1. 下列各式中能用平方差公式计算的是 （）

A.$(2a+b)(2b-a)$
B.$(2x+1)(-2x-1)$
C.$(3x-y)(-3x+y)$
D.$(-x-y)(-x+y)$

D

平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，要求两个多项式中存在一项完全相同，另一项互为相反数：
选项A：不存在完全相同的项，不符合要求；
选项B：整理得$-(2x+1)(2x+1)$，两项均互为相反数，无相同项，不符合要求；
选项C：整理得$-(3x-y)(3x-y)$，两项均互为相反数，无相同项，不符合要求；
选项D：相同项为$-x$，互为相反数的项为$-y$和$y$，符合平方差公式的结构要求。

2.若$a+b=3$，则$a^2 - b^2 + 6b$的值为（）

A.3
B.6
C.9
D.12

C

利用平方差公式对原式变形：
$a^2 - b^2 + 6b=(a+b)(a-b)+6b$，
将$a+b=3$代入上式：
原式$=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)$，
再将$a+b=3$代入，得原式$=3×3=9$。

3. 下列各式:①$a^2 - a + \frac{1}{4}$；②$x^2 + xy + y^2$；③$\frac{1}{16}m^2 + m + 9$；④$4a^2 - 2ab + b^2$；⑤$\frac{1}{4}a^2b^2 - 2ab + 4$；⑥$m^4 - 2mn + n^4$。其中是完全平方式的有 （）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

A

根据完全平方式的定义：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子为完全平方式，逐个判断：
①$a^2 -a +\frac{1}{4}=a^2 - 2· a· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2=(a-\frac{1}{2})^2$，是完全平方式；
②$x^2 +xy +y^2$，中间项$xy≠ 2· x· y$，不是完全平方式；
③$\frac{1}{16}m^2 +m +9$，若首项是$(\frac{1}{4}m)^2$，末项是$3^2$，则中间项应为$2· \frac{1}{4}m· 3=\frac{3}{2}m≠ m$，不是完全平方式；
④$4a^2 -2ab +b^2$，若首项是$(2a)^2$，末项是$b^2$，则中间项应为$-2· 2a· b=-4ab≠ -2ab$，不是完全平方式；
⑤$\frac{1}{4}a^2b^2 -2ab +4=(\frac{1}{2}ab)^2 - 2· \frac{1}{2}ab· 2 + 2^2=(\frac{1}{2}ab -2)^2$，是完全平方式；
⑥$m^4 -2mn +n^4$，若首项是$(m^2)^2$，末项是$(n^2)^2$，则中间项应为$-2· m^2· n^2≠ -2mn$，不是完全平方式。
综上，完全平方式共2个。

4. 如图，阴影部分是边长为$a$的大正方形中剪去一个边长为$b$的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过剪、拼，形成新的图形，给出下列四种剪拼方法，其中能够验证平方差公式的有 （）


A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

A

原阴影部分面积为$a^2 - b^2$，平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，逐个分析剪拼后图形的面积：
1. 图(1)：新图形是长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，面积为$(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
2. 图(2)：新图形是底为$a+b$、高为$a-b$的平行四边形，面积为$(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
3. 图(3)：新图形是长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，面积为$(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
4. 图(4)：新图形是底为$a+b$、高为$a-b$的平行四边形，面积为$(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式。
因此4种剪拼方法都能验证平方差公式。

5.某厂原来生产一种边长为$ a $ cm的正方形地砖，现将地砖的一边扩大3 cm，另一边缩短3 cm，改成生产长方形地砖。若材料的成本价为每平方厘米$ b $元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（）

A.增加了$ 9b $元
B.增加了$ 3ab $元
C.减少了$ 9b $元
D.减少了$ 3ab $元

C

原正方形地砖的面积为$a^2\ \mathrm{cm}^2$，对应的材料成本为$a^2b$元；改造后长方形地砖的长为$(a+3)\ \mathrm{cm}$，宽为$(a-3)\ \mathrm{cm}$，由平方差公式可得其面积为$(a+3)(a-3)=a^2-9\ \mathrm{cm}^2$，对应的材料成本为$(a^2-9)b$元。计算两者的成本差：$a^2b-(a^2-9)b=9b$，可知长方形地砖每块的材料成本价比原正方形地砖减少了$9b$元。

6. 计算$\frac{1}{2} × (1+\frac{1}{2}) × (1+\frac{1}{2^2}) × (1+\frac{1}{2^4}) × (1+\frac{1}{2^8}) + \frac{1}{2^{15}}$的结果为（）

A.$2-\frac{1}{2^{15}}$
B.$1+\frac{1}{2^{16}}$
C.$1$
D.$2$

B

利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
1. 将$\frac{1}{2}$改写为$1-\frac{1}{2}$，原式变形为：
$(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}$
2. 连续套用平方差公式：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&(1-\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&(1-\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\=&1-\frac{1}{2^{16}}+\frac{1}{2^{15}}\end{aligned}$
3. 化简剩余项：$\frac{1}{2^{15}}=\frac{2}{2^{16}}$，因此：
$1-\frac{1}{2^{16}}+\frac{2}{2^{16}}=1+\frac{1}{2^{16}}$