9. 新素养 推理能力 已知$A(a,-1),B(2,b)$为同一个正比例函数图象上的两点，且$A,B$两点在不同象限，则（）

A.$a＜0,b＜0$
B.$a＞0,b＞0$
C.$a＞0,b＜0$
D.$a＜0,b＞0$

9. D 解析:由题意,得点 $A$ 在第三象限或第四象限,点$B$ 在第一象限或第四象限. 因为 $A,B$ 两点在同一个正比例函数的图象上,且在不同象限,所以点 $A$ 在第三象限,点 $B$ 在第一象限. 所以 $a＜0,b＞0$.

10. 已知正比例函数$y=kx(k＜0)$，当$1≤x≤3$时，$y$的最大值和最小值之差为4，则$k=$

10. $-2$ 解析:因为 $y=kx,k＜0$,所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小. 因为当 $x=1$ 时,$y=k$; 当 $x=3$ 时,$y=3k$,且当 $1≤ x≤ 3$ 时,函数 $y$ 的最大值和最小值之差为 4,所以 $k-3k=4$,解得 $k=-2$. 则 $k=-2$.

11. 已知$y=(k-1)x^{|k|}$是正比例函数，且$A(-2,y_{1}),B(1,y_{2})$两点都在该函数图象上，则$y_{1}\_\_\_\_\_\_y_{2}$.(填“＞”“＜”或“=”)

11. ＞ 解析:由题意,得 $|k|=1$,且 $k-1≠0$,所以$k=-1$,即 $y=-2x$. 因为 $-2＜0$,所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小. 又 $A(-2,y_1),B(1,y_2)$ 两点都在该函数图象上,且$-2＜1$,所以 $y_1＞y_2$.

12. 已知无论$a$取什么实数，点$P(a+1,2a+2)$都在直线$l$上.若$Q(m,n)$是直线$l$上的点，则$(2m-n-1)^2$的值是.

12. 1 解析:因为无论 $a$ 取什么实数,点 $P(a+1,2a+2)$都在直线 $l$ 上,且 $2(a+1)=2a+2$,所以直线 $l$ 的函数表达式为 $y=2x$. 又 $Q(m,n)$ 是直线 $l$ 上的点,所以 $n=2m$. 所以 $(2m-n-1)^2=(2m-2m-1)^2=1$.

13. 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数$y=kx$的图象经过点$A$,且点$A$在第四象限,过点$A$作$AH⊥x$轴于点$H$,点$A$的横坐标为3,$△ AOH$的面积为3.
（1）求该正比例函数的表达式；
（2）在$x$轴上是否存在一点$P$,使$△ AOP$的面积为5？若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.

13. (1) 由题意,得 $OH=3$. 因为 $S_{△ AOH}=3,AH⊥ OH$,所以 $S_{△ AOH}=\frac{1}{2}OH· AH$,即 $AH=\frac{2S_{△ AOH}}{OH}=2$. 又点 $A$ 在第四象限,所以点 $A$ 的坐标为$(3,-2)$. 将点$A(3,-2)$的坐标代入 $y=kx$ 中,得 $3k=-2$,解得$k=-\frac{2}{3}$. 所以该正比例函数的表达式为 $y=-\frac{2}{3}x$.
(2) 存在. 由(1),得 $AH=2$. 设点 $P$ 的坐标为 $(a,0)$,则 $OP=|a|$. 又 $S_{△ AOP}=5,S_{△ AOP}=\frac{1}{2}AH· OP$,所以 $\frac{1}{2}× 2· |a|=5$,解得 $a=\pm5$. 所以点 $P$ 的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$.

14. (2026·江苏连云港期末)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1 ⊥ x$轴于点$(1,0)$,直线$l_2 ⊥ x$轴于点$(2,0)$,直线$l_3 ⊥ x$轴于点$(3,0)$,$···$,直线$l_n ⊥ x$轴于点$(n,0)$($n$为正整数).正比例函数$y=x$的图象与直线$l_1,l_2,l_3,···,l_n$分别交于点$A_1,A_2,A_3,···,A_n$;正比例函数$y=3x$的图象与直线$l_1,l_2,l_3,···,l_n$分别交于点$B_1,B_2,B_3,···,B_n$.若把$△ OA_1B_1$的面积记作$S_1$,四边形$A_1A_2B_2B_1$的面积记作$S_2$,四边形$A_2A_3B_3B_2$的面积记作$S_3$,$···$,四边形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的面积记作$S_n$,则$S_{2026}=$.

14. 4 051 解析:由题意,得 $A_{n-1}B_{n-1}=3(n-1)-(n-1)=2n-2$,$A_nB_n=3n-n=2n$. 因为直线 $l_{n-1}⊥ x$ 轴于点 $(n-1,0)$,直线 $l_n⊥ x$ 轴于点 $(n,0)$,所以 $A_{n-1}B_{n-1}// A_nB_n$,且 $l_{n-1}$ 与 $l_n$ 之间的距离为1. 所以四边形 $A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$ 是梯形. 所以 $S_n=\frac{1}{2}(A_{n-1}B_{n-1}+A_nB_n)× 1=2n-1$. 当 $n=2\ 026$ 时,$S_{2\ 026}=2× 2\ 026-1=4\ 051$.

15. 如图,在平面直角坐标系中有一点$A(2,0)$,在直线$y=x$上取点$P$,使$△ OPA$是等腰三角形,求所有满足条件的点$P$的坐标.

15. 因为 $A(2,0)$,所以 $OA=2$. 又点 $P$ 在直线 $y=x$ 上,且$△ OPA$ 是等腰三角形,所以 $OP=OA$ 或 $PA=OA$ 或 $OP=PA$. 分类讨论如下:① 当 $OP=OA=2$ 时,过点 $P$ 作 $PB⊥ x$ 轴于点 $B$. 设点 $P$ 的坐标为$(a,a)$,则 $OB=|a|$,$PB=|a|$. 又 $OB^2+PB^2=OP^2$,所以 $2|a|^2=4$,解得 $a=\pm\sqrt{2}$,所以点 $P$ 的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$或$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$;② 当 $PA=OA$ 时,易得点 $P$ 的坐标为$(2,2)$;③ 当 $OP=PA$ 时,过点 $P$ 作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$,则 $OD=\frac{1}{2}OA=1$. 对于 $y=x$,令 $x=1$,得 $y=1$,所以点 $P$ 的坐标为$(1,1)$. 综上,点 $P$ 的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$或$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$或$(2,2)$或$(1,1)$.