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6. 如图,笔直的道路边有等高的路灯A,C,它们在地面的垂直投影分别为B,D,BD=18 m,张华的身高为1.5 m,她站在B与D之间的一点N处,在路灯A,C照射下,她的影子长EN,FN都是3 m.求路灯的高h.
答案
6. 设 BN = x 米,因为 BD = 18 米,EN = FN = 3 米,所以 ND = 18 - x 米. 对于路灯 A:△ABE ∽ △MNE(两角分别相等,两三角形相似) 所以$\frac{h}{1.5} = \frac{BE}{NE}$,其中 BE = BN + NE = x + 3,代入得:$\frac{h}{1.5} = \frac{x + 3}{3}$①. 对于路灯 C:△CDF ∽ △MNF(两角分别相等,两三角形相似) 所以$\frac{h}{1.5} = \frac{DF}{NF}$其中 DF = ND + NF = (18 - x) + 3 = 21 - x,代入得:$\frac{h}{1.5} = \frac{21 - x}{3}$②. 由 ①② 得:$\frac{x + 3}{3} = \frac{21 - x}{3}$两边同乘 3:x + 3 = 21 - x 解得:2x = 18⇒x = 9 将 x = 9 代入 ①:$\frac{h}{1.5} = \frac{9 + 3}{3} = 4$,h = 1.5 × 4 = 6.
解析
【分析】
本题是中心投影结合相似三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 路灯和人均垂直于地面，因此路灯与人体平行，可推导出两组相似三角形；2. 设BN的长度为未知数，结合BD的总长可表示出ND的长度；3. 分别根据两组相似三角形的对应边成比例，列出两个包含h和未知数的比例式；4. 联立两个比例式先消去h求出未知数的值，再代入比例式即可计算得到路灯高度h。
【解析】
解：设BN = x m，
∵ BD = 18 m，EN = FN = 3 m，
∴ ND = BD - BN = (18 - x) m，BE = BN + NE = (x + 3) m，DF = ND + NF = (18 - x) + 3 = (21 - x) m。
∵ AB⊥l，MN⊥l，
∴ AB//MN，
∴ △ABE ∽ △MNE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{MN}=\frac{BE}{NE}$，即 $\frac{h}{1.5}=\frac{x+3}{3}$ ①。
同理，CD⊥l，MN⊥l，可得CD//MN，
∴ △CDF ∽ △MNF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{MN}=\frac{DF}{NF}$，即 $\frac{h}{1.5}=\frac{21-x}{3}$ ②。
联立①②可得：$\frac{x+3}{3}=\frac{21-x}{3}$，
两边同乘3得：x + 3 = 21 - x，
解得x = 9。
将x = 9代入①式：$\frac{h}{1.5}=\frac{9+3}{3}=4$，
解得h = 1.5×4 = 6。
【答案】
路灯的高h为6 m
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，投影实际应用
【点评】
本题结合生活中路灯投影的常见场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的核心是找到两组相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解，体现了方程思想在几何实际问题中的运用。
【难度系数】
0.7
本题是中心投影结合相似三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 路灯和人均垂直于地面，因此路灯与人体平行，可推导出两组相似三角形；2. 设BN的长度为未知数，结合BD的总长可表示出ND的长度；3. 分别根据两组相似三角形的对应边成比例，列出两个包含h和未知数的比例式；4. 联立两个比例式先消去h求出未知数的值，再代入比例式即可计算得到路灯高度h。
【解析】
解：设BN = x m，
∵ BD = 18 m，EN = FN = 3 m，
∴ ND = BD - BN = (18 - x) m，BE = BN + NE = (x + 3) m，DF = ND + NF = (18 - x) + 3 = (21 - x) m。
∵ AB⊥l，MN⊥l，
∴ AB//MN，
∴ △ABE ∽ △MNE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{MN}=\frac{BE}{NE}$，即 $\frac{h}{1.5}=\frac{x+3}{3}$ ①。
同理，CD⊥l，MN⊥l，可得CD//MN，
∴ △CDF ∽ △MNF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{MN}=\frac{DF}{NF}$，即 $\frac{h}{1.5}=\frac{21-x}{3}$ ②。
联立①②可得：$\frac{x+3}{3}=\frac{21-x}{3}$，
两边同乘3得：x + 3 = 21 - x，
解得x = 9。
将x = 9代入①式：$\frac{h}{1.5}=\frac{9+3}{3}=4$，
解得h = 1.5×4 = 6。
【答案】
路灯的高h为6 m
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，投影实际应用
【点评】
本题结合生活中路灯投影的常见场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的核心是找到两组相似三角形，利用对应边成比例建立方程求解，体现了方程思想在几何实际问题中的运用。
【难度系数】
0.7
学习目标
1. 了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质.
