1[2026河南新乡期末]【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:数轴上点A,点B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离$AB=|a-b|$,若$a＞b$,则可简化为$AB=a-b$.
【问题情境】如图,已知数轴上有A,B两点,表示的数分别为-10,8,点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动,点B以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为$t$秒($t＞0$).
【综合运用】(1)运动开始前,A,B两点的距离为.
(2)点A运动$t$秒后所在位置的点表示的数为,点B运动$t$秒后所在位置的点表示的数为;(用含$t$的代数式表示)
(3)按上述方式运动,A,B两点经过多少秒会相遇,相遇点所表示的数是什么?

1.【解】(1)运动开始前,A,B两点的距离为 8-(-10)=18. 故答案为 18.
(2)点 A 运动 t 秒后所在位置的点表示的数为-10+3t;
点 B 运动 t 秒后所在位置的点表示的数为 8-2t. 故答案为-10+3t,8-2t.
(3)根据题意得-10+3t = 8-2t,解得 $t=\frac{18}{5}$,
则$-10+3t=\frac{4}{5}$.
答:A,B 两点经过$\frac{18}{5}$秒会相遇,相遇点所表示的数是$\frac{4}{5}$.

2[较难]在数轴上,点A在原点O的左侧,点B在原点O的右侧,点A距离原点12个单位长度,点B距离原点2个单位长度.
(1)A点表示的数为,B点表示的数为,两点之间的距离为;
(2)若点P为数轴上一点,且$BP=2$,求AP的长;
(3)若点P,Q,M同时向数轴负方向运动,点P从点A出发,点Q从原点出发,点M从点B出发,且点P的运动速度是每秒6个单位长度,点Q的运动速度是每秒8个单位长度,点M的运动速度是每秒2个单位长度.运动过程中,当其中一个点到另外两个点的距离相等时,求这时三个点表示的数各是多少.

2.【解】(1)因为点 A 在原点的左边,距离原点12 个单位长度,所以点 A 表示的数是-12,同理可得点 B 表示的数为 2,所以 A,B 两点之间的距离为 2-(-12)= 2+12 = 14,故答案为-12,2,14.
(2)分两种情况:①当点 P 在点 B 的右边时,AP=AB+BP=14+2=16;②当点 P 在点 B 的左边时,AP=AB-BP=14-2=12. 综上,AP 的长是 16 或 12.
(3)设运动的时间为 t 秒,则动点 P,Q,M 表示的数分别为-12-6t,-8t,2-2t,分三种情况:①当 PQ=QM 时,-8t-(-12-6t)= 2-2t-(-8t),所以 $t=\frac{5}{4}$,此时,点 P 表示的数为$-12-6×\frac{5}{4}=-19.5$,点 Q 表示的数为$-8×\frac{5}{4}=-10$,点 M 表示的数为$2-2×\frac{5}{4}=-0.5$;
②当 PQ = MP 时,-12-6t -(-8t) = 2-2t -(-12-6t),解得 t=-13(舍去);
③当 MP=MQ 时,(2-2t)-(-12-6t)=(2-2t)-(-8t),解得 t=6,此时点 P 表示的数为-12-6×6=-48,点 Q 表示的数为-8×6=-48,点 M 表示的数为 2-2×6=-10.
综上,点 P 表示的数为-19.5,点 Q 表示的数为-10,点 M 表示的数为-0.5 或点 P 表示的数为-48,点 Q 表示的数为-48,点 M 表示的数为-10.
思路分析
(2)分点 P 在点 B 的左边时和点 P 在点 B 的右边时两种情况,根据线段的和差可得 AP 的长;
(3)设运动的时间为 t 秒,分别表示出三个动点 P,Q,M 表示的数,分三种情况讨论,列方程解答即可.

3[较难]如图,在数轴上,点A表示-10,点B表示11,点C表示18.动点P从点A出发,沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动.同时,动点Q从点C出发,沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,P,Q两点相遇?相遇点M表示的数是多少?
(2)在点Q出发后到达点B之前,求t为何值时,点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等.
(3)已知N为数轴上一点,在点P向右运动的过程中,NA = NP,在点P到达点C之前,求2CN-PC的值.

3.【解】(1)根据题意得 2t + t = 28,解得 $t=\frac{28}{3}$,
所以$AM=\frac{56}{3}＞10$,所以 M 在 O 的右侧,且$OM=\frac{56}{3}-10=\frac{26}{3}$,所以当$t=\frac{28}{3}$时,P,Q 两点相遇,
相遇点 M 表示的数是$\frac{26}{3}$.
(2)由题意,得 t 的值大于 0 且小于 7. 若点 P 在点 O 的左边,则 10-2t=7-t,解得 t=3. 若点 P 在点 O 的右边,则 2t-10=7-t,解得 $t=\frac{17}{3}$.
综上所述,t 的值为 3 或$\frac{17}{3}$时,点 P 到点 O 的距离与点 Q 到点 B 的距离相等.
(3)因为 NA = NP,所以 $AN=PN=\frac{1}{2}AP=t$,所以 CN=AC-AN=28-t. 因为 PC=28-AP=28-2t,所以 2CN-PC=2(28-t)-(28-2t)= 28.
思路分析
(1)由 P,Q 两点的路程和为28 列出方程求解即可,
(2)分点 P 在点 O 的左边,点 P 在点 O 的右边两种情况讨论即可求解.

4[较难]如图，已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动。另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,R同时出发，则点P运动秒追上点R。

4.【解析】设点 P 运动 x 秒时,在点 C 处追上点 R,则 AC=6x,BC=4x. 因为 AC-BC=AB,所以 6x-4x=10,解得 x=5,所以点 P 运动 5秒追上点 R.