登录
例2(2024·舟山定海)解一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$时,两位同学的解法如下:
(1)判断:两位同学的解题过程是否正确? 若正确,请在框内括号里打“√”;若错误,请在框内括号里打“×”。
(2)请选择合适的方法求解此方程。
(1)判断:两位同学的解题过程是否正确? 若正确,请在框内括号里打“√”;若错误,请在框内括号里打“×”。
(2)请选择合适的方法求解此方程。
答案
(1)× × (2)解:$(x-3)(x+1)=0,x_1=3,x_2=-1$。
解析
【分析】首先判断两位同学的解法是否正确：解法一中，将方程变形为$x^2 - 2x = 3$后，错误地对左边因式分解后直接令每个因式等于3，忽略了因式分解后乘积为3的逻辑，属于错误操作；解法二中，计算一元二次方程的判别式时，错误计算了$b^2 - 4ac$，正确应为$(-2)^2 - 4×1×(-3)=16$，而非$-8$，导致结论错误。因此两位同学的解法均错误。求解该方程时，可采用因式分解法，将方程左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0，即可求出方程的根。
【解析】(1)判断：解法一错误，解法二错误，故两个括号内均填“×”。
(2)解方程：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$，
则$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
【答案】(1)× × (2)$x_1=3$，$x_2=-1$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法、判别式
【点评】本题考查一元二次方程的解法，重点考查因式分解法的正确应用和判别式的计算，需注意避免常见的计算错误和概念误解，属于基础题型，需细心审题。
【难度系数】0.6
【解析】(1)判断：解法一错误，解法二错误，故两个括号内均填“×”。
(2)解方程：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$，
则$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
【答案】(1)× × (2)$x_1=3$，$x_2=-1$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法、判别式
【点评】本题考查一元二次方程的解法，重点考查因式分解法的正确应用和判别式的计算，需注意避免常见的计算错误和概念误解，属于基础题型，需细心审题。
【难度系数】0.6
3.(2024·温州)用配方法解方程$x^2 + 6x - 1 = 0$时,配方结果正确的是（
A.$(x - 3)^2 = 10$
B.$(x - 3)^2 = 37$
C.$(x + 3)^2 = 10$
D.$(x + 3)^2 = 37$
C
）A.$(x - 3)^2 = 10$
B.$(x - 3)^2 = 37$
C.$(x + 3)^2 = 10$
D.$(x + 3)^2 = 37$
答案
3.C
解析
【分析】
解这道题需用配方法解一元二次方程，核心思路是：先把常数项移到等号另一侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式，最后匹配选项得出结果。
【解析】
对于方程$x^2 + 6x - 1 = 0$，
1. 移项：将常数项$-1$移到等号右边，得$x^2 + 6x = 1$；
2. 配方：一次项系数为$6$，其一半是$3$，平方为$9$，在方程两边同时加$9$，得$x^2 + 6x + 9 = 1 + 9$；
3. 化简：左边为完全平方式$(x + 3)^2$，右边计算得$10$，即$(x + 3)^2 = 10$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础操作，是一元二次方程解法的基础题型，需牢记配方时加“一次项系数一半的平方”这一关键步骤。
【难度系数】
0.8
解这道题需用配方法解一元二次方程，核心思路是：先把常数项移到等号另一侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式，最后匹配选项得出结果。
【解析】
对于方程$x^2 + 6x - 1 = 0$，
1. 移项：将常数项$-1$移到等号右边，得$x^2 + 6x = 1$；
2. 配方：一次项系数为$6$，其一半是$3$，平方为$9$，在方程两边同时加$9$，得$x^2 + 6x + 9 = 1 + 9$；
3. 化简：左边为完全平方式$(x + 3)^2$，右边计算得$10$，即$(x + 3)^2 = 10$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础操作，是一元二次方程解法的基础题型，需牢记配方时加“一次项系数一半的平方”这一关键步骤。
【难度系数】
0.8
4.(2024·东阳)解方程:
(1)$3x^2=16x$。
(2)$2x^2+7x-4=0$。
(1)$3x^2=16x$。
(2)$2x^2+7x-4=0$。
答案
4.解:(1)$3x^2-16x=0,x(3x-16)=0,x_1=0,x_2=\dfrac{16}{3}$。
(2)$x=\dfrac{-7\pm \sqrt{7^2+4× 2× 4}}{2× 2}=\dfrac{-7\pm \sqrt{81}}{4}=\dfrac{-7\pm 9}{4}$,所以$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=-4$。
(2)$x=\dfrac{-7\pm \sqrt{7^2+4× 2× 4}}{2× 2}=\dfrac{-7\pm \sqrt{81}}{4}=\dfrac{-7\pm 9}{4}$,所以$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=-4$。
解析
【分析】
本题是解一元二次方程，需根据方程形式选择合适方法。第(1)题通过移项后用因式分解法（提公因式）求解；第(2)题是一般形式的一元二次方程，用公式法，先确定系数、计算判别式，再代入求根公式计算。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2 -16x =0$，提取公因式$x$得：$x(3x -16)=0$，则$x=0$或$3x -16=0$，解得$x_1=0$，$x_2=\frac{16}{3}$。
(2) 对于方程$2x^2 +7x -4=0$，其中$a=2$，$b=7$，$c=-4$，判别式$\Delta =b^2 -4ac=7^2 -4×2×(-4)=81$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{-7\pm9}{4}$，故$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-4$。
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=\frac{16}{3}$；(2)$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-4$
【知识点】
一元二次方程解法（因式分解法）、一元二次方程解法（公式法）
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，需掌握不同方法的适用场景，计算时注意符号和判别式的计算，属于常规题型。
【难度系数】
0.6
