1. (淄博中考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC$, $∠ A=120°$. 分别以点 $A$ 和 $C$ 为圆心, 以大于 $\dfrac{1}{2}AC$ 的长度为半径作弧, 两弧相交于点 $P$ 和点 $Q$, 作直线 $PQ$ 分别交 $BC,AC$ 于点 $D$ 和点 $E$. 若 $CD=3$, 则 $BD$ 的长为（）

A.4
B.5
C.6
D.7

1. C 解析:连接$AD$,$\because AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$\therefore ∠ B=∠ C=30°$.由作法得$DE$垂直平分$AC$,$\therefore DA=DC=3$,$\therefore ∠ DAC=∠ C=30°$,$\therefore ∠ BAD=120°-30°=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\because ∠ B=30°$,$\therefore BD=2AD=6$.故选C.

2. 如图,点$B$为线段$AQ$上的动点,$AQ=4$,以$AB$为边作等边$△ ABC$,以$BC$为底边作等腰三角形$PCB$,则$PQ$的最小值为.

2. 2 解析:如图,连接$AP$,$PQ$,$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore AB=AC$,$∠ CAB=60°$.在$△ ABP$和$△ ACP$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ BP=CP,\\ AP=AP, \end{cases}$$\therefore △ ABP ≌ △ ACP\ (\mathrm{SSS})$,$\therefore ∠ CAP=∠ BAP$,$\therefore ∠ PAQ=30°$,$\therefore$ 点$P$在射线$AP$上运动.当$QP ⊥ AP$时,$PQ$的值最小,最小为$\dfrac{1}{2}AQ=\dfrac{1}{2} × 4=2$.

3. (2025·天津期中) 如图,在四边形$ABCD$中,$AD=4,BC=1,∠ A=30^{\circ },∠ B=90^{\circ },∠ ADC=$$120^{\circ }$,则$CD$的长为.

3. 2 解析:如图,延长$AB$,$DC$交于点$E$,$\because ∠ A=30°$,$∠ D=120°$,$\therefore ∠ E=30°$,$\therefore ∠ A=∠ E$,$\therefore AD=DE$.在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$CE=2BC=2$,$\therefore CD=DE-CE=4-2=2$.

4. (2026·武汉月考) 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, CA=CB, ∠ BAD=∠ ADE=60°$, $DE=3, AB=10, CE$ 平分 $∠ ACB, DE$ 与 $CE$ 相交于点 $E$, 则 $AD$ 的长为.

4. 7 解析:延长$DE$交$AB$于点$F$,延长$CE$交$AB$于点$G$,如图所示.$\because ∠ BAD=∠ ADE=60°$,$\therefore △ ADF$是等边三角形,$\therefore AD=AF=DF$,$∠ AFD=60°$.$\because CA=CB$,$CE$平分$∠ ACB$,$\therefore CG ⊥ AB$,即$∠ CGB=90°$,$AG=\dfrac{1}{2}AB=5$.设$AD=AF=DF=x$,在$\mathrm{Rt}△ GEF$中,$∠ GFE=60°$,$∠ GEF=30°$,$EF=DF-DE=x-3$,则$GF=\dfrac{1}{2}(x-3)$.由$AF-GF=AG$得,$x-\dfrac{1}{2}(x-3)=5$,解得$x=7$.

5. 如图，$∠ AOB=60°$，点$P$在$OA$上，$PC=PD$，若$OC=5\ \mathrm{cm}$，$OD=8\ \mathrm{cm}$，则$OP$的长是 （）

A.$13\ \mathrm{cm}$
B.$12\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$

5. A 解析:过点$P$作$PE ⊥ OB$于点$E$,则$PE ⊥ CD$.$\because PC=PD$,$\therefore △ PCD$为等腰三角形,$\therefore$ 点$E$为$CD$的中点.$\because OC=5\ \mathrm{cm}$,$OD=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore CD=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore OE=6.5\ \mathrm{cm}$.$\because ∠ AOB=60°$,$\therefore ∠ OPE=90°-60°=30°$,$\therefore OP=2OE=13\ \mathrm{cm}$,故选A.

6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$∠ B=∠ C=15^{\circ }$，则$△ ABC$的面积为.

