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36. 把一根长 20 dm 的长方体木材平均截成四段(每段仍是长方体)，表面积比原来增加 96 dm²，每段木材的体积是多少立方分米？
答案
截成4段，增加横截面的个数:(4-1)×2=6(个)
木材横截面积$:96÷6=16(\mathrm{dm}^2)$
每段长度$:20÷4=5(\mathrm{dm})$
每段体积$:16×5=80(\mathrm{dm}^3)$
答:每段木材的体积是$80\ \mathrm{dm}^3$。
木材横截面积$:96÷6=16(\mathrm{dm}^2)$
每段长度$:20÷4=5(\mathrm{dm})$
每段体积$:16×5=80(\mathrm{dm}^3)$
答:每段木材的体积是$80\ \mathrm{dm}^3$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确长方体切割后表面积的变化规律：把长方体截成4段时，切割次数为(4-1)次，每切割1次增加2个横截面，因此先算出增加的横截面总数量；再用增加的表面积除以横截面数量得到单个横截面积；接着算出每段木材的长度；最后根据长方体体积公式（体积=横截面积×长度）计算每段体积。
【解析】
1. 计算截成4段后增加的横截面数量：(4-1)×2=6（个）
2. 计算木材的横截面积：96÷6=16（dm²）
3. 计算每段木材的长度：20÷4=5（dm）
4. 计算每段木材的体积：16×5=80（dm³）
【答案】
每段木材的体积是80 dm³。
【知识点】
长方体体积计算、长方体切割表面积变化
【点评】
本题考查长方体切割时的表面积变化规律及体积公式的应用，核心是理解“截成n段增加2(n-1)个横截面”的规律，结合体积公式即可求解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确长方体切割后表面积的变化规律：把长方体截成4段时，切割次数为(4-1)次，每切割1次增加2个横截面，因此先算出增加的横截面总数量；再用增加的表面积除以横截面数量得到单个横截面积；接着算出每段木材的长度；最后根据长方体体积公式（体积=横截面积×长度）计算每段体积。
【解析】
1. 计算截成4段后增加的横截面数量：(4-1)×2=6（个）
2. 计算木材的横截面积：96÷6=16（dm²）
3. 计算每段木材的长度：20÷4=5（dm）
4. 计算每段木材的体积：16×5=80（dm³）
【答案】
每段木材的体积是80 dm³。
【知识点】
长方体体积计算、长方体切割表面积变化
【点评】
本题考查长方体切割时的表面积变化规律及体积公式的应用，核心是理解“截成n段增加2(n-1)个横截面”的规律，结合体积公式即可求解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
37.铜锡合金即青铜。春秋战国时期铸造青铜器的技术进一步发展，由于经验的积累，铸造各种青铜器时铜与锡的配合已有一个比例。《周礼·考工记》说:金之六齐。所谓“金之六齐”，就是区分青铜品种的六种配方之分量，以制造各种用器。青铜中锡的成分占16％～20％最为坚韧，青铜中锡的成分占25％～40％，硬度最高，但颜色呈现灰白色。
| 青铜种类 | 钟鼎之齐 | 斧斤之齐 | 戈戟之齐 | 大刃之齐 | 削杀矢之齐 | 鉴燧之齐 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | ----------- | -------- |
| 铜锡比 | $6:1$ | $5:1$ |
| $3:1$ | $5:2$ | $1:1$ |
(1)以上青铜种类中比较坚韧的有(
(2)已知铜锡之比为$31:9$的青铜更适合做矛，如果将1 kg“戈戟之齐”青铜和1 kg“大刃之齐”青铜熔铸一起，这种青铜适合做矛吗？请说明理由。（2分）
| 青铜种类 | 钟鼎之齐 | 斧斤之齐 | 戈戟之齐 | 大刃之齐 | 削杀矢之齐 | 鉴燧之齐 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | ----------- | -------- |
| 铜锡比 | $6:1$ | $5:1$ |
| $3:1$ | $5:2$ | $1:1$ |(1)以上青铜种类中比较坚韧的有(
斧斤之齐、戈戟之齐
）。硬度比较高的有(大刃之齐、削杀矢之齐
）。（2分）(2)已知铜锡之比为$31:9$的青铜更适合做矛，如果将1 kg“戈戟之齐”青铜和1 kg“大刃之齐”青铜熔铸一起，这种青铜适合做矛吗？请说明理由。（2分）
答案
斧斤之齐、
戈戟之齐
大刃之齐、
削杀矢之齐
①戈戟之齐(4:1):锡占比=1÷(4+1)=20\%，$1\ \mathrm{kg}$中锡的质量$=1×20\%=0.2(\mathrm{kg})$
②大刃之齐(3:1):锡占比=1÷(3+1)=25\%，$1\ \mathrm{kg}$中锡的质量$=1×25\%=0.25(\mathrm{kg})$
③熔铸后总锡量$=0.2+0.25=0.45(\mathrm{kg})$，总青铜质量$=1+1=2(\mathrm{kg})$
