3[较难]如图,某个一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且A,B两点的坐标分别为(4,0),(0,3).
(1)求该一次函数的表达式.
(2)点C在线段OA上,沿BC将△OBC翻折,O点恰好落在AB上的D点处,求直线BC的表达式.
(3)x轴上是否存在点P,使△ABP为等腰三角形?若存在,请直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.

思路分析
(3)分$AB,BP$为腰,$AB,AP$为腰,$AP,BP$为腰三种情况讨论.
(1)设该一次函数的表达式为$y=kx+b$($k≠0$).$\because A,B$两点的坐标分别为$(4,0)$,$(0,3)$,$\therefore \begin{cases}4k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=3,\end{cases}$$\therefore y=-\frac{3}{4}x+3$.
(2)由题意得$OA=4$,$OB=3$,$\therefore AB=5$.由翻折可得$∠ BOC=∠ BDC=90°$,$OC=CD$,$BD=BO=3$,$\therefore AD=2$.设$CD=OC=x$,则$AC=OA-OC=4-x$.在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理得$CD^2+AD^2=AC^2$,即$x^2+2^2=(4-x)^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,$\therefore C$的坐标为$(\frac{3}{2},0)$.设直线$BC$的表达式为$y=mx+n(m≠0)$.将点$B(0,3)$,$C(\frac{3}{2},0)$代入得$\begin{cases}n=3,\\\frac{3}{2}m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=3,\\m=-2,\end{cases}$$\therefore$直线$BC$的表达式为$y=-2x+3$.
(3)存在. $P$点坐标为$(-4,0)$或$(-1,0)$或$(9,0)$或$(\frac{7}{8},0)$,如图,当$AB=P_1B$时,$\because AO=4$,$\therefore OP_1 = AO = 4$,$\therefore P_1(-4, 0)$. 当$AB=AP_2$时,$OP_2 = AB - AO = 1$,$\therefore P_2(-1, 0)$. 当$P_3A=P_3B$时,设$OP_3 = t$,则$BP_3 = AP_3 = 4 - t$,$\therefore 3^2 + t^2 = (4 - t)^2$,解得$t=\frac{7}{8}$,$\therefore P_3(\frac{7}{8},0)$. 当$AB=AP_4$时,$AP_4=AB=5$,$\therefore OP_4=4+5=9$,$\therefore P_4(9,0)$. 综上所述,$P$点坐标为$(-4,0)$或$(-1,0)$或$(9,0)$或$(\frac{7}{8},0)$.

4[较难]如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于点$A$,$B$,点$C$在线段$OB$上,将$△ ABC$沿$AC$翻折,点$B$恰好落在$x$轴上的点$D$处,直线$DC$交$AB$于点$E$.
(1)求点$C$的坐标.
(2)若点$P$在直线$DC$上,点$Q$是$y$轴上一点(不与点$B$重合),当$△ CPQ$和$△ CBE$全等时,直接写出点$P$的坐标:________(不包括这两个三角形重合的情况).

(1)对于$y=-\frac{4}{3}x+4$,令$x=0$,则$y=4$,令$y=0$,则$x=3$,$\therefore A(3,0)$,$B(0,4)$,$\therefore OA=3$,$OB=4$.$\because ∠ AOB=90°$,$\therefore$由勾股定理得,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.$\because$将$△ ABC$沿$AC$翻折,点$B$恰好落在$x$轴上的点$D$处,$\therefore AD=AB=5$,$\therefore OD=2$,$\therefore D(-2,0)$.设$OC=x$,则$BC=DC=4-x$.在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,由勾股定理得$x^2+2^2=(4-x)^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,$\therefore C(0,\frac{3}{2})$.
(2)设直线$CD$的表达式为$y=kx+b$,$\therefore \begin{cases}-2k+b=0,\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$$\therefore$直线$CD$的表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$.$\because$将$△ ABC$沿$AC$翻折,点$B$恰好落在$x$轴上的点$D$处,$\therefore ∠ ABO=∠ CDO$,$BC=CD$.$\because ∠ BCE=∠ DCO$,$\therefore △ COD≌△ CEB(\mathrm{ASA})$,$\therefore ∠ BEC=∠ COD=90°$.由(1)得$OC=\frac{3}{2}$,则$BC=DC=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$.
①当点$D$与$P$重合,点$Q$与$O$重合时,$△ CPQ≌△ CBE$,此时$P(-2,0)$.
②$\because △ COD≌△ CEB$,$\therefore BE=DO=2$,$CE=CO=\frac{3}{2}$.当$CQ=BC=\frac{5}{2}$,即点$Q$的纵坐标为$-1$,$∠ CPQ=∠ BEC=90°$,$CP=CE=\frac{3}{2}$时,如图,$△ CPQ≌△ CEB$,$\therefore \frac{1}{2}×(-x_P)×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2$,解得$x_P=-\frac{6}{5}$,$\therefore y_P=\frac{3}{4}×(-\frac{6}{5})+\frac{3}{2}=\frac{3}{5}$,$\therefore P(-\frac{6}{5},\frac{3}{5})$.
③当$PQ=BE=2$,$CQ=CE=\frac{3}{2}$,$∠ CEB=∠ CQP=90°$时,如图,$△ CPQ≌△ CBE$,$\therefore x_P=2$,$\therefore y_P=\frac{3}{4}×2+\frac{3}{2}=3$,$\therefore P(2,3)$.综上,点$P$的坐标为$(-2,0)$或$(2,3)$或$(-\frac{6}{5},\frac{3}{5})$.