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1. 如图,平行于BC的直线DE分别交AB,AC于点D,E,它把△ABC分成面积相等的两部分,试确定点D(或E)的位置.
答案
解：因为$DE// BC$，所以$△ ADE ∽ △ ABC$。由题意$S_{△ ADE}=S_{\mathrm{四边形}DECB}$，因此$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{1}{2}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。因此点$D$在边$AB$上，且到点$A$的距离为$AB$长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍处。
解析
【分析】
首先由DE平行于BC，可联想到利用平行线判定△ADE与△ABC相似；题目中DE把△ABC分成面积相等的两部分，可得出△ADE的面积是△ABC面积的$\frac{1}{2}$；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，即可求出AD与AB的长度比，进而确定点D的位置。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$。
由题意可知$S_{△ ADE}=S_{\mathrm{四边形}DECB}$，因此$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{1}{2}$，
结合线段长度为正，解得$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$。
【答案】
点D在AB边上，且到点A的距离为AB长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍（同理点E在AC边上，到点A的距离为AC长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍）。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是将面积的数量关系转化为相似比，进而得到对应线段的比例关系，有助于巩固相似三角形相关性质的理解和运用。
【难度系数】
0.75
首先由DE平行于BC，可联想到利用平行线判定△ADE与△ABC相似；题目中DE把△ABC分成面积相等的两部分，可得出△ADE的面积是△ABC面积的$\frac{1}{2}$；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，即可求出AD与AB的长度比，进而确定点D的位置。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$。
由题意可知$S_{△ ADE}=S_{\mathrm{四边形}DECB}$，因此$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{1}{2}$，
结合线段长度为正，解得$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$。
【答案】
点D在AB边上，且到点A的距离为AB长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍（同理点E在AC边上，到点A的距离为AC长度的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍）。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是将面积的数量关系转化为相似比，进而得到对应线段的比例关系，有助于巩固相似三角形相关性质的理解和运用。
【难度系数】
0.75
2. 在探究学习1的图中,已知凸透镜的焦距$OF_1 = OF_2 = f$,物距$OB = u$（$u ＞ f$）,像距$OB_1 = v$,求证:$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$.
答案
证明：$\because AB// DO$，$\therefore △ ABF_1 ∽ △ DOF_1$，$\therefore \frac{AB}{DO}=\frac{BF_1}{OF_1}=\frac{u-f}{f}$。又$\because DO=A_1B_1$，同理可得$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{v-f}{f}$，因此$\frac{u-f}{f}=\frac{f}{v-f}$，展开得$(u-f)(v-f)=f^2$，即$uv-uf-vf+f^2=f^2$，化简得$uv=uf+vf$，两边同时除以$uvf$，得$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$，即$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，得证。
解析
【分析】
要证明$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，我们可以通过相似三角形的性质建立$u、v、f$之间的等量关系，再通过代数变形推导得到目标等式。首先观察图形可知，物体$AB$、透镜$DO$、像$A_1B_1$都垂直于主光轴，因此$AB// DO$，可得到第一组相似三角形；再结合像与透镜的平行关系可得第二组相似三角形，分别写出两组相似三角形的对应边比例式，消去表示物高、像高的线段后得到仅含$u、v、f$的比例式，最后对比例式展开、化简，即可得到要证明的公式。
【解析】
证明：$\because AB// DO$，
$\therefore △ ABF_1 ∽ △ DOF_1$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{DO}=\frac{BF_1}{OF_1}=\frac{u-f}{f}$。
又$\because DO=A_1B_1$，同理可得$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{v-f}{f}$，
因此$\frac{u-f}{f}=\frac{f}{v-f}$，
交叉相乘得$(u-f)(v-f)=f^2$，
展开得$uv-uf-vf+f^2=f^2$，
化简得$uv=uf+vf$，
两边同时除以$uvf$，得$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$，
即$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，得证。
【答案】
$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$成立，得证。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；代数式化简
【点评】
本题结合物理情景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系，再通过代数变形得到结论，能锻炼学生跨学科知识运用的能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，我们可以通过相似三角形的性质建立$u、v、f$之间的等量关系，再通过代数变形推导得到目标等式。首先观察图形可知，物体$AB$、透镜$DO$、像$A_1B_1$都垂直于主光轴，因此$AB// DO$，可得到第一组相似三角形；再结合像与透镜的平行关系可得第二组相似三角形，分别写出两组相似三角形的对应边比例式，消去表示物高、像高的线段后得到仅含$u、v、f$的比例式，最后对比例式展开、化简，即可得到要证明的公式。
【解析】
证明：$\because AB// DO$，
$\therefore △ ABF_1 ∽ △ DOF_1$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{DO}=\frac{BF_1}{OF_1}=\frac{u-f}{f}$。
又$\because DO=A_1B_1$，同理可得$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{v-f}{f}$，
因此$\frac{u-f}{f}=\frac{f}{v-f}$，
交叉相乘得$(u-f)(v-f)=f^2$，
展开得$uv-uf-vf+f^2=f^2$，
化简得$uv=uf+vf$，
两边同时除以$uvf$，得$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$，
即$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，得证。
【答案】
$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$成立，得证。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；代数式化简
【点评】
本题结合物理情景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系，再通过代数变形得到结论，能锻炼学生跨学科知识运用的能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图. 
