1. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚.某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发,准备给相距 450 cm 的客人送餐,小数比小文先出发,且速度保持不变,小文出发一段时间后将速度提高到原来的2 倍. 设小数行走的时间为 $ x $ (s),小数和小文行走的路程分别为 $ y_1 $(cm),$ y_2 $(cm),$ y_1,y_2 $ 与 $ x $ 之间的函数图象如图所示,则下列说法正确的是（）
①小数比小文先出发 15 s；
②小文提速后的速度为 30 cm/s；
③$ n = 40 $；
④从小数出发至送餐结束,小文和小数最远相距 150 cm.


A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

1. C 提示:结合图象可知,小数比小文早出发15 s,故①正确. 当 $ x=15 $ 时,$ y_2=0 $;当 $ x=17 $ 时,$ y_2=30 $. 则小文提速前的速度是$\frac{30}{17-15}=15(\mathrm{cm/s})$. 因为小文出发一段时间后速度提高到原来的2倍,所以小文提速后速度为30 cm/s,故②正确. 提速后小文行走所用时间为$\frac{450-30}{30}=14(\mathrm{s})$,$m=17+14=31$,所以点 $ A(31,310) $,所以小数的速度为$\frac{310}{31}=10(\mathrm{cm/s})$,所以 $ n=\frac{450}{10}=45 $,故③错误. 当 $ 0≤ x≤15 $ 时,小文和小数的距离逐渐增大,当 $ x=15 $ 时达到最大,此时两人相距 $ 10×15=150(\mathrm{cm}) $; 当 $ 15＜x≤31 $ 时,小文和小数的距离先减小后增大,当 $ x=31 $ 时达到最大,此时两人相距 $ 450-310=140(\mathrm{cm}) $; 当 $ 31＜x≤45 $ 时,小文和小数的距离逐渐减小到0. 因为 $ 150＞140 $,故④正确. 综上可知,①②④正确.

2. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为$(0,4)$,B 为x 轴上一动点,以 AB 为边在直线 AB 的右侧作等边三角形 ABC. 若 P 为 OA 的中点,连接 PC,则 PC 长的最小值为.

2. 3 提示:如图,以 AP 为边作等边三角形APE,过点 E 作 $ EF⊥ AP $ 于点 F,连接 BE. 因为点 A的坐标为(0,4),所以 $ OA=4 $. 因为 P 为 OA 的中点,所以 $ AP=OP=2 $. 因为 $ △ AEP $ 是等边三角形,$ EF⊥ AP $,所以 $ AF=PF=1 $, $ AE=AP $, $ ∠ PAE=60° $. 因为$ △ ABC $ 是等边三角形,所以 $ ∠ BAC=∠ PAE=60° $,$ AB=AC $,所以 $ ∠ BAE=∠ CAP $. 易证 $ △ ABE≌△ ACP $(SAS),所以 $ BE=CP $,所以当 BE 长最小时,PC 长最小. 当 $ BE⊥ x $ 轴时,BE 长最小,所以 BE 长的最小值为$ OF=OP+PF=2+1=3 $,所以 PC 长的最小值为3.

3. 如图 1,直线 $AB:y=nx-4n(n＞0)$ 与$x$ 轴的正半轴、$y$ 轴的负半轴分别交于点$A,B$.
(1) 当 $OA=OB$ 时,试确定直线 $AB$ 的函数表达式.
(2) 在(1)的条件下,如图 2,设 $Q$ 为线段$BA$ 延长线上一点,作直线 $OQ$,过点$A,B$ 分别作 $AM⊥ OQ$ 于点 $M$,$BN⊥$$OQ$ 于点$N$.若 $AM=1$,求 $BN$ 的长.
(3) 如图 3,当 $n$ 取不同的值时,点 $B$ 在$y$ 轴的负半轴上运动,以点 $B$ 为直角顶点分别作等腰直角三角形 $OBF$ 和等腰直角三角形 $ABE$,且点 $F$ 在第三象限,点 $E$ 在第四象限,连接 $EF$,交$y$ 轴于点 $P$,试探究 $PB$ 的长是否为定值.若是,求出 $PB$ 的长;若不是,请说明理由.

3. 解:(1) 由题知,$ n＞0 $. 把 $ x=0 $ 代入$ y=nx-4n $ 中,得 $ y=-4n $;把 $ y=0 $ 代入 $ y=nx-4n $ 中,得 $ x=4 $. 所以点 $ A(4,0) $,$ B(0,-4n) $. 因为点 B 在 y 轴的负半轴上,所以$ -4n＜0 $,即 $ OA=4 $,$ OB=4n $. 因为 $ OA=OB $,所以 $ 4=4n $,所以 $ n=1 $,则直线 AB 的函数表达式为 $ y=x-4 $.
(2) 由(1),知 $ OA=OB=4 $. 因为 $ AM⊥ OQ $,$ BN⊥ OQ $,所以 $ ∠ AMO=∠ ONB=90° $,所以 $ ∠ MAO+∠ AOM=90° $. 因为 $ ∠ AOB=90° $,所以 $ ∠ AOM+∠ BON=90° $,所以$ ∠ MAO=∠ NOB $,所以 $ △ AOM≌△ OBN $(AAS),所以 $ AM=ON=1 $. 在 $ \mathrm{Rt}△ OBN $ 中,$ BN=\sqrt{OB^2-ON^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15} $.
(3) PB 的长为定值 2. 如图,过点 E 作$ EC⊥ y $ 轴于点 C,则 $ ∠ ECB=90° $. 因为 $ △ ABE $为等腰直角三角形,所以 $ AB=BE $,$ ∠ ABE=90° $. 由(2)同理可证,$ △ AOB≌△ BCE $(AAS),所以 $ BC=AO=4 $,$ CE=OB $. 因为 $ △ OBF $ 为等腰直角三角形,所以 $ OB=BF $,$ ∠ OBF=90° $,所以 $ BF=CE $,$ ∠ PBF=∠ PCE=90° $. 因为 $ ∠ BPF=∠ CPE $,所以 $ △ PBF≌△ PCE $(AAS),所以 $ BP=CP $,所以 $ BP=\frac{1}{2}BC=2 $,即 PB 的长为定值 2.