2. 掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
重点难点
位似图形的有关概念、性质与作图；利用位似将一个图形放大或缩小.
学习过程
自主学习
如图，生活中我们经常把自己觉得好看的照片放大或缩小，由于图形的形状
观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？
合作学习
1. 了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质.
2. 掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
重点难点
位似图形的有关概念、性质与作图；利用位似将一个图形放大或缩小.
学习过程
自主学习
如图，生活中我们经常把自己觉得好看的照片放大或缩小，由于图形的形状
不变
，我们得到的照片是真实的.观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？
合作学习
答案
1. 照片放大缩小过程中图形形状保持不变，仅大小改变；图中的多边形都是相似的，这类相似的共同特征是：每组对应顶点的连线都相交于同一个点，对应边互相平行。
解析
【分析】
解题时首先从相似变换的基本性质入手思考：我们需要照片真实，意味着变换前后的图形形状不能发生改变，这符合相似变换的特点。接着判断多边形是否相似，依据相似图形“形状相同”的定义即可判断。最后总结这类特殊相似的特征时，分别从对应顶点的连线、对应边的位置两个维度观察图形，就能归纳出共同特征。
【解析】
1. 照片放大或缩小属于图形的相似变换，相似变换的特点是仅改变图形的大小，不改变图形的形状，因此图形形状保持不变时，得到的照片才是真实的。
2. 观察图中的多边形，每组多边形的形状完全相同，符合相似图形的定义，因此图中的多边形都是相似的。进一步观察可得这类相似的共同特征：连接每组对应顶点，所有连线都相交于同一个点；同时各组对应边互相平行。
【答案】
照片放大缩小过程中图形形状保持不变，仅大小改变；图中的多边形都是相似的，这类相似的共同特征是：每组对应顶点的连线都相交于同一个点，对应边互相平行。
【知识点】
相似图形的性质；位似图形的特征
【点评】
本题是位似模块的入门基础题，结合生活实例引导学生建立相似与位似的关联，侧重考查基础概念的理解和图形观察能力，掌握相似的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先从相似变换的基本性质入手思考：我们需要照片真实，意味着变换前后的图形形状不能发生改变，这符合相似变换的特点。接着判断多边形是否相似，依据相似图形“形状相同”的定义即可判断。最后总结这类特殊相似的特征时，分别从对应顶点的连线、对应边的位置两个维度观察图形，就能归纳出共同特征。
【解析】
1. 照片放大或缩小属于图形的相似变换，相似变换的特点是仅改变图形的大小，不改变图形的形状，因此图形形状保持不变时，得到的照片才是真实的。
2. 观察图中的多边形，每组多边形的形状完全相同，符合相似图形的定义，因此图中的多边形都是相似的。进一步观察可得这类相似的共同特征：连接每组对应顶点，所有连线都相交于同一个点；同时各组对应边互相平行。
【答案】
照片放大缩小过程中图形形状保持不变，仅大小改变；图中的多边形都是相似的，这类相似的共同特征是：每组对应顶点的连线都相交于同一个点，对应边互相平行。
【知识点】
相似图形的性质；位似图形的特征
【点评】
本题是位似模块的入门基础题，结合生活实例引导学生建立相似与位似的关联，侧重考查基础概念的理解和图形观察能力，掌握相似的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
1. 如图,在 $△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 中,直线$AA',BB',CC'$ 相交于一点 $O$. 且 $\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = \frac{OC'}{OC} = k$. 这两个三角形相似吗？如果相似, $△ A'B'C'$ 与 $△ ABC$ 的相似比是多少？
答案
这两个三角形相似，相似比为k。
推导：
∵ $\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}$，且∠A'OB'=∠AOB，
∴ △A'OB'∽△AOB，可得$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=k$，同理可得$\frac{B'C'}{BC}=k$，$\frac{A'C'}{AC}=k$，即△A'B'C'和△ABC三边对应成比例，因此△A'B'C'∽△ABC，相似比为k。
推导：
∵ $\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}$，且∠A'OB'=∠AOB，