点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处. 已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB =2 m,BP =3 m,PD =12 m,那么该古城墙的高度
CD是
点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处. 已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB =2 m,BP =3 m,PD =12 m,那么该古城墙的高度
CD是
8
m.答案
1. 8
解析
【分析】
遇到这类利用平面镜反射测量高度的问题，首先结合光的反射定律得到相等的角：反射角等于入射角，可推出∠APB=∠CPD；再结合已知的AB⊥BD、CD⊥BD，可得两个直角相等，由此可判定△ABP与△CDP相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角，因此$∠ APB=∠ CPD$。
$\because AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABP=∠ CDP=90°$，
$\therefore △ ABP ∽ △ CDP$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$。
将$AB=2\ \mathrm{m}$，$BP=3\ \mathrm{m}$，$PD=12\ \mathrm{m}$代入比例式，得：
$\frac{2}{CD}=\frac{3}{12}$，
解得$CD=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是结合物理光反射知识的数学应用题，解题核心是准确找到相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，属于基础的实际应用类题目。
【难度系数】
0.8
遇到这类利用平面镜反射测量高度的问题，首先结合光的反射定律得到相等的角：反射角等于入射角，可推出∠APB=∠CPD；再结合已知的AB⊥BD、CD⊥BD，可得两个直角相等，由此可判定△ABP与△CDP相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角，因此$∠ APB=∠ CPD$。
$\because AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABP=∠ CDP=90°$，
$\therefore △ ABP ∽ △ CDP$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$。
将$AB=2\ \mathrm{m}$，$BP=3\ \mathrm{m}$，$PD=12\ \mathrm{m}$代入比例式，得：
$\frac{2}{CD}=\frac{3}{12}$，
解得$CD=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是结合物理光反射知识的数学应用题，解题核心是准确找到相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，属于基础的实际应用类题目。
【难度系数】
0.8
2. 如图,有两堵墙AB,CD,已知墙AB高2 m,两墙之间的距离BC为8 m.小明将一架木梯放在距B点3 m的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外,将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时,木梯刚好达到墙的顶端,则墙CD的高为
7.5 m
.答案
2. 7.5 m
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：墙AB、CD均与地面BC垂直，可得∠B=∠C=90°；木梯旋转后∠AED=90°，由此可推导角的等量关系：∠BAE与∠DEC都和∠AEB互余，因此∠BAE=∠DEC，可判定△ABE与△ECD相似。接下来先算出EC的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可列等式求出CD的高度。
【解析】
解：由题意得：$∠ B=∠ C=90°$，$∠ AED=90°$，$BE=3\mathrm{m}$，$BC=8\mathrm{m}$，$AB=2\mathrm{m}$
$\therefore EC = BC - BE = 8 - 3 = 5\mathrm{m}$
$\because ∠ AED=90°$，$\therefore ∠ AEB + ∠ DEC = 90°$
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB + ∠ BAE = 90°$
$\therefore ∠ BAE = ∠ DEC$
$\therefore △ ABE ∽ △ ECD$（两角对应相等，两三角形相似）
$\therefore$对应边成比例：$\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CD}$
代入数值：$\frac{2}{5} = \frac{3}{CD}$
解得：$CD = \frac{3×5}{2} = 7.5\mathrm{m}$
【答案】
7.5 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是通过角度互余关系推导得到相等的角，进而证明三角形相似，再结合相似的性质列比例式求解未知量，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：墙AB、CD均与地面BC垂直，可得∠B=∠C=90°；木梯旋转后∠AED=90°，由此可推导角的等量关系：∠BAE与∠DEC都和∠AEB互余，因此∠BAE=∠DEC，可判定△ABE与△ECD相似。接下来先算出EC的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可列等式求出CD的高度。
【解析】
解：由题意得：$∠ B=∠ C=90°$，$∠ AED=90°$，$BE=3\mathrm{m}$，$BC=8\mathrm{m}$，$AB=2\mathrm{m}$
$\therefore EC = BC - BE = 8 - 3 = 5\mathrm{m}$
$\because ∠ AED=90°$，$\therefore ∠ AEB + ∠ DEC = 90°$
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB + ∠ BAE = 90°$
$\therefore ∠ BAE = ∠ DEC$
$\therefore △ ABE ∽ △ ECD$（两角对应相等，两三角形相似）
$\therefore$对应边成比例：$\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CD}$
代入数值：$\frac{2}{5} = \frac{3}{CD}$
解得：$CD = \frac{3×5}{2} = 7.5\mathrm{m}$
【答案】
7.5 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是通过角度互余关系推导得到相等的角，进而证明三角形相似，再结合相似的性质列比例式求解未知量，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7
