登录
1[中]如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数$y=x$的图象与一次函数$y=kx-k$的图象的交点坐标为$A(m,2)$.
(1)求$m$和$k$的值;
(2)一次函数$y=kx-k$的图象分别与$y$轴,$x$轴交于$B,C$两点,将一次函数$y=kx-k$的图象向右平移2个单位,交$y=x$图象于$E$点,交$x$轴于$D$点,求四边形$ACDE$的面积;
(3)直接写出使函数$y=kx-k$的值小于函数$y=x$的值的自变量$x$的取值范围.
(1)求$m$和$k$的值;
(2)一次函数$y=kx-k$的图象分别与$y$轴,$x$轴交于$B,C$两点,将一次函数$y=kx-k$的图象向右平移2个单位,交$y=x$图象于$E$点,交$x$轴于$D$点,求四边形$ACDE$的面积;
(3)直接写出使函数$y=kx-k$的值小于函数$y=x$的值的自变量$x$的取值范围.
答案
(1)把$A(m,2)$代入$y=x$得$m=2$,则点$A$的坐标为$(2,2)$.把$A(2,2)$代入$y=kx-k$得$2k-k=2$,解得$k=2$.综上,$m=2,k=2$.
(2)由(1)得一次函数表达式为$y=2x-2$,令$y=0$,则$2x-2=0$,解得$x=1$,$\therefore C$点坐标为$(1,0)$,$\therefore OC=1$,$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×1×2=1$.设直线$DE$的表达式为$y=k'x+b$.$\because$一次函数$y=kx-k$的图象向右平移2个单位,交$y=x$图象于$E$点,交$x$轴于$D$点,$\therefore$点$D$的坐标为$(3,0)$,$k'=2$,$\therefore OD=3$.把$D(3,0)$代入$y=2x+b$,得$0=2×3+b$,$\therefore b=-6$,$\therefore$直线$DE$表达式为$y=2x-6$.解方程组$\begin{cases}y=2x-6,\\y=x,\end{cases}$得$\begin{cases}x=6,\\y=6,\end{cases}$$\therefore E$点坐标为$(6,6)$,$\therefore S_{△ EOD}=\frac{1}{2}×3×6=9$,$\therefore$四边形$ACDE$的面积为$S_{△ EOD}-S_{△ AOC}=9-1=8$.
(3)自变量$x$的取值范围是$x＜2$.
(2)由(1)得一次函数表达式为$y=2x-2$,令$y=0$,则$2x-2=0$,解得$x=1$,$\therefore C$点坐标为$(1,0)$,$\therefore OC=1$,$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×1×2=1$.设直线$DE$的表达式为$y=k'x+b$.$\because$一次函数$y=kx-k$的图象向右平移2个单位,交$y=x$图象于$E$点,交$x$轴于$D$点,$\therefore$点$D$的坐标为$(3,0)$,$k'=2$,$\therefore OD=3$.把$D(3,0)$代入$y=2x+b$,得$0=2×3+b$,$\therefore b=-6$,$\therefore$直线$DE$表达式为$y=2x-6$.解方程组$\begin{cases}y=2x-6,\\y=x,\end{cases}$得$\begin{cases}x=6,\\y=6,\end{cases}$$\therefore E$点坐标为$(6,6)$,$\therefore S_{△ EOD}=\frac{1}{2}×3×6=9$,$\therefore$四边形$ACDE$的面积为$S_{△ EOD}-S_{△ AOC}=9-1=8$.
(3)自变量$x$的取值范围是$x＜2$.
2[较难]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=kx+4$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,点$A$在$x$轴的正半轴上,且$4OA=3OB$.
(1)求$k$的值;
(2)点$P$在线段$AB$上,连接$OP$.若$S_{△ AOB}=3S_{△ BOP}$,求点$P$的坐标;
(3)将直线$AB$绕点$A$逆时针旋转$45°$后得到直线$AC$,求直线$AC$的表达式.
(1)求$k$的值;
(2)点$P$在线段$AB$上,连接$OP$.若$S_{△ AOB}=3S_{△ BOP}$,求点$P$的坐标;
(3)将直线$AB$绕点$A$逆时针旋转$45°$后得到直线$AC$,求直线$AC$的表达式.
答案
思路分析
(1)先求出点$B$的坐标,可得出$OB$的长,进而求出$OA$的长,最后得出点$A$的坐标,代入表达式即可求出$k$的值;
(2)先求出$△ AOB$的面积,即可求出$△ BOP$的面积,过点$P$作$PM ⊥ y$轴于点$M$,根据$△ BOP$的面积即可求出点$P$的横坐标,代入(1)中所求表达式即可求出$P$点坐标;
(3)过点$B$作$BD ⊥ AB$交直线$AC$于点$D$,过点$D$作$DE ⊥ y$轴于点$E$,证出$△ BDE ≌ △ ABO$,从而得出线段$BE$和$DE$的长,进而求出点$D$的坐标,根据待定系数法可求直线$AC$的表达式.
(1)在直线$y=kx+4$中,令$x=0$,则$y=4$,$\therefore B(0,4)$,$\therefore OB=4$.$\because 4OA=3OB$,$\therefore OA=3$,$\because$点$A$在$x$轴的正半轴上,$\therefore A(3,0)$,将$A(3,0)$代入$y = kx + 4$中,得$3k + 4 = 0$,$\therefore k=-\frac{4}{3}$.
(2)由(1)知$OA=3$,$OB=4$,$y=-\frac{4}{3}x+4$,$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×3×4=6$.$\because S_{△ AOB}=3S_{△ BOP}$,$\therefore S_{△ BOP}=\frac{1}{3}S_{△ AOB}=2$.如图
,过点$P$作$PM ⊥ y$轴于点$M$,$\therefore S_{△ BOP}=\frac{1}{2}· OB· PM=2$,即$\frac{1}{2}×4× PM=2$,$\therefore PM=1$,即点$P$的横坐标为1.当$x=1$时,$y=-\frac{4}{3}×1+4=\frac{8}{3}$,$\therefore$点$P$的坐标为$(1,\frac{8}{3})$.(3)将直线$AB$绕点$A$逆时针旋转$45°$后得到直线$AC$,则$∠ BAC=45°$,如图
,过点$B$作$BD ⊥ AB$交直线$AC$于点$D$,过点$D$作$DE ⊥ y$轴于点$E$,$\therefore ∠ BED=∠ ABD=∠ AOB = 90°$,$\therefore ∠ BDE+∠ OBD=∠ ABO+∠ OBD = 90°$,$\therefore ∠ ABO = ∠ BDE$.$\because ∠ BAC=45°$,$\therefore ∠ BDA=45°$,$\therefore BD=AB$,$\therefore △ BDE≌△ ABO(\mathrm{AAS})$,$\therefore BE=OA=3$,$DE=OB=4$,$\therefore OE=OB-BE=1$,$\therefore D(-4,1)$.设直线$AC$的表达式为$y=mx+n$,$\therefore \begin{cases}-4m+n=1,\\3m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{7},\\n=\frac{3}{7},\end{cases}$$\therefore$直线$AC$的表达式为$y=-\frac{1}{7}x+\frac{3}{7}$.