1. (2025·西安期中)梯形 AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图,已知 $AB=10$,点 $A(0,a)$,$B(b,0),C(b,8)$,其中 $a$ 满足 $\sqrt{6-a}=0$.
(1)直接写出 $a=$;
(2)求点 B,C 的坐标;
(3)若在第二象限有一点 $D(m,2)$,连接 DA,$DO$,已知 $△ ADO$ 的面积是 $△ ABC$ 面积的一半,求点 D 的坐标.

(1)6 解析:由题意可得$6-a=0,\therefore a=6.$
(2) 由(1)得,$a=6,\therefore A(0,6),\therefore OA=6,\therefore OB=$$\sqrt {AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=8,\therefore b=8$,即$B(8,0),C(8,8).$
(3)$\because B(8,0),C(8,8),\therefore BC=8,\therefore S_{△ ABC}=\frac {1}{2}×8×8=$$32.\because S_{△ ADO}=\frac {1}{2}OA×|m|=\frac {1}{2}×6×|m|=3|m|,△ ADO$的面积是$△ ABC$面积的一半,$\therefore 3|m|=\frac {1}{2}×32,\therefore |m|=\frac {16}{3}.\because D$在第二象限,$\therefore m=-\frac {16}{3}$,$\therefore$ 点 D 的坐标为$(-\frac {16}{3},2).$

2. (2024·包头中考改编)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别是$O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(5,0)$,求四边形OABC的面积.

如图,过 A 作$AM⊥OC$于 M,过 B 作$BN⊥OC$于 N,$\because O(0,$$0),A(1,2),B(3,3),C(5,0),\therefore OM=1,AM=2,ON=BN=$$3,CO=5,\therefore MN=ON-OM=2,CN=OC-ON=2,\therefore$ 四边形OABC 的面积$=S_{△ AOM}+S_{梯形AMNB}+S_{△ BCN}=\frac {1}{2}×1×2+\frac {1}{2}×(2+$$3)×2+\frac {1}{2}×3×2=9.$

3. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(-1,3)$,点B的坐标为$(-2,0)$,点C的坐标为$(2,2)$,求$△ ABC$的面积.

如图,因为$A(-1,3),B(-2,0),C(2,2)$,所以$D(2,0),$$E(-2,3),F(2,3)$,所以$BD=2-(-2)=4,BE=3,AE=$$1,AF=3,FC=1,CD=2$,所以$S_{△ ABC}=S_{长方形BDFE}-S_{△ ABE}-$$S_{△ AFC}-S_{△ BDC}=4×3-\frac {1}{2}×3×1-\frac {1}{2}×3×1-\frac {1}{2}×4×2=5.$

4. 如图,在平面直角坐标系中,已知四边形$ABCD$的顶点坐标分别为$A(-2,-1)$,$B(2,-1)$,$C(4,3)$,$D(0,4)$,求四边形$ABCD$的面积.

如图①,作长方形 AEGF,则$S_{四边形ABCD}=S_{长方形AEGF}-S_{△ AED}-$$S_{△ CDG}-S_{△ CBF}=5×6-\frac {1}{2}×5×2-\frac {1}{2}×4×1-\frac {1}{2}×2×4=19.$

一题多解 如图②,记 AB 交 y 轴于点 E,连接 CE,则$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=\frac {1}{2}×2×5+\frac {1}{2}×5×4+\frac {1}{2}×2×$$4=19.$