本题是解一元二次方程，需根据方程形式选择合适方法。第(1)题通过移项后用因式分解法（提公因式）求解；第(2)题是一般形式的一元二次方程，用公式法，先确定系数、计算判别式，再代入求根公式计算。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2 -16x =0$，提取公因式$x$得：$x(3x -16)=0$，则$x=0$或$3x -16=0$，解得$x_1=0$，$x_2=\frac{16}{3}$。
(2) 对于方程$2x^2 +7x -4=0$，其中$a=2$，$b=7$，$c=-4$，判别式$\Delta =b^2 -4ac=7^2 -4×2×(-4)=81$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{-7\pm9}{4}$，故$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-4$。
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=\frac{16}{3}$；(2)$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-4$
【知识点】
一元二次方程解法（因式分解法）、一元二次方程解法（公式法）
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，需掌握不同方法的适用场景，计算时注意符号和判别式的计算，属于常规题型。
【难度系数】
0.6
例3(2024·湖州吴兴、长兴)关于$x$的一元二次方程$x^2 + k = 0$有实数根,则实数$k$的取值范围是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$k≤0$
解析
【分析】
要确定一元二次方程中参数k的取值范围，需利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有实数根。先确定本题方程的a、b、c的值，代入判别式得到关于k的不等式，解不等式即可得到k的范围。
【解析】
1. 对于方程$x^2 + k = 0$，其中$a=1$，$b=0$，$c=k$；
2. 计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4×1×k = -4k$；
3. 因为方程有实数根，所以$\Delta≥0$，即$-4k≥0$；
4. 解不等式：两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$k≤0$。
【答案】
$k≤0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，解题关键是牢记判别式与根的关系，解不等式时注意不等号方向的变化，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程中参数k的取值范围，需利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有实数根。先确定本题方程的a、b、c的值，代入判别式得到关于k的不等式，解不等式即可得到k的范围。
【解析】
1. 对于方程$x^2 + k = 0$，其中$a=1$，$b=0$，$c=k$；
2. 计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4×1×k = -4k$；
3. 因为方程有实数根，所以$\Delta≥0$，即$-4k≥0$；
4. 解不等式：两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$k≤0$。
【答案】
$k≤0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，不等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，解题关键是牢记判别式与根的关系，解不等式时注意不等号方向的变化，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.(2024·舟山定海)关于$x$的方程$x^2 + mx - 2 = 0$的根的情况是 （
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
C
）A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
答案
5.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4ac：先确定方程中a、b、c的值，计算判别式，再根据Δ与0的大小关系判断根的类型。
【解析】
对于方程$x^2 + mx - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=-2$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$
因为任何数的平方非负，即$m^2≥0$，所以$\Delta = m^2 +8 ≥8＞0$。
根据一元二次方程根的判别式：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是计算判别式并判断其符号，属于基础题型，需熟练掌握判别式与根的对应关系。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4ac：先确定方程中a、b、c的值，计算判别式，再根据Δ与0的大小关系判断根的类型。
【解析】
对于方程$x^2 + mx - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=-2$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$
因为任何数的平方非负，即$m^2≥0$，所以$\Delta = m^2 +8 ≥8＞0$。
根据一元二次方程根的判别式：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是计算判别式并判断其符号，属于基础题型，需熟练掌握判别式与根的对应关系。
【难度系数】
0.8
6.(2024·绍兴上虞)若一元二次方程$x^2+bx+4=0$有两个相等的实数根,则$b=\_\_\_\_\_\_$。
答案
6.$\pm4$
解析
【分析】首先明确一元二次方程根的判别式与根的关系：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。本题中方程有两个相等实数根，因此令判别式等于0，代入对应系数计算即可求出$b$的值。
【解析】对于一元二次方程$x^2 + bx + 4 = 0$，其中$a=1$，$c=4$。因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，代入得：$b^2 - 4×1×4 = 0$，即$b^2 = 16$，解得$b = ±4$。
【答案】±4
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题型，只要掌握判别式与根的关系即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$x^2 + bx + 4 = 0$，其中$a=1$，$c=4$。因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，代入得：$b^2 - 4×1×4 = 0$，即$b^2 = 16$，解得$b = ±4$。
【答案】±4
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题型，只要掌握判别式与根的关系即可快速求解。
【难度系数】0.8
