1. (2025·扬州江都区期中)已知关于 $x$ 的一元一次方程$\dfrac{1}{2\ 024}x+3=2x+b$ 的解为 $x=2$, 则关于 $y$的一元一次方程$\dfrac{1}{2\ 024}(y+1)+3=2(y+1)+b$ 的解为().

A.$y=1$
B.$y=2$
C.$y=3$
D.$y=4$

∵关于 $x$ 的一元一次方程$\dfrac{1}{2\ 024}x+3=2x+b$ 的解为 $x=2$,
∴关于 $y$ 的一元一次方程$\dfrac{1}{2\ 024}(y+1)+3=2(y+1)+b$的解为 $y+1=2,\therefore y=1$.
故选 A.

【分析】
本题可利用一元一次方程解的定义和整体思想求解。观察两个方程的结构，发现第二个方程是将第一个方程中的$x$替换为$(y+1)$，而已知第一个方程的解为$x=2$，因此只需令第二个方程中的$(y+1)$等于第一个方程的解$x=2$，即可求出$y$的值，无需计算参数$b$，简化解题过程。
【解析】
已知关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x+3=2x+b$的解为$x=2$，观察关于$y$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}(y+1)+3=2(y+1)+b$，其结构与前者完全一致，仅将$x$替换为$(y+1)$。根据方程解的定义，可得$y+1=2$，解得$y=1$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，整体思想
【点评】
本题考查一元一次方程解的应用，核心是运用整体思想简化计算，避免求解参数$b$的复杂步骤，属于基础题型，重点考查学生对整体代入法的掌握。
【难度系数】
0.8

2. 如果$x=-1$是方程$x+a=3$的解，则$a=$。

把 $x=-1$ 代入方程,得$-1+a=3$,
解得 $a=4$.

【分析】首先明确方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知$x=-1$是方程的解，因此将$x=-1$代入原方程，可得到关于$a$的一元一次方程，解该方程即可求出$a$的值。
【解析】将$x=-1$代入方程$x+a=3$，得：
$-1 + a = 3$
两边同时加1，解得：$a = 3 + 1 = 4$
【答案】4
【知识点】方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查方程解的基本应用，属于基础题型，直接利用方程解的定义代入求解即可，是对基础知识的直接考查。
【难度系数】0.9

3. 解方程：
(1)$4x - 2 = 3(2x - 6)$；
(2)$\dfrac{x + 1}{4} - 1 = \dfrac{3x - 2}{6}.$

(1)去括号,得 $4x-2=6x-18$,
移项,得 $4x-6x=-18+2$,
合并同类项,得$-2x=-16$,
系数化为 1,得 $x=8$.
(2)去分母,得 $3(x+1)-12=2(3x-2)$,
去括号,得 $3x+3-12=6x-4$,
移项,得 $3x-6x=-4-3+12$,
合并同类项,得$-3x=5$,
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{5}{3}$.

【分析】解一元一次方程需利用等式的性质，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤将方程转化为x=a的形式。第(1)题含括号，先去括号再按常规步骤求解；第(2)题含分母，需先去分母（两边同乘分母的最小公倍数，注意常数项也要乘），再依次进行去括号、移项等操作，每一步要注意符号变化，避免出错。
【解析】(1)去括号，得 $4x-2=6x-18$；移项，得 $4x-6x=-18+2$；合并同类项，得$-2x=-16$；系数化为1，得 $x=8$。
(2)去分母，两边同乘12，得 $3(x+1)-12=2(3x-2)$；去括号，得 $3x+3-12=6x-4$；移项，得 $3x-6x=-4-3+12$；合并同类项，得$-3x=5$；系数化为1，得 $x=-\dfrac{5}{3}$。
【答案】(1)$x=8$；(2)$x=-\dfrac{5}{3}$
【知识点】一元一次方程的解法、等式的性质
【点评】本题为一元一次方程的基础题型，分别考查含括号和含分母的方程求解，是初中代数的核心基础内容，需熟练掌握每一步的操作规则（如去分母时不漏乘常数项、移项要变号等），难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8

4. 某商店以每盏 25 元的价格采购了一批节能灯,运输过程中损坏了 3 盏,然后以每盏 30 元售完,共获利 160 元. 该商店共购进了多少盏节能灯?

设该商店共购进了 $x$ 盏节能灯,
由题意,得 $25x+160=30(x-3)$,解得 $x=50$.
故该商店共购进了 50 盏节能灯.
思路引导 本题考查一元一次方程的应用,关键是表示出总进价和总售价,再根据进价、售价、获利情况列出方程求解.