6. 9 解析:如图,延长$CA$,过点$B$作$BD ⊥ AC$,交$CA$的延长线于点$D$,$\because AC=AB=6$,$∠ BAD=∠ ABC+∠ ACB=30°$,$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=3$,$\therefore △ ABC$的面积$=\dfrac{1}{2} × AC · BD=\dfrac{1}{2} × 6 × 3=9$.

7. 已知 $CD$ 是 $△ ABC$ 的高, $∠ BAC=2∠ BCD$,$P$ 是直线 $BC$ 上一点.
(1) 当点 $P$ 在 $CB$ 的延长线上,且 $∠ APC=60°$时,如图①,求证:$PB+PC=PA$.
(2) ①当点 $P$ 在边 $BC$ 上,且 $∠ APC=60°$时,如图②,则线段 $PB,PC,PA$ 之间的数量关系为.
②当点 $P$ 在边 $BC$ 上,且 $∠ APC=120°$时,如图③,则线段 $PB,PC,PA$ 之间的数量关系为.


视频讲题

7. (1) 如图①,过点$A$作$AH ⊥ BC$,垂足为$H$.$\because CD$是$△ ABC$的高,$\therefore ∠ AHB=∠ AHC=∠ BDC=90°$,$\therefore ∠ BAH+∠ ABC=90°$,$∠ BCD+∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ BAH=∠ BCD$.$\because ∠ BAC=2∠ BCD$,$\therefore ∠ BAC=2∠ BAH$,$\therefore ∠ BAH=∠ CAH$.

在$△ ABH$和$△ ACH$中,$\begin{cases} ∠ AHB=∠ AHC,\\ AH=AH,\\ ∠ BAH=∠ CAH, \end{cases}$$\therefore △ ABH ≌ △ ACH$,$\therefore BH=CH$.$\because ∠ APC=60°$,$\therefore ∠ PAH=90°-60°=30°$,$\therefore PA=2PH$.$\because PB=PH-BH$,$PC=PH+HC$,$\therefore PB+PC=PH-BH+PH+CH=2PH=PA$.
(2) ①$PC-PB=PA$ 解析:当点$P$在边$BC$上,且$∠ APC=60°$时,如图②,过点$A$作$AH ⊥ BC$,垂足为$H$.$\because CD$是$△ ABC$的高,$\therefore ∠ AHB=∠ AHC=∠ BDC=90°$,$\therefore ∠ BAH+∠ ABC=90°$,$∠ BCD+∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ BAH=∠ BCD$.$\because ∠ BAC=2∠ BCD$,$\therefore ∠ BAC=2∠ BAH$,$\therefore ∠ BAH=∠ CAH$.在$△ ABH$和$△ ACH$中,$\begin{cases} ∠ AHB=∠ AHC,\\ AH=AH,\\ ∠ BAH=∠ CAH, \end{cases}$$\therefore △ ABH ≌ △ ACH$,$\therefore BH=CH$.
$\because ∠ APC=60°$,$\therefore ∠ PAH=90°-60°=30°$,$\therefore PA=2PH$.$\because PB=BH-PH$,$PC=PH+HC$,$\therefore PC-PB=PH+HC-BH+PH=2PH=PA$,即$PC-PB=PA$.

②$PB-PC=PA$ 解析:当点$P$在边$BC$上,且$∠ APC=120°$时,如图③,过点$A$作$AH ⊥ BC$,垂足为$H$.$\because CD$是$△ ABC$的高,$\therefore ∠ AHB=∠ AHC=∠ BDC=90°$,$\therefore ∠ BAH+∠ ABC=90°$,$∠ BCD+∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ BAH=∠ BCD$.$\because ∠ BAC=2∠ BCD$,$\therefore ∠ BAH=∠ CAH$.在$△ ABH$和$△ ACH$中,$\begin{cases} ∠ AHB=∠ AHC,\\ AH=AH,\\ ∠ BAH=∠ CAH, \end{cases}$$\therefore △ ABH ≌ △ ACH$,$\therefore BH=CH$.$\because ∠ APC=120°$,$\therefore ∠ APB=60°$,$\therefore ∠ HAP=30°$,$\therefore PA=2PH$.$\because PB=BH+PH$,$PC=HC-PH$,$\therefore PB-PC=BH+PH-HC+PH=2PH=PA$,即$PB-PC=PA$.