3.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置.已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为点B，D，AO =4 m，AB =1.6 m，CO =1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(
A.0.2 m
B.0.3 m
C.0.4 m
D.0.5 m
C
)A.0.2 m
B.0.3 m
C.0.4 m
D.0.5 m
答案
3. C
解析
【分析】
首先根据已知条件AB⊥BD、CD⊥BD，可得两个直角相等，再结合对顶角相等，可判定△ABO与△CDO相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又
∵∠AOB与∠COD为对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}$。
将AO=4m，AB=1.6m，CO=1m代入比例式，得：
$\frac{4}{1}=\frac{1.6}{CD}$，
解得$CD=\frac{1.6}{4}=0.4$m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形在实际场景中的应用，解题的核心是准确识别出相似三角形，利用相似三角形边的比例关系建立等式求解，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AB⊥BD、CD⊥BD，可得两个直角相等，再结合对顶角相等，可判定△ABO与△CDO相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又
∵∠AOB与∠COD为对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}$。
将AO=4m，AB=1.6m，CO=1m代入比例式，得：
$\frac{4}{1}=\frac{1.6}{CD}$，
解得$CD=\frac{1.6}{4}=0.4$m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形在实际场景中的应用，解题的核心是准确识别出相似三角形，利用相似三角形边的比例关系建立等式求解，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
4. 如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是$S_1,S_2$,那么$S_1,S_2$的大小关系是(
A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 = S_2$
C.$S_1 ＜ S_2$
D.$S_1,S_2$的大小关系不确定
A
)A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 = S_2$
C.$S_1 ＜ S_2$
D.$S_1,S_2$的大小关系不确定
答案
4. A
解析
【分析】
要比较$S_1$和$S_2$的大小，我们可以采用赋值法，给大正方形设一个便于计算的边长，分别求出两个小正方形的面积后再比较。首先分析$S_1$：左下角的正方形$S_1$的右上角顶点落在大正方形的对角线上，因此它的边长是大正方形边长的一半，可直接计算面积。再分析$S_2$：$S_2$位于大正方形对角线分割出的等腰直角三角形内，对角线被$S_2$的两个顶点分为三等份，每段长度等于$S_2$的边长，结合勾股定理求出$S_2$的边长，进而计算面积，最后比较两者大小即可。
【解析】
设大正方形的边长为2。
1. 计算$S_1$的面积：
观察图形可知，$S_1$的边长为大正方形边长的$\frac{1}{2}$，即边长$=2÷2=1$，因此$S_1=1^2=1$。
2. 计算$S_2$的面积：
由勾股定理得，大正方形的对角线长度$=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
观察图形，大正方形的对角线被$S_2$的两个顶点分成长度相等的三段，且每段长度等于$S_2$的边长（对角线两侧的小三角形均为等腰直角三角形，它们的斜边长度等于$S_2$的边长），因此$S_2$的边长$=2\sqrt{2}÷3=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
所以$S_2=(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2=\frac{8}{9}$。
3. 比较大小：
因为$1=\frac{9}{9}＞\frac{8}{9}$，所以$S_1＞S_2$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题通过赋值法将抽象的面积比较转化为具体的数值计算，降低了解题难度，解题的关键是准确分析两个小正方形和大正方形、等腰直角三角形的边长关系，这类题是几何面积比较的典型题型，掌握赋值法和特殊图形的性质可快速求解。
【难度系数】
0.7
要比较$S_1$和$S_2$的大小，我们可以采用赋值法，给大正方形设一个便于计算的边长，分别求出两个小正方形的面积后再比较。首先分析$S_1$：左下角的正方形$S_1$的右上角顶点落在大正方形的对角线上，因此它的边长是大正方形边长的一半，可直接计算面积。再分析$S_2$：$S_2$位于大正方形对角线分割出的等腰直角三角形内，对角线被$S_2$的两个顶点分为三等份，每段长度等于$S_2$的边长，结合勾股定理求出$S_2$的边长，进而计算面积，最后比较两者大小即可。
【解析】
设大正方形的边长为2。
1. 计算$S_1$的面积：
观察图形可知，$S_1$的边长为大正方形边长的$\frac{1}{2}$，即边长$=2÷2=1$，因此$S_1=1^2=1$。
2. 计算$S_2$的面积：
由勾股定理得，大正方形的对角线长度$=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
观察图形，大正方形的对角线被$S_2$的两个顶点分成长度相等的三段，且每段长度等于$S_2$的边长（对角线两侧的小三角形均为等腰直角三角形，它们的斜边长度等于$S_2$的边长），因此$S_2$的边长$=2\sqrt{2}÷3=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
所以$S_2=(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2=\frac{8}{9}$。
3. 比较大小：
因为$1=\frac{9}{9}＞\frac{8}{9}$，所以$S_1＞S_2$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题通过赋值法将抽象的面积比较转化为具体的数值计算，降低了解题难度，解题的关键是准确分析两个小正方形和大正方形、等腰直角三角形的边长关系，这类题是几何面积比较的典型题型，掌握赋值法和特殊图形的性质可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.你见过小孔成像吗？如图，根据空气中光线沿着直线传播这一原理，物体顶端$A$及底端$B$发出的光线经过小孔沿着直线传播，分别达到成像面上的点$A'$,$B'$.把物体看成一线段$AB$，其在成像面上的影像看作线段$A'B'$，把点$A$,$B$,$O$,$A'$,$B'$看成在同一平面内，投影孔到物体和物体影子的距离分别为$h$，$h'$,$AB // A'B'$.设物体高$AB = 3\ \mathrm{cm}$.
