1[中]甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙再加入，两人一起完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表，则完成这项工作共需（）


A.9天
B.10天
C.11天
D.12天

1.A 【解析】从题表中可知,甲做 3 天完成$\frac{1}{4}$,所以每天完成$\frac{1}{12}$,因此甲做 5 天完成的工作量为$\frac{5}{12}$,乙做 2 天完成的工作量为$\frac{1}{2}-\frac{5}{12}=\frac{1}{12}$,因此乙每天完成的工作量为$\frac{1}{24}$. 设完成这项工作共需要 x 天,则甲做了 x 天,乙做了$(x-3)$天. 依题意,得$\frac{x}{12}+\frac{x-3}{24}=1$,解得 $x=9$.

2[2026江苏无锡调研,中]某公司在A,B两地分别有库存机器16台和12台,现要运往甲、乙两地,其中运往甲地15台,运往乙地13台.从A地运一台机器到甲地的运费为500元,到乙地的运费为400元;从B地运一台机器到甲地的运费为300元,到乙地的运费为600元.
(1)设从A地运往甲地x台机器,请把下表补充完整:

(2)如果某种调运方案的运费是10 300元,那么从A,B两地分别运往甲、乙两地的机器各多少台?

2.【解】(1)由题意可知,从 A 地运往乙地$(16-x)$台,从 B 地运往甲地$(15-x)$台,可知从 B 地运往乙地$12-(15-x)=(x-3)$台,填表如下:
| |运往甲地(台)|运往乙地(台)|总计(台)|
| --- | --- | --- | --- |
|A 地|$x$|$16-x$|16|
|B 地|$15-x$|$x-3$|12|
|总计|15|13|28|
(2)因为从 A 地运一台机器到甲地的运费为 500 元,到乙地的运费为 400 元;从 B 地运一台机器到甲地的运费为 300 元,到乙地的运费为 600 元,所以总运费为 $500x+400(16-x)+300(15-x)+600(x-3)=500x+6\ 400-400x+4\ 500-300x+600x-1\ 800=(400x+9\ 100)$元. 因为某种调运方案的运费是 10 300 元,所以 $400x+9\ 100=10\ 300$,解得 $x=3$,所以 $16-x=13,15-x=12,x-3=0$,即从 A 地分别运往甲、乙两地 3 台、13 台,从 B 地分别运往甲、乙两地 12 台、0 台.

3 核心素养应用意识[2025广东深圳期末,较难]
【问题情境】在综合实践课上,老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质,现有一架天平和一个10克的砝码,如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量?
【操作探究】下面是“智慧小组”的探究过程.
准备物品:①若干个完全相同的乒乓球;②若干个完全相同的纸杯.
探究过程:设每个乒乓球的质量是x克.

【解决问题】
(1)①将上面的表格补充完整(用含x的式子表示);
②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量.
【拓展设计】
(2)“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题:
请你设计一个方案,使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍,并填入下表:

请利用方程的知识说明理由.

3.【解】(1)①根据题意填表如下:
| |天平左边|天平右边|天平状态|乒乓球的总质量|一次性纸杯的总质量|
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|记录1|8 个乒乓球和 1 个 10 克的砝码|14 个一次性纸杯|平衡|$8x$|$\underline{8x+10}$|
|记录2|4 个乒乓球|2 个一次性纸杯和1 个 10 克的砝码|平衡|$4x$|$\underline{4x-10}$|
②由题意得,$8x+10=\frac{14}{2}(4x-10)$,解得 $x=4$,所以 $(4x-10)÷2=(4×4-10)÷2=3$,所以 1 个乒乓球的质量为 4 克,1 个一次性纸杯的质量为 3 克.
(2)乒乓球 8 个,一次性纸杯 4 个和 2 个 10 克的砝码能使天平平衡,填表如下:
| |天平左边|天平右边|天平状态|
| --- | --- | --- | --- |
|记录 3|乒乓球 8 个|一次性纸杯 4 个和 2 个 10 克的砝码|平衡|
理由如下:
设一次性纸杯个数为 m 个,则乒乓球的个数为 2m 个.
由题意得,$4·2m=3m+2×10$,解得 $m=4$,所以 $2m=8$,所以天平左边放乒乓球 8 个,天平右边放一次性纸杯 4 个和 2 个 10 克的砝码能使天平平衡.