活动一 全等三角形拼图及有关猜想
活动准备:数学小组探究全等三角形时准备了剪刀、两张印有全等三角形△ABC和△A'B'C'(△ABC≌△A'B'C')的纸张、直尺、铅笔.用剪刀把全等三角形△ABC和△A'B'C'剪下来.
拼图要求:使BC边与B'C'边重合,顶点A与顶点A'不重合,画出拼图后的图形.连接AA'.测量:用直尺测量相关的线段长度等数据,通过折纸等方法观察位置关系.
拼接方式 | 拼接简图 | 猜想
A,A'在BC同侧 | | BC与AA'
A,A'在BC两侧 | | AA'与BC

1. 平行 2. 垂直

【分析】
解题时首先结合全等三角形的性质，得到重合边外的对应边相等，再分两种情况分析AA'与BC的位置关系：1. 当A、A'在BC同侧时，可通过两组对边相等判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到线段平行关系；2. 当A、A'在BC两侧时，可通过“到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上”，判定BC是AA'的垂直平分线，进而得到垂直关系。
【解析】
1. 当A、A'在BC同侧时：
已知△ABC≌△A'B'C'，且BC与B'C'重合，因此△ABC≌△A'BC，可得AB=A'C，AC=A'B。
根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABA'C是平行四边形，平行四边形对边平行，因此$BC// AA'$。
2. 当A、A'在BC两侧时：
同理可得△ABC≌△A'BC，因此AB=A'B，AC=A'C。
根据“到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，可知点B、点C都在AA'的垂直平分线上，因此BC是AA'的垂直平分线，即$AA'⊥ BC$。
【答案】
平行；垂直
【知识点】
全等三角形的性质；平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题结合动手拼图操作考查几何性质的应用，既锻炼了实践观察能力，也强化了利用几何定理推导线段位置关系的逻辑推理能力，体现了几何学习中实践与理论结合的特点。
【难度系数】
0.7

探究1 与“筝形”有关的线段
1.(1)请根据上图猜想两个有关筝形的角、对角线的性质：
① ;
② .
(2)你能根据上图,利用所学过的知识对(1)中的猜想进行论证吗?

1.(1) ①有一组对角相等 ②一条对角线垂直平分另一条对角线
(2) 证明:由“筝形”的定义可知,AB=AD,BC=DC. 又
∵AC=AC,△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠ABC=∠ADC,∠BAC=∠DAC.
∴△ABO≌△ADO,
∴OB=OD,∠AOB=∠AOD. 又
∵∠AOB+∠AOD=180°,
∴∠AOB=∠AOD=90°,即AC垂直平分BD.

【分析】
(1) 猜想性质时，先明确筝形的定义为两组邻边分别相等的四边形，从角和对角线两个维度观察：角的维度，结合已知的等边条件，可猜想存在相等的对角；对角线的维度，可结合全等或等腰三角形的特征，猜想对角线存在垂直、平分的关系。
(2) 论证时，首先利用筝形给出的AB=AD、BC=DC的条件，结合公共边AC，用SSS判定△ABC≌△ADC，得到对应角相等；再利用得到的角相等、公共边AO和已知的AB=AD，判定△ABO≌△ADO，进而推出线段相等和夹角为直角，最终得到对角线垂直平分的结论，整个推导过程依托八年级所学的全等三角形相关知识即可完成。
【解析】
(1) 结合筝形的图形特征和已知条件，猜想性质如下：
① 筝形有一组对角相等；
② 筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线。
(2) 证明：由筝形的定义可知，AB=AD，BC=DC。
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases} AB=AD \\ BC=DC \\ AC=AC \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \mathrm{(SSS)}$
$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$，$∠ BAC=∠ DAC$。
在$△ ABO$和$△ ADO$中：
$\begin{cases} AB=AD \\ ∠ BAC=∠ DAC \\ AO=AO \end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ ADO \mathrm{(SAS)}$
$\therefore OB=OD$，$∠ AOB=∠ AOD$。
又$\because ∠ AOB+∠ AOD=180°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOD=90°$，即AC垂直平分BD。
【答案】
(1) ①有一组对角相等 ②一条对角线垂直平分另一条对角线
(2) 证明:由“筝形”的定义可知,AB=AD,BC=DC. 又
∵AC=AC,△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠ABC=∠ADC,∠BAC=∠DAC.
∴△ABO≌△ADO,
∴OB=OD,∠AOB=∠AOD. 又
∵∠AOB+∠AOD=180°,
∴∠AOB=∠AOD=90°,即AC垂直平分BD。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 垂直平分线的判定
3. 筝形的性质
【点评】
本题以特殊四边形筝形为背景，考查全等三角形的灵活运用，解题核心是从已知的等边条件出发，逐步寻找全等的判定条件，通过证明全等推导待证的角和线段关系，能有效提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

