登录
根据以下素材,完成探索任务.
＜表格＞
素
材
如图,为了测量一条两岸平行的河流宽度,由于跨河测量困难,所以,三个数学研究小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点B处,测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向,测量方案如下表:
工具
测量角度的仪器(仪器的高度忽略不计)、标杆、皮尺等
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
观测者从B点向正东走到C点,此时恰好测得:$∠ ACB=45°$
观测者从B点向正东走到E点,O是BE的中点,继续从点E沿垂直于BE的EF方向走,直到点A,O,F在一条直线
测量示意图
问题解决
任务1 (1)第一小组认为,河宽AB的长度就是线段
任务2 (2)第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯,他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长,你认为第二小组的方案可行吗?如果可行,请给出证明;如果不可行,请说明理由.
任务3 (3)请你代表第三小组,设计一个测量方案,把测量方案和测量示意图填入上表,然后指明你画的示意图中,只要测出哪条线段的长,就能推算出河宽AB长,并说明方案的可行性.
＜表格＞
材
问题解决
任务1 (1)第一小组认为,河宽AB的长度就是线段
BC
的长度.任务2 (2)第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯,他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长,你认为第二小组的方案可行吗?如果可行,请给出证明;如果不可行,请说明理由.
任务3 (3)请你代表第三小组,设计一个测量方案,把测量方案和测量示意图填入上表,然后指明你画的示意图中,只要测出哪条线段的长,就能推算出河宽AB长,并说明方案的可行性.
答案
1. BC
2. 第二小组的方案可行,理由如下:
∵O是BE中点,
∴OB=OE.
∵AB⊥BE,EF⊥BE,
∴∠ABO=∠FEO=90°. 在△ABO和△FEO中,
$\begin{cases}∠ABO=∠FEO,\\BO=EO,\\∠AOB=∠FOE.\end{cases}$
∴△ABO≌△FEO(ASA),
∴EF=AB.
∴河宽AB的长度就是线段EF的长度.
3. 观测者从B点向正西走到C点,使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB=65°,CD交AB延长线于D.如图:
只要测出BD的长,就能推算出河宽AB长,理由如下:∵AB⊥BC,
∴∠ABC=∠DBC=90°. 在△ABC和△DBC中,
$\begin{cases}∠ABC=∠DBC,\\BC=BC,\\∠ACB=∠BCD.\end{cases}$
∴△ABC≌△DBC(ASA).
∴BD=AB.
∴河宽AB的长等于线段BD的长.
解析
【分析】
任务1解题思路：首先根据方向关系确定AB与BC垂直，再结合已知∠ACB=45°，可判断△ABC为等腰直角三角形，等腰直角三角形两条直角边相等，因此AB的长度等于BC的长度。
任务2解题思路：要判断方案是否可行，需证明AB=EF，先整理已知条件：O是BE中点可得OB=OE，AB和EF都垂直于BE可得两个直角相等，再加对顶角相等，可通过ASA判定△ABO和△FEO全等，全等三角形对应边相等，即可得EF=AB，方案可行。
任务3解题思路：设计方案的核心是构造全等三角形，把不可直接测量的河宽AB转化为陆地上可测量的线段，可利用ASA全等判定条件，构造与△ABC全等的三角形，使对应边等于AB，测量对应边长度即可得到河宽。
【解析】
(1) 由题意可知AB⊥BC，∠ACB=45°，因此△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=BC，故河宽AB的长度就是线段BC的长度。
(2) 第二小组的方案可行，证明如下：
∵O是BE中点，
∴OB=OE。
∵AB⊥BE，EF⊥BE，
∴∠ABO=∠FEO=90°。
在△ABO和△FEO中，
$\begin{cases}∠ABO=∠FEO,\\BO=EO,\\∠AOB=∠FOE.\end{cases}$
∴△ABO≌△FEO(ASA)，
∴EF=AB。
∴河宽AB的长度就是线段EF的长度。
(3) 测量方案：观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB=65°，CD交AB延长线于D。
测量示意图：
只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=∠DBC=90°。
在△ABC和△DBC中，
$\begin{cases}∠ABC=∠DBC,\\BC=BC,\\∠ACB=∠BCD.\end{cases}$
∴△ABC≌△DBC(ASA)。
∴BD=AB。
∴河宽AB的长等于线段BD的长。
【答案】
(1) BC
(2) 第二小组的方案可行,理由如下:
∵O是BE中点,
∴OB=OE.
