登录
10. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（$△ ABE,△ BCF,△ CDG,△ DAH$）和一个小正方形$EFGH$拼成的大正方形$ABCD$。若$E$是$AH$的中点，连结$BH$并延长交$CD$于点$I$，$DI=1$，则线段$BI$的长为（
A.$4$
B.$5$
C.$\sqrt{15}+1$
D.$2\sqrt{3}+1$
B
）A.$4$
B.$5$
C.$\sqrt{15}+1$
D.$2\sqrt{3}+1$
答案
10.B 【解析】因为四个直角三角形全等,设∠ABE=α,则∠CDG=α。因为E是AH的中点,所以AE=EH。又因为BE⊥AH,所以BE垂直平分AH。所以AB=BH。所以∠EBH=∠ABE=α。又因为GH//EF,所以∠EBH=∠DHI=α。所以∠IHD=∠IDH。所以HI=DI=1。设AB=x,则BH=AB=x,BI=x+1。在Rt△BIC中,IC=CD−ID=x−1,BC=x,$BI^2=IC^2+BC^2$,即$(x+1)^2=(x-1)^2+x^2$,解得x=4或x=0(舍去),所以BI=5。故选B。
11. $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \underline{\hspace{5cm}}$。
答案
11.$3\sqrt{2}$
12. 六边形的内角和等于$\underline{\hspace{5cm}}$°。
答案
12.720
13. 已知关于$ x $的方程$ 3x^2 + kx - 2 = 0 $的一个根为2，则另一个根为________。
答案
13.$-\dfrac{1}{3}$
14. 已知某组数据的方差为$S^2=\frac{1}{4}[(3-\overline{x})^2+(4-\overline{x})^2+(7-\overline{x})^2+(10-\overline{x})^2]$，则$\overline{x}$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
14.6
15. 一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度$h(\mathrm{m})$和经过的水平距离$d(\mathrm{m})$可用公式$h=d-0.01d^2$来估计。当球的高度第二次达到$16\ \mathrm{m}$时，球的水平距离是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$。
答案
15.80 【解析】令h=16,则$d-0.01d^2=16$,解得$d_1=20,d_2=80$,因为80＞20,所以当球的高度第二次达到16 m时,球的水平距离是80 m。
16. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD的延长线上,连结AE,AF,EF,AE与CF交于点G。已知∠EAF=45°,AB=3。有以下四个结论:①$BE-DF=EF$;②$∠AEF=∠AEB$;③$GF=GE$;④若$DF=1$,则$△ AEF$的面积为7.5。其中正确的是
①②④
。(填序号)答案
16.①②④ 【解析】如图,在BC上截取BH=DF,连结AH,GH。因为四边形ABCD为正方形,所以AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠B=∠BCD=∠CDA=90°。所以∠B=∠ADF=90°。
在△ABH和△ADF中,因为$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ B=∠ ADF=90°, \\ BH=DF, \end{cases}$所以$△ ABH≌△ ADF(\mathrm{SAS})$。所以AH=AF,∠BAH=∠DAF,∠AHB=∠AFD。因为∠EAF=∠EAD+∠DAF=45°,所以∠EAD+∠BAH=45°。
所以∠EAH=∠DAB−(∠EAD+∠BAH)=90°−45°=45°。所以∠EAH=∠EAF=45°。
在△EAH和△EAF中,因为$\begin{cases} AH=AF, \\ ∠ EAH=∠ EAF, \\ EA=EA, \end{cases}$所以$△ EAH≌△ EAF(\mathrm{SAS})$。所以EH=EF。因为EH=BE−BH=BE−DF,所以BE−DF=EF,故①正确。