∴ △A'OB'∽△AOB，可得$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=k$，同理可得$\frac{B'C'}{BC}=k$，$\frac{A'C'}{AC}=k$，即△A'B'C'和△ABC三边对应成比例，因此△A'B'C'∽△ABC，相似比为k。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，给出了三组从同一点O出发的线段比值相等，且直线$AA'$、$BB'$、$CC'$交于O，存在多组对顶角相等。第一步可先利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，证明$△ A'OB'$与$△ AOB$相似，得到$A'B'$与$AB$的比值等于$k$；再用同样的方法推导另外两组对应边$B'C'$与$BC$、$A'C'$与$AC$的比值也等于$k$；最后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”即可判定$△ A'B'C'$和$△ ABC$相似，相似比为对应边的比值$k$。
【解析】
已知直线$AA',BB',CC'$相交于点$O$，因此$∠ A'OB'=∠ AOB$（对顶角相等）。
又$\because \frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=k$，
$\therefore △ A'OB' ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=k$。
同理可得：
$△ B'OC' ∽ △ BOC$，则$\frac{B'C'}{BC}=k$；
$△ A'OC' ∽ △ AOC$，则$\frac{A'C'}{AC}=k$。
$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=k$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ A'B'C' ∽ △ ABC$，相似比为$k$。
【答案】
$△ A'B'C'$与$△ ABC$相似，相似比为$k$。
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质，相似比的定义
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用题，解题核心是灵活运用相似三角形的判定定理，先通过边角边证明小三角形相似得到对应边的比例关系，再通过边边边判定两个大三角形相似，熟练掌握相似判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，给出了三组从同一点O出发的线段比值相等，且直线$AA'$、$BB'$、$CC'$交于O，存在多组对顶角相等。第一步可先利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，证明$△ A'OB'$与$△ AOB$相似，得到$A'B'$与$AB$的比值等于$k$；再用同样的方法推导另外两组对应边$B'C'$与$BC$、$A'C'$与$AC$的比值也等于$k$；最后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”即可判定$△ A'B'C'$和$△ ABC$相似，相似比为对应边的比值$k$。
【解析】
已知直线$AA',BB',CC'$相交于点$O$，因此$∠ A'OB'=∠ AOB$（对顶角相等）。
又$\because \frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=k$，
$\therefore △ A'OB' ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=k$。
同理可得：
$△ B'OC' ∽ △ BOC$，则$\frac{B'C'}{BC}=k$；
$△ A'OC' ∽ △ AOC$，则$\frac{A'C'}{AC}=k$。
$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=k$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ A'B'C' ∽ △ ABC$，相似比为$k$。
【答案】
$△ A'B'C'$与$△ ABC$相似，相似比为$k$。
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质，相似比的定义
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用题，解题核心是灵活运用相似三角形的判定定理，先通过边角边证明小三角形相似得到对应边的比例关系，再通过边边边判定两个大三角形相似，熟练掌握相似判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