④熔铸后铜锡比=(2-0.45):0.45=1.55:0.45=31:9
答:这种青铜适合做矛，因为熔铸后的铜锡比恰好为31:9，符合做矛的要求。
戈戟之齐
大刃之齐、
削杀矢之齐
①戈戟之齐(4:1):锡占比=1÷(4+1)=20\%，$1\ \mathrm{kg}$中锡的质量$=1×20\%=0.2(\mathrm{kg})$
②大刃之齐(3:1):锡占比=1÷(3+1)=25\%，$1\ \mathrm{kg}$中锡的质量$=1×25\%=0.25(\mathrm{kg})$
③熔铸后总锡量$=0.2+0.25=0.45(\mathrm{kg})$，总青铜质量$=1+1=2(\mathrm{kg})$
④熔铸后铜锡比=(2-0.45):0.45=1.55:0.45=31:9
答:这种青铜适合做矛，因为熔铸后的铜锡比恰好为31:9，符合做矛的要求。
解析
【分析】
解题时，第(1)问需先根据各青铜的铜锡比计算锡的占比，再结合题目给出的“锡占16％～20％最坚韧、锡占25％～40％硬度最高”的条件筛选对应种类；第(2)问需分别算出两种青铜中锡的质量，再求出混合后的总锡量、总青铜质量，进而得到混合后的铜锡比，与适合做矛的比例对比判断。
【解析】
(1) 计算各青铜中锡的占比：
钟鼎之齐：锡占比 = $\frac{1}{6+1} \approx 14.29\%$
斧斤之齐：锡占比 = $\frac{1}{5+1} \approx 16.67\%$
戈戟之齐：锡占比 = $\frac{1}{4+1} = 20\%$
大刃之齐：锡占比 = $\frac{1}{3+1} = 25\%$
削杀矢之齐：锡占比 = $\frac{2}{5+2} \approx 28.57\%$
鉴燧之齐：锡占比 = $\frac{1}{1+1} = 50\%$
根据题意，锡占16％～20％最坚韧，符合的是斧斤之齐、戈戟之齐；锡占25％～40％硬度最高，符合的是大刃之齐、削杀矢之齐。
(2) 计算混合后的铜锡比：
① 戈戟之齐（铜锡比4:1）：1kg该青铜中锡的质量 = $1 × \frac{1}{4+1} = 0.2\ \mathrm{kg}$
② 大刃之齐（铜锡比3:1）：1kg该青铜中锡的质量 = $1 × \frac{1}{3+1} = 0.25\ \mathrm{kg}$
③ 混合后总锡量 = $0.2 + 0.25 = 0.45\ \mathrm{kg}$，总青铜质量 = $1 + 1 = 2\ \mathrm{kg}$
④ 混合后铜的质量 = $2 - 0.45 = 1.55\ \mathrm{kg}$，铜锡比 = $1.55:0.45 = 31:9$，恰好等于适合做矛的铜锡比，因此适合做矛。
【答案】
(1) 斧斤之齐、戈戟之齐；大刃之齐、削杀矢之齐
(2) 这种青铜适合做矛，因为熔铸后的铜锡比为31:9，符合做矛的要求。
【知识点】
比和比例应用、百分数计算
【点评】
本题结合古代青铜配方的实际情境，考查比例的计算与应用，需准确理解题目中青铜性能和锡占比的关系，逐步分析计算，难度适中。
【难度系数】
0.5
解题时，第(1)问需先根据各青铜的铜锡比计算锡的占比，再结合题目给出的“锡占16％～20％最坚韧、锡占25％～40％硬度最高”的条件筛选对应种类；第(2)问需分别算出两种青铜中锡的质量，再求出混合后的总锡量、总青铜质量，进而得到混合后的铜锡比，与适合做矛的比例对比判断。
【解析】
(1) 计算各青铜中锡的占比：
钟鼎之齐：锡占比 = $\frac{1}{6+1} \approx 14.29\%$
斧斤之齐：锡占比 = $\frac{1}{5+1} \approx 16.67\%$
戈戟之齐：锡占比 = $\frac{1}{4+1} = 20\%$
大刃之齐：锡占比 = $\frac{1}{3+1} = 25\%$
削杀矢之齐：锡占比 = $\frac{2}{5+2} \approx 28.57\%$
鉴燧之齐：锡占比 = $\frac{1}{1+1} = 50\%$
根据题意，锡占16％～20％最坚韧，符合的是斧斤之齐、戈戟之齐；锡占25％～40％硬度最高，符合的是大刃之齐、削杀矢之齐。
(2) 计算混合后的铜锡比：
① 戈戟之齐（铜锡比4:1）：1kg该青铜中锡的质量 = $1 × \frac{1}{4+1} = 0.2\ \mathrm{kg}$
② 大刃之齐（铜锡比3:1）：1kg该青铜中锡的质量 = $1 × \frac{1}{3+1} = 0.25\ \mathrm{kg}$
③ 混合后总锡量 = $0.2 + 0.25 = 0.45\ \mathrm{kg}$，总青铜质量 = $1 + 1 = 2\ \mathrm{kg}$
④ 混合后铜的质量 = $2 - 0.45 = 1.55\ \mathrm{kg}$，铜锡比 = $1.55:0.45 = 31:9$，恰好等于适合做矛的铜锡比，因此适合做矛。
【答案】
(1) 斧斤之齐、戈戟之齐；大刃之齐、削杀矢之齐
(2) 这种青铜适合做矛，因为熔铸后的铜锡比为31:9，符合做矛的要求。
【知识点】
比和比例应用、百分数计算
【点评】
本题结合古代青铜配方的实际情境，考查比例的计算与应用，需准确理解题目中青铜性能和锡占比的关系，逐步分析计算，难度适中。
【难度系数】
0.5
