变式2.2 (2025·河南安阳期末)劳动教育课程已经成为中小学生的必修课,被纳入人才培养的全过程.某中学整理学生的劳技作品,由一名老师整理要36 h完成.现计划由一部分老师先做1 h,然后再增加4名老师与他们一起做3 h,可完成这项整理工作.假设每位老师的工作效率相同,请问应先安排多少名老师整理?

设应先安排x名老师整理，
根据题意，得$\frac{x}{36}+3×\frac{x+4}{36}=1$，
解得x=6，故应先安排6名老师整理.

【分析】
本题是工程问题，将总工作量看作单位“1”，每位老师的工作效率为$\frac{1}{36}$。先安排$x$名老师工作1小时，这部分工作量为$\frac{x}{36}$；增加4名老师后，总人数为$(x+4)$，共同工作3小时的工作量为$\frac{3(x+4)}{36}$。两部分工作量之和等于总工作量1，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设应先安排$x$名老师整理，根据题意得：
$\frac{x}{36} + \frac{3(x+4)}{36} = 1$
方程两边同乘36消去分母，得：
$x + 3(x+4) = 36$
展开括号：
$x + 3x + 12 = 36$
合并同类项：
$4x + 12 = 36$
移项计算：
$4x = 24$
解得：
$x = 6$
答：应先安排6名老师整理。
【答案】
应先安排6名老师整理
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题
【点评】
本题结合劳动教育的实际背景，考查一元一次方程在工程问题中的应用，核心是明确各部分工作量的和等于总工作量，难度适中，是期末常考的基础题型。
【难度系数】
0.6

3. 外卖行业已深深融入人们的日常生活，一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行$0.5\ \mathrm{km}$，则早到$3\ \mathrm{min}$；若骑手每分钟骑行$0.4\ \mathrm{km}$，则要迟到$2\ \mathrm{min}$，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程.

设规定的时间为$x$ min，
依题意，得$0.5(x-3)=0.4(x+2)$，
解得$x=23$，
$\therefore 0.5(x-3)=0.5×(23-3)=10(\mathrm{km})$，
$\therefore$ 骑手将餐送到目的地的规定时间是23 min，骑手所行驶的总路程为10 km.

【分析】
本题是行程问题的实际应用，核心是两种骑行速度下行驶的总路程相等。我们设规定时间为$ x $分钟，根据“路程=速度×时间”，分别表示出两种速度对应的路程，利用路程相等建立一元一次方程，先求出规定时间，再计算总路程。
【解析】
设骑手将餐送到目的地的规定时间为$ x $ min。
根据两种速度下行驶的总路程相等，列方程：
$ 0.5(x - 3) = 0.4(x + 2) $
解方程：
去括号得：$ 0.5x - 1.5 = 0.4x + 0.8 $
移项得：$ 0.5x - 0.4x = 0.8 + 1.5 $
合并同类项得：$ 0.1x = 2.3 $
解得：$ x = 23 $
总路程为：$ 0.5×(23 - 3) = 10 $（km）
【答案】
骑手将餐送到目的地的规定时间是23 min，骑手所行驶的总路程为10 km。
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题
【点评】
本题属于行程类一元一次方程的基础应用题，关键是抓住“两种情况路程相等”的等量关系，通过设未知数列方程求解，思路清晰，难度适中，适合学生巩固一元一次方程的应用方法。
【难度系数】
0.6

变式3.1 小明和小丽分别从A，B两地同时出发.小明骑自行车，小丽步行，沿着同一条道路相向匀速而行，出发25分钟后两人相遇，相遇时小明比小丽多行进6千米，相遇后5分钟小明到达B地，两人每小时分别行进多少千米？

设小明每小时行进$x$千米，
由题意，可得$\frac{25}{60}x-\frac{5}{60}x=6$，
解得$x=18$，
$\therefore$ 小丽每小时行驶$\frac{5}{60}×18÷\frac{25}{60}=3.6$(千米).
故小明每小时行进18千米，小丽每小时行进3.6千米.