因为$△ EAH≌△ EAF$,所以∠AEF=∠AEB,故②正确。设∠DAF=α,所以∠BAH=∠DAF=α。所以∠AHB=∠AFD=$90°-α$。因为∠EAH=45°,所以∠EAB=∠EAH+∠BAH=$45°+α$。所以∠AEB=$90°-∠ EAB=90°-(45°+α)=45°-α$。在△AHG和△AFG中,因为$\begin{cases} AH=AF, \\ ∠ EAH=∠ EAF, \\ AG=AG, \end{cases}$所以$△ AHG≌△ AFG(\mathrm{SAS})$。所以∠AHG=∠AFD=$90°-α$,GH=GF。所以∠BHG=∠AHB+∠AHG=$90°-α+90°-α=180°-2α$。所以∠GHE=$180°-∠ BHG=180°-(180°-2α)=2α$。所以∠AEB不一定等于∠GHE。所以GE不一定等于GH,即GF不一定等于GE,故③不正确。设EH=EF=x。
因为DF=1,AB=3,所以CH=2,CF=4,CE=x−2。在Rt△CEF中,$CE^2+CF^2=EF^2$,所以$(x-2)^2+4^2=x^2$,解得x=5。所以EH=5。所以$S_{△ AEF}=S_{△ AEH}=\frac{1}{2}EH· AB=\frac{1}{2}×5×3=7.5$,故④正确。综上所述,正确的结论是①②④。
在△ABH和△ADF中,因为$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ B=∠ ADF=90°, \\ BH=DF, \end{cases}$所以$△ ABH≌△ ADF(\mathrm{SAS})$。所以AH=AF,∠BAH=∠DAF,∠AHB=∠AFD。因为∠EAF=∠EAD+∠DAF=45°,所以∠EAD+∠BAH=45°。
所以∠EAH=∠DAB−(∠EAD+∠BAH)=90°−45°=45°。所以∠EAH=∠EAF=45°。
在△EAH和△EAF中,因为$\begin{cases} AH=AF, \\ ∠ EAH=∠ EAF, \\ EA=EA, \end{cases}$所以$△ EAH≌△ EAF(\mathrm{SAS})$。所以EH=EF。因为EH=BE−BH=BE−DF,所以BE−DF=EF,故①正确。
因为$△ EAH≌△ EAF$,所以∠AEF=∠AEB,故②正确。设∠DAF=α,所以∠BAH=∠DAF=α。所以∠AHB=∠AFD=$90°-α$。因为∠EAH=45°,所以∠EAB=∠EAH+∠BAH=$45°+α$。所以∠AEB=$90°-∠ EAB=90°-(45°+α)=45°-α$。在△AHG和△AFG中,因为$\begin{cases} AH=AF, \\ ∠ EAH=∠ EAF, \\ AG=AG, \end{cases}$所以$△ AHG≌△ AFG(\mathrm{SAS})$。所以∠AHG=∠AFD=$90°-α$,GH=GF。所以∠BHG=∠AHB+∠AHG=$90°-α+90°-α=180°-2α$。所以∠GHE=$180°-∠ BHG=180°-(180°-2α)=2α$。所以∠AEB不一定等于∠GHE。所以GE不一定等于GH,即GF不一定等于GE,故③不正确。设EH=EF=x。
因为DF=1,AB=3,所以CH=2,CF=4,CE=x−2。在Rt△CEF中,$CE^2+CF^2=EF^2$,所以$(x-2)^2+4^2=x^2$,解得x=5。所以EH=5。所以$S_{△ AEF}=S_{△ AEH}=\frac{1}{2}EH· AB=\frac{1}{2}×5×3=7.5$,故④正确。综上所述,正确的结论是①②④。
17.(8分)计算:
(1)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$。
(2)$(2-\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$。
(1)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$。
(2)$(2-\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$。
答案
17.(1)原式=5−3=2。
(2)原式=$6+4\sqrt{2}-3\sqrt{2}-4=2+\sqrt{2}$。
(2)原式=$6+4\sqrt{2}-3\sqrt{2}-4=2+\sqrt{2}$。
18.(8分)图1,图2均是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点。请按要求作图,所作图形的顶点均要落在格点上。
(1)如图1,已知A,B两点是格点,以AB为边作一个面积为6的平行四边形ABCD。
(2)如图2,作一个面积为6的菱形。
(1)如图1,已知A,B两点是格点,以AB为边作一个面积为6的平行四边形ABCD。
(2)如图2,作一个面积为6的菱形。
答案
18.(1)如图1。
(2)如图2。
