7. 亮点原创·如图，直线$m ⊥ n$，在某平面直角坐标系中，$m // y$轴，$n // x$轴，点A的坐标为$(-2,-1)$，点B的坐标为$(2,4)$，则在$O_1$，$O_2$，$O_3$，$O_4$四点中，坐标原点可能为 （）

A.点$O_1$
B.点$O_2$
C.点$O_3$
D.点$O_4$

7.B 解析:分别过$O_1,O_2,O_3,O_4$四点作直线m,n的平行线(图略).因为A(-2,-1),B(2,4),所以点$O_2$最符合要求,即坐标原点可能为点$O_2$.

8. 甲、乙、丙三人在同一平面内，分别以自己所处的位置为坐标原点，建立了三个不同的平面直角坐标系，且他们所建的平面直角坐标系中$x$轴、$y$轴的正方向相同，单位长度相同.甲说：“以我为坐标原点，乙的坐标是$(-2,3)$.”乙说：“以我为坐标原点，丙的坐标是$(3,-2)$.”如果以丙为坐标原点，那么甲的坐标是.

8.(-1,-1) 解析:由题意,得当以乙为坐标原点时,甲和丙的坐标分别为(2,-3),(3,-2),所以甲和丙的水平距离为1,竖直距离为1,且甲在丙的左下方.故当以丙为坐标原点时,甲的坐标是(-1,-1).

9. 如图,将一等边三角形的三条边各八等分,按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0,1,2,3,4,5,6,7,8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系中,每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(从水平方向开始,按顺时针方向),如:点A的坐标可表示为(1,2,5),点B的坐标可表示为(4,1,3),按此方法,则点C的坐标可表示为.

9.(2,4,2) 解析:因为过点C且平行于原三角形三条边的直线与三边交点的序号分别是2,4,2,所以点C的坐标为(2,4,2).

10. 如图是$8×8$的正方形网格(小正方形的边长都为1,小正方形的顶点叫格点),请在所给网格中按下列要求操作:
(1) 请在网格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为$(-2,4)$,点B的坐标为$(-4,2)$;
(2) 按(1)中的平面直角坐标系在第二象限内的格点上找点C(点C的横坐标大于-3),使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形,求点C的坐标与$△ ABC$的面积.

(1) 如图所示：
(2) 由题意,得点C的坐标为(-2,2)或(-1,1).当点C的坐标为(-2,2)时,$△ ABC$为等腰直角三角形,且腰长为2,此时$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$；当点C的坐标为(-1,1)时,$△ ABC$的面积为$3×3-\frac{1}{2}×2×2-2×\frac{1}{2}×1×3=4$.
易错警示：解决这类问题的关键是分类讨论.讨论不全是造成错误的原因.

11. 新素养 应用意识 在平原上有一条笔直的公路，在公路同侧有A，B两个村庄. 如图，以公路所在直线为x轴建立平面直角坐标系，且1个单位长度代表1 km. 已知A，B两个村庄的坐标分别为(2,2)，(7,4)，一辆汽车(看成点P)在公路(x轴)上行驶.
（1）汽车行驶过程中到A，B两村距离之和最小为多少？
（2）汽车行驶过程中到A，B两村距离之差最大为多少？

(1) 如图①,作点A关于x轴的对称点A'(2,-2),连接A'B交x轴于点P,则A'B的长即为汽车到A,B两村距离之和的最小值.因为B(7,4),所以$A'B=\sqrt{(7-2)^2+(4+2)^2}=\sqrt{61}(\mathrm{km})$.所以汽车到A,B两村距离之和最小为$\sqrt{61}\ \mathrm{km}$.
(2) 如图②,当P为BA的延长线与x轴的交点时,汽车到A,B两村距离之差最大,最大值为AB的长.因为A(2,2),B(7,4),所以$AB=\sqrt{(7-2)^2+(4-2)^2}=\sqrt{29}(\mathrm{km})$.所以汽车到A,B两村距离之差最大为$\sqrt{29}\ \mathrm{km}$。