1[2026江苏泰州期中,中]如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是对角线AC的中点,F是对角线BD上的动点,连接EF.若AC=10,BD=8,则EF的最小值为 ()

A.4
B.3
C.5
D.2

(第1题图)
(第2题图)

1.B 【解析】连接 BE,DE,如图.
∵ ∠ABC = ∠ADC=90°,E 是对角线 AC 的中点,
∴ BE = 1/2 AC,DE=1/2 AC.
∵ AC=10,
∴ BE=DE=5. 过点 E 作 EF' ⊥ BD 于点 F',
∴ BF' = DF'.
∵ BD=8,
∴ BF'=4. 根据勾股定理,得 EF' = √(BE²-BF'²) = √(5²-4²) = 3. 由垂线段最短可知当 EF ⊥ BD 时 EF 有最小值,即 EF' 的长,故选 B.

2[2026 江苏徐州期中，中]在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE.若AE//DC，∠CED=α，则∠EAC等于（）

A.α
B.$90° - α$
C.$\frac{1}{2}α$
D.$90° - 2α$

2.B 【解析】
∵ ∠ACB=90°,D 是斜边 AB 的中点,
∴ CD=BD=AD,
∴ ∠B = ∠DCB. 由折叠的性质得 ∠B = ∠CED = α,
∴ ∠B = ∠DCB = ∠CED = α.
∵ ∠DCB = α, ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACD=90°-α.
∵ AE // DC,
∴ ∠EAC = ∠ACD=90°-α,故选 B.

3[2026江苏南京调研,中]如图,仅用无刻度直尺及圆规,将△ABC分成四个等腰三角形.

3.【解】如图所示,△ADE,△BDE,△ADF,△CDF 即为所分出的等腰三角形.(分法不唯一)

4[2026江苏常州期中,中]如图,在△ABC中,AB=AC,AF⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为F,E,且点D是AB的中点.
(1)求证:DE=DF;
(2)若AB=10,BC=6,求△DEF的周长.

刷素养→走向重高

4.(1)【证明】
∵ AF ⊥ BC,BE ⊥ AC,
∴ ∠AFB = ∠AEB=90°.
∵ D 是 AB 的中点,
∴ DE = 1/2 AB,DF = 1/2 AB,
∴ DE = DF.
(2)【解】
∵ AB=AC,AF ⊥ BC,
∴ 点 F 是 BC 的中点.
∵ BE ⊥ AC,
∴ ∠BEC=90°,
∴ EF=BF=CF=1/2 BC=3.
∵ AB=10,
∴ △DEF 的周长 = DE + DF + EF = 1/2 AB + 1/2 AB + 3 = 1/2×10 + 1/2×10 + 3 = 5+5+3=13.

5 核心素养 模型观念 [2026江苏苏州期末,较难]在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D,E,F分别在射线CA,BC上,CE=BF,连接DE,DF,AB=a(a＞0).
(1)如图(1),E,F分别在边CA,BC上.
①判断DE,DF之间的关系,并说明理由.
②判断四边形CEDF的面积是否发生改变.若改变,请说明理由;若不改变,求出四边形CEDF的面积(用含有a的代数式表示).
(2)如图(2),E,F分别在CA,BC的延长线上,判断DE,DF之间的关系,并说明理由.
(3)选择图(1)或图(2)中的一个,按要求画图并完成解答:连接EF,取EF的中点M,连接AM,BM,判断△AMB的面积是否发生改变.若改变,请说明理由;若不改变,求出△AMB的面积(用含有a的代数式表示).

5.【解】(1)①DE ⊥ DF 且 DE = DF. 理由如下:
∵ AC=BC,∠ACB=90°,CD ⊥ AB,
∴ ∠ACD = ∠BCD = ∠A = ∠B = 45°,CD = 1/2 AB = AD = BD = 1/2 a.
∵ CE=BF,∠ECD=∠B,CD=BD,
∴ △CED≌△BFD(SAS),
∴ DE=DF,∠CDE=∠BDF.
∵ ∠BDF + ∠CDF = ∠CDB=90°,
∴ ∠CDE + ∠CDF = 90° = ∠EDF,
∴ DE ⊥ DF.
②四边形 CEDF 的面积不发生改变.
∵ △CED≌△BFD,
∴ S△CED = S△BFD,
∴ 四边形 CEDF 的面积为 S△CED + S△CDF = S△BFD + S△CDF = S△CDB = 1/2 × CD × BD = 1/8 a².
(2) DE ⊥ DF 且 DE = DF.理由如下:
∵ CE=BF,∠ECD=∠FBD=45°,CD=BD,
∴ △ECD≌△FBD(SAS),
∴ DE=DF,∠CDE=∠BDF.
∵ ∠BDF - ∠CDF = ∠CDB=90°,
∴ ∠CDE - ∠CDF = 90° = ∠EDF,
∴ DE ⊥ DF.
(3) △AMB 的面积不发生改变.如图,连接 CM,DM.
∵ ∠EDF = ∠ECF = 90°,M 是 EF 的中点,
∴ CM = DM = 1/2 EF,故点 M 在线段 CD 的垂直平分线 l 上运动.令 CD 与直线 l 的交点为 G,则 DG = 1/2 CD.
∵ CD ⊥ AB,CD ⊥ l,
∴ l // AB,
∴ GD 与 △ABM 的边 AB 上的高相等,
∴ S△ABM = 1/2 AB · DG = 1/4 AB · CD = 1/4 a · 1/2 a = 1/8 a².(也可选择题图(2))