(1)用含$h$,$h'$的代数式表示物体的影子长$A'B'$.
(2)当$h$,$h'$满足什么关系时，所成的像比真实物体高？
(1)用含$h$,$h'$的代数式表示物体的影子长$A'B'$.
(2)当$h$,$h'$满足什么关系时，所成的像比真实物体高？
答案
$A'B' = AB · \frac{h'}{h}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件$AB// A'B'$，可利用平行线的性质得到相等的内错角，进而判定$△ OAB$和$△ OA'B'$相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可建立$AB$和$A'B'$的比例关系，推导得到$A'B'$的表达式；第二问要求像比真实物体高，即$A'B'＞AB$，将第一问得到的表达式代入不等式求解，即可得到$h$和$h'$的大小关系。
【解析】
(1) $\because AB// A'B'$
$\therefore ∠ OAB=∠ OA'B'$，$∠ OBA=∠ OB'A'$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore △ OAB ∽ △ OA'B'$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{h'}{h}$
将$AB=3\ \mathrm{cm}$代入，得$A'B'=AB· \frac{h'}{h}=\frac{3h'}{h}\ \mathrm{cm}$。
(2) 若所成的像比真实物体高，则$A'B'＞AB$
将$A'B'=AB· \frac{h'}{h}$代入不等式得：
$AB· \frac{h'}{h}＞AB$
$\because AB=3\ \mathrm{cm}＞0$，不等式两边同时除以正数$AB$，不等号方向不变，
$\therefore \frac{h'}{h}＞1$，即$h'＞h$。
【答案】
(1) $A'B'=\frac{3h'}{h}\ \mathrm{cm}$（或$A'B'=AB· \frac{h'}{h}$）
(2) 当$h'＞h$时，所成的像比真实物体高。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；不等式的应用
【点评】
本题结合小孔成像的生活场景考查数学知识的实际应用，还体现了跨学科知识结合的特点，解题关键是利用平行线找到相似三角形，结合相似的性质建立边长的比例关系，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件$AB// A'B'$，可利用平行线的性质得到相等的内错角，进而判定$△ OAB$和$△ OA'B'$相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可建立$AB$和$A'B'$的比例关系，推导得到$A'B'$的表达式；第二问要求像比真实物体高，即$A'B'＞AB$，将第一问得到的表达式代入不等式求解，即可得到$h$和$h'$的大小关系。
【解析】
(1) $\because AB// A'B'$
$\therefore ∠ OAB=∠ OA'B'$，$∠ OBA=∠ OB'A'$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore △ OAB ∽ △ OA'B'$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{h'}{h}$
将$AB=3\ \mathrm{cm}$代入，得$A'B'=AB· \frac{h'}{h}=\frac{3h'}{h}\ \mathrm{cm}$。
(2) 若所成的像比真实物体高，则$A'B'＞AB$
将$A'B'=AB· \frac{h'}{h}$代入不等式得：
$AB· \frac{h'}{h}＞AB$
$\because AB=3\ \mathrm{cm}＞0$，不等式两边同时除以正数$AB$，不等号方向不变，
$\therefore \frac{h'}{h}＞1$，即$h'＞h$。
【答案】
(1) $A'B'=\frac{3h'}{h}\ \mathrm{cm}$（或$A'B'=AB· \frac{h'}{h}$）
(2) 当$h'＞h$时，所成的像比真实物体高。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；不等式的应用
【点评】
本题结合小孔成像的生活场景考查数学知识的实际应用，还体现了跨学科知识结合的特点，解题关键是利用平行线找到相似三角形，结合相似的性质建立边长的比例关系，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