【分析】首先设该商店购进的节能灯总数为$x$盏，明确总进价为每盏25元，即总进价为$25x$元；运输损坏3盏，因此实际售出的节能灯数量为$(x-3)$盏，总售价为每盏30元，即总售价为$30(x-3)$元。根据“总获利=总售价 - 总进价”这一等量关系，结合题目中给出的总获利160元，即可列出一元一次方程，求解方程得到$x$的值，也就是购进的节能灯数量。
【解析】解：设该商店共购进了$x$盏节能灯。
根据题意，总进价为$25x$元，实际售出的节能灯数量为$(x-3)$盏，总售价为$30(x-3)$元。
由总获利=总售价 - 总进价，可得方程：
$30(x - 3) - 25x = 160$
展开括号：$30x - 90 - 25x = 160$
合并同类项：$5x - 90 = 160$
移项得：$5x = 250$
解得：$x = 50$
答：该商店共购进了50盏节能灯。
【答案】50盏
【知识点】一元一次方程的应用，销售利润问题
【点评】本题属于一元一次方程在实际销售场景中的基础应用题，核心是找准总进价、总售价与利润之间的等量关系，通过设未知数列方程求解，步骤清晰，考查学生对一元一次方程应用的基本掌握情况。
【难度系数】0.6

5. 一题多问(2025·苏州相城区期末)平价商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件售价60元,利润率为50%;乙种商品每件进价50元,售价80元.
(利润率=(售价-进价)÷进价)
(1)甲种商品每件进价为元,每件乙种商品利润率为;
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件,恰好总进价为2100元,求购进甲种商品多少件;
(3)在“元旦”期间,该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动:

按上述优惠条件,若小华一次性购买乙种商品实际付款592元,求小华在该商场购买乙种商品多少件.

(1)设甲种商品每件进价为 $x$ 元,
根据题意,得 $60-x=50\%x$,解得 $x=40$,
∴甲种商品每件进价为 40 元.
每件乙种商品利润率为$\dfrac{80-50}{50}×100\%=60\%$.
(2)设购进甲种商品 $y$ 件,则购进乙种商品$(50-y)$件,
根据题意,得 $40y+50(50-y)=2\ 100$,
解得 $y=40$.故购进甲种商品 40 件.
(3)设小华在该商场购买乙种商品 $m$ 件,
$\because 600× 0.9=540$(元),
$540＜592$,
∴小华购买乙种商品打折前总金额超过 600 元.
根据题意,得 $600× 0.82+0.5(80m-600)=592$,
解得 $m=10$.
故小华在该商场购买乙种商品 10 件.

【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用利润率公式（利润率=(售价-进价)÷进价），设甲的进价为未知数，列方程求解；乙的利润率直接用公式计算即可。
2. 第(2)问：设购进甲商品的数量为未知数，根据总数量50件表示出乙的数量，再结合总进价2100元，列一元一次方程求解。
3. 第(3)问：先分析乙商品的优惠规则，判断实际付款592元对应的优惠阶段，再根据对应阶段的优惠公式列方程，求解购买乙商品的数量。
【解析】
(1) 设甲种商品每件进价为$ x $元，根据利润率公式：
$ 60 - x = 50\%x $，
解得$ x = 40 $，即甲种商品每件进价为40元。
乙种商品利润率为：$\frac{80 - 50}{50} × 100\% = 60\% $。
(2) 设购进甲种商品$ y $件，则购进乙种商品$ (50 - y) $件，根据总进价2100元：
$ 40y + 50(50 - y) = 2100 $，
展开得$ 40y + 2500 - 50y = 2100 $，
移项合并得$ -10y = -400 $，
解得$ y = 40 $，即购进甲种商品40件。
(3) 设小华购买乙种商品$ m $件，乙商品打折前总金额为$ 80m $元。
先判断优惠阶段：
若总金额≤450元，付款为$ 80m $，若$ 80m = 592 $，则$ m = 7.4 $，不符合实际（件数为整数）；
若总金额超过450但不超过600元，付款为$ 0.9 × 80m = 72m $，若$ 72m = 592 $，则$ m \approx 8.22 $，不符合；
若总金额超过600元，付款为$ 600 × 0.82 + 0.5(80m - 600) $，此时：
$ 600 × 0.82 + 0.5(80m - 600) = 592 $，
计算得$ 492 + 40m - 300 = 592 $，
即$ 192 + 40m = 592 $，
解得$ 40m = 400 $，$ m = 10 $，符合实际。
【答案】
(1) $ 40 $，$ 60\% $；(2) $ 40 $件；(3) $ 10 $件
【知识点】
一元一次方程的应用，利润率计算，分段计费问题
【点评】
本题是结合生活实际的一元一次方程应用题，涵盖了利润率、商品数量进价、分段优惠三类常见题型，需要学生准确理解题意，找准等量关系，尤其第(3)问需先判断优惠阶段，避免出错，整体难度适中，考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.6