据得：
$V_{上}=\frac{1}{3}×3.14×(2÷2)^2×3=3.14(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算沙子总体积：总体积=上部沙子体积+下部沙子体积，即：
$V_{总}=3.14 + 185.26=188.4(\mathrm{cm}^3)$
3. 计算总漏完时间：1.5分钟漏完3.14$\mathrm{cm}^3$，总时间为：
$1.5÷\frac{3.14}{188.4}=90$（分钟）
4. 计算已计量时间：总时间减去剩余1.5分钟，即：
$90 -1.5=88.5$（分钟）
【答案】
88.5分钟
【知识点】
圆锥体积计算、比例应用
【点评】
本题结合沙漏计时的实际场景，考查圆锥体积公式和匀速运动下的体积与时间的比例关系，需理清体积关系逐步推导，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先计算沙漏上部当前沙子的体积（为小圆锥），再求出沙子总体积；由于沙子匀速下落，1.5分钟漏完上部沙子，先算出总沙子全部漏完的时间，再减去剩余的1.5分钟，即可得到已经计量的时间。
【解析】
1. 计算上部沙子体积：上部沙子是底面直径2cm、高3cm的小圆锥，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入数据得：
$V_{上}=\frac{1}{3}×3.14×(2÷2)^2×3=3.14(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算沙子总体积：总体积=上部沙子体积+下部沙子体积，即：
$V_{总}=3.14 + 185.26=188.4(\mathrm{cm}^3)$
3. 计算总漏完时间：1.5分钟漏完3.14$\mathrm{cm}^3$，总时间为：
$1.5÷\frac{3.14}{188.4}=90$（分钟）
4. 计算已计量时间：总时间减去剩余1.5分钟，即：
$90 -1.5=88.5$（分钟）
【答案】
88.5分钟
【知识点】
圆锥体积计算、比例应用
【点评】
本题结合沙漏计时的实际场景，考查圆锥体积公式和匀速运动下的体积与时间的比例关系，需理清体积关系逐步推导，难度适中。
【难度系数】
0.5
32. 如图,像这样的立体图形称为三棱锥,它的四个面都是三角形。
(1)请你猜想关于这种立体图形的体积计算公式。
(2)你这样猜想的依据是什么?
(3)设计一个求证你这样猜想的数学实验操作方案。请你把关于以上的这些想法都写下来(可以画图)。
(1)请你猜想关于这种立体图形的体积计算公式。
(2)你这样猜想的依据是什么?
(3)设计一个求证你这样猜想的数学实验操作方案。请你把关于以上的这些想法都写下来(可以画图)。
答案
32. (1)$V=\frac{1}{3}×底面积×高$ (2)联系圆锥,三棱锥和圆锥形似。(3)①准备一个三棱柱形容器和一个三棱锥形容器,三棱锥和三棱柱的“底面积”和“高”完全相同(底面三角形完全重合,顶点到底面的垂直距离相等)。②将三棱锥形容器装满水,缓慢倒入空的三棱柱形容器中。③重复以上操作两次,倒三次水后,水是否恰好装满三棱柱容器,并对比两者的体积之间的关系。
解析
【分析】
本题是关于三棱锥体积的探究问题，解题思路如下：①第一问猜想体积公式，可通过类比已学的圆锥体积公式，结合三棱锥与圆锥的结构相似性进行猜想；②第二问的依据，需从两者的结构特征入手，圆锥和三棱锥都属于锥体，结构相似，因此可类比圆锥的体积公式；③第三问设计实验方案，核心是利用等底等高的三棱柱和三棱锥容器，通过装水倒水的操作，直观验证两者的体积关系，从而推导三棱锥的体积公式。
【解析】
(1) 类比圆锥体积公式（$V_{圆锥}=\frac{1}{3}×底面积×高$），结合三棱锥的结构特征，猜想三棱锥的体积公式为：$V=\frac{1}{3}×底面积×高$。
(2) 猜想依据：圆锥和三棱锥都属于锥体，结构相似，均由1个底面和1个顶点组成，因此可类比圆锥的体积公式来猜想三棱锥的体积公式。
(3) 实验操作方案：①准备两个容器，一个是三棱柱形容器，另一个是三棱锥形容器，确保两者的底面积相等（底面三角形完全重合）、高相等（顶点到底面的垂直距离相等）；②将三棱锥形容器装满水，缓慢倒入空的三棱柱形容器中；③重复步骤②的操作两次，观察倒三次水后，三棱柱形容器是否恰好被装满，由此验证两者的体积关系。
【答案】
(1) $V=\frac{1}{3}×底面积×高$；
(2) 联系圆锥，三棱锥和圆锥形似；
(3) ①准备一个三棱柱形容器和一个三棱锥形容器，三棱锥和三棱柱的“底面积”和“高”完全相同（底面三角形完全重合，顶点到底面的垂直距离相等）；②将三棱锥形容器装满水，缓慢倒入空的三棱柱形容器中；③重复以上操作两次，倒三次水后，水是否恰好装满三棱柱容器，并对比两者的体积之间的关系。
【知识点】
三棱锥体积公式、类比推理、体积实验验证
【点评】
本题通过探究三棱锥体积公式，考查学生的类比推理能力和实验设计能力，引导学生利用已学知识迁移探究新问题，属于基础的探究类题目，有助于培养学生的逻辑思维和动手实践能力。
【难度系数】
0.5
本题是关于三棱锥体积的探究问题，解题思路如下：①第一问猜想体积公式，可通过类比已学的圆锥体积公式，结合三棱锥与圆锥的结构相似性进行猜想；②第二问的依据，需从两者的结构特征入手，圆锥和三棱锥都属于锥体，结构相似，因此可类比圆锥的体积公式；③第三问设计实验方案，核心是利用等底等高的三棱柱和三棱锥容器，通过装水倒水的操作，直观验证两者的体积关系，从而推导三棱锥的体积公式。
【解析】
(1) 类比圆锥体积公式（$V_{圆锥}=\frac{1}{3}×底面积×高$），结合三棱锥的结构特征，猜想三棱锥的体积公式为：$V=\frac{1}{3}×底面积×高$。
(2) 猜想依据：圆锥和三棱锥都属于锥体，结构相似，均由1个底面和1个顶点组成，因此可类比圆锥的体积公式来猜想三棱锥的体积公式。
(3) 实验操作方案：①准备两个容器，一个是三棱柱形容器，另一个是三棱锥形容器，确保两者的底面积相等（底面三角形完全重合）、高相等（顶点到底面的垂直距离相等）；②将三棱锥形容器装满水，缓慢倒入空的三棱柱形容器中；③重复步骤②的操作两次，观察倒三次水后，三棱柱形容器是否恰好被装满，由此验证两者的体积关系。
【答案】
(1) $V=\frac{1}{3}×底面积×高$；
(2) 联系圆锥，三棱锥和圆锥形似；
(3) ①准备一个三棱柱形容器和一个三棱锥形容器，三棱锥和三棱柱的“底面积”和“高”完全相同（底面三角形完全重合，顶点到底面的垂直距离相等）；②将三棱锥形容器装满水，缓慢倒入空的三棱柱形容器中；③重复以上操作两次，倒三次水后，水是否恰好装满三棱柱容器，并对比两者的体积之间的关系。
【知识点】
三棱锥体积公式、类比推理、体积实验验证
【点评】
本题通过探究三棱锥体积公式，考查学生的类比推理能力和实验设计能力，引导学生利用已学知识迁移探究新问题，属于基础的探究类题目，有助于培养学生的逻辑思维和动手实践能力。
【难度系数】
0.5