∵AB⊥BE,EF⊥BE,
∴∠ABO=∠FEO=90°. 在△ABO和△FEO中,
$\begin{cases}∠ABO=∠FEO,\\BO=EO,\\∠AOB=∠FOE.\end{cases}$
∴△ABO≌△FEO(ASA),
∴EF=AB.
∴河宽AB的长度就是线段EF的长度.
(3) 观测者从B点向正西走到C点,使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB=65°,CD交AB延长线于D.如图:只要测出BD的长,就能推算出河宽AB长,理由如下:
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=∠DBC=90°. 在△ABC和△DBC中,
$\begin{cases}∠ABC=∠DBC,\\BC=BC,\\∠ACB=∠BCD.\end{cases}$
∴△ABC≌△DBC(ASA).
∴BD=AB.
∴河宽AB的长等于线段BD的长.
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、测量方案设计
【点评】
本题以实际测量河流宽度为背景，将几何知识与实践应用结合，核心是通过构造特殊三角形或全等三角形，把不可直接测量的长度转化为可测量的线段长度，能够有效锻炼知识迁移能力和实践探究能力。
【难度系数】
0.7
任务1解题思路：首先根据方向关系确定AB与BC垂直，再结合已知∠ACB=45°，可判断△ABC为等腰直角三角形，等腰直角三角形两条直角边相等，因此AB的长度等于BC的长度。
任务2解题思路：要判断方案是否可行，需证明AB=EF，先整理已知条件：O是BE中点可得OB=OE，AB和EF都垂直于BE可得两个直角相等，再加对顶角相等，可通过ASA判定△ABO和△FEO全等，全等三角形对应边相等，即可得EF=AB，方案可行。
任务3解题思路：设计方案的核心是构造全等三角形，把不可直接测量的河宽AB转化为陆地上可测量的线段，可利用ASA全等判定条件，构造与△ABC全等的三角形，使对应边等于AB，测量对应边长度即可得到河宽。
【解析】
(1) 由题意可知AB⊥BC，∠ACB=45°，因此△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=BC，故河宽AB的长度就是线段BC的长度。
(2) 第二小组的方案可行，证明如下：
∵O是BE中点，
∴OB=OE。
∵AB⊥BE，EF⊥BE，
∴∠ABO=∠FEO=90°。
在△ABO和△FEO中，
$\begin{cases}∠ABO=∠FEO,\\BO=EO,\\∠AOB=∠FOE.\end{cases}$
∴△ABO≌△FEO(ASA)，
∴EF=AB。
∴河宽AB的长度就是线段EF的长度。
(3) 测量方案：观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB=65°，CD交AB延长线于D。
测量示意图：
只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=∠DBC=90°。
在△ABC和△DBC中，
$\begin{cases}∠ABC=∠DBC,\\BC=BC,\\∠ACB=∠BCD.\end{cases}$
∴△ABC≌△DBC(ASA)。
∴BD=AB。
∴河宽AB的长等于线段BD的长。
【答案】
(1) BC
(2) 第二小组的方案可行,理由如下:
∵O是BE中点,
∴OB=OE.
∵AB⊥BE,EF⊥BE,
∴∠ABO=∠FEO=90°. 在△ABO和△FEO中,
$\begin{cases}∠ABO=∠FEO,\\BO=EO,\\∠AOB=∠FOE.\end{cases}$
∴△ABO≌△FEO(ASA),
∴EF=AB.
∴河宽AB的长度就是线段EF的长度.
(3) 观测者从B点向正西走到C点,使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB=65°,CD交AB延长线于D.如图:
只要测出BD的长,就能推算出河宽AB长,理由如下:∵AB⊥BC,
∴∠ABC=∠DBC=90°. 在△ABC和△DBC中,
$\begin{cases}∠ABC=∠DBC,\\BC=BC,\\∠ACB=∠BCD.\end{cases}$
∴△ABC≌△DBC(ASA).
∴BD=AB.
∴河宽AB的长等于线段BD的长.
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、测量方案设计
【点评】
本题以实际测量河流宽度为背景，将几何知识与实践应用结合，核心是通过构造特殊三角形或全等三角形，把不可直接测量的长度转化为可测量的线段长度，能够有效锻炼知识迁移能力和实践探究能力。
【难度系数】
0.7