【分析】
首先统一时间单位为小时，便于计算速度。本题核心等量关系：①相遇后小明5分钟走的路程等于相遇前小丽25分钟走的路程；②相遇时小明比小丽多行进6千米。设小明速度为未知数，利用第二个等量关系列方程求小明速度，再根据第一个等量关系求小丽速度。
【解析】
设小明每小时行进$ x $千米，换算时间单位：25分钟=$\frac{25}{60}$小时，5分钟=$\frac{5}{60}$小时。
相遇时小明走的路程为$\frac{25}{60}x$千米；相遇后小明5分钟到达B地，说明相遇时小丽走的路程等于小明5分钟走的路程，即$\frac{5}{60}x$千米。
根据“相遇时小明比小丽多行进6千米”列方程：
$\frac{25}{60}x - \frac{5}{60}x = 6$
化简得：$\frac{1}{3}x = 6$，解得$ x = 18 $。
小丽25分钟走的路程为$\frac{5}{60}×18 = 1.5$千米，因此小丽的速度为：
$1.5 ÷ \frac{25}{60} = 3.6$（千米/小时）
【答案】
小明每小时行进18千米，小丽每小时行进3.6千米。
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题
【点评】
本题是行程相遇问题，关键是理清相遇前后两人的路程关系，统一时间单位后利用等量关系列方程求解，属于基础方程应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6

变式3.2 (2025·徐州期末)甲、乙两车从相距200 km的A,B两地同时出发,相向而行,已知甲、乙两车的速度分别为80 km/h、40 km/h,甲车到达B地后立刻调头返回A地,乙车到达A地后停止运动. 设甲车的行驶时间为$x$ h.
(1)两车首次相遇时,$x=$ h.
(2)当$x$取何值时,两车相距50 km?

(1)$\frac{5}{3}$
(2)当两车相遇前相距50 km时，$80x+40x=200-50$，解得$x=\frac{5}{4}$；
当两车相遇后首次相距50 km时，$80x+40x=200+50$，解得$x=\frac{25}{12}$；
当甲车到达B地返回两车相距50 km时，$80x-40x=200-50$，解得$x=\frac{15}{4}$.
故当$x$为$\frac{5}{4}$或$\frac{25}{12}$或$\frac{15}{4}$时，两车相距50 km.

【分析】
第(1)问：两车首次相遇时，处于相向而行未到达对方地点的阶段，此时两车行驶的路程之和等于A、B两地的总距离200km，根据“路程=速度×时间”的关系，可列方程求解x。
第(2)问：两车相距50km需分三种情况讨论：①相遇前，两车未碰面，路程和为总距离减50km；②相遇后，两车继续行驶，路程和为总距离加50km；③甲车到达B地后返回，乙车仍未到达A地，此时两车的路程差为总距离减50km，需结合两车的运动时间范围判断阶段，分别列方程求解。
【解析】
(1) 两车首次相遇时，甲的路程 + 乙的路程 = 200 km，即：
80x + 40x = 200
120x = 200
解得：x = 200/120 = 5/3
(2) 分三种情况讨论：
① 相遇前两车相距50 km：
此时两车未相遇，路程和为200 - 50 = 150 km，列方程：
80x + 40x = 150
120x = 150
解得：x = 150/120 = 5/4
② 相遇后首次相距50 km：
此时两车已相遇，继续行驶，路程和为200 + 50 = 250 km，列方程：
80x + 40x = 250
120x = 250
解得：x = 250/120 = 25/12
③ 甲车到达B地返回后两车相距50 km：
先计算甲到B地的时间：200÷80 = 2.5 h，乙到A地的时间：200÷40 =5 h，此阶段x在2.5~5之间，甲返回行驶，乙仍向A行驶，此时甲的路程 - 乙的路程 = 200 -50=150 km，列方程：
80x - 40x =150
40x=150
解得：x=150/40=15/4，符合2.5≤15/4≤5的条件。
综上，当x为5/4、25/12或15/4时，两车相距50 km。
【答案】
(1) 5/3；(2) 5/4或25/12或15/4
【知识点】
一元一次方程的应用，行程问题
【点评】
本题为行程类一元一次方程的应用，需结合两车的运动阶段分情况讨论，避免漏解，关键是准确分析不同阶段的路程关系，理清相遇前后及甲返回后的路程等量关系，考查学生的分类讨论能力与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5