探究2 “筝形”的面积
2. 你能推测筝形面积的求法吗？请根据上图加以证明.
请从边、角、对角线、面积等方面用文字语言全面归纳出“筝形”的性质：
(1);
(2);
(3);
(4).

2. 证明:在筝形ABCD中,
∵△ABC≌△ADC,AC⊥BD,BO=DO.
∴“筝形”ABCD的面积S=2×S△ABC=2×1/2 AC·BO=1/2 AC·BD.
(1) 筝形两组邻边相等
(2) 筝形至少一组对角相等
(3) 筝形的一条对角线平分一组对角,并且垂直平分另一条对角线
(4) 筝形的面积等于两对角线乘积的一半

【分析】
要推导筝形的性质，我们可以结合全等三角形、等腰三角形的相关知识逐步分析：首先明确筝形的定义是两组邻边分别相等的四边形，我们可以从边、角、对角线、面积四个维度逐一推导：①边的性质可直接由定义得到；②连接筝形的一条对角线，可通过SSS证明对角线分成的两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等推导角的性质；③结合全等得到的角相等的结论，再利用等腰三角形三线合一的性质，就能推出对角线的位置、数量关系；④面积计算可以将筝形拆分为两个三角形的面积和，结合对角线互相垂直的结论化简即可得到面积公式。
【解析】
设筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC、BD交于点O。
1. 证明三角形全等：
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD\\ CB=CD\\ AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）。
2. 推导各维度性质：
（1）边：由筝形的定义直接可得，筝形的两组邻边分别相等；
（2）角：由△ABC≌△ADC的对应角相等可得∠B=∠D，即筝形至少有一组对角相等；
（3）对角线：由△ABC≌△ADC得∠BAC=∠DAC、∠BCA=∠DCA，即AC平分∠BAD和∠BCD；又因为AB=AD，AC平分∠BAD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC⊥BD，且BO=DO，即AC垂直平分BD，综上可得筝形的一条对角线平分一组对角，并且垂直平分另一条对角线；
（4）面积：筝形ABCD的面积等于△ABC和△ADC的面积和，因为AC⊥BD，△ABC中AC边上的高为BO，△ADC中AC边上的高为DO，因此$S=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}· AC· BO + \frac{1}{2}· AC· DO = \frac{1}{2}· AC· (BO+DO) = \frac{1}{2}AC· BD$，即筝形的面积等于两对角线乘积的一半。
【答案】
2. 证明:在筝形ABCD中,
∵△ABC≌△ADC,AC⊥BD,BO=DO.
∴“筝形”ABCD的面积$S=2×S_{△ ABC}=2×\frac{1}{2} AC·BO=\frac{1}{2} AC·BD$.
(1) 筝形两组邻边相等
(2) 筝形至少一组对角相等
(3) 筝形的一条对角线平分一组对角,并且垂直平分另一条对角线
(4) 筝形的面积等于两对角线乘积的一半
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 四边形面积计算
【点评】
本题通过全等三角形推导特殊四边形筝形的性质，需要我们学会将陌生的几何图形转化为熟悉的三角形问题求解，同时掌握将不规则四边形面积拆分转化为三角形面积计算的方法，对提升几何推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7

3.已知筝形的两条对角线分别是7和18，则它的面积是。

3. 63

【分析】
首先回忆筝形的性质：筝形的两条对角线互相垂直，而对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，因此我们只需要将题目给出的两条对角线的长度代入对应面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 筝形的两条对角线互相垂直，
∴ 对角线互相垂直的四边形面积公式为$ S=\frac{1}{2}d_1d_2 $（其中$ d_1、d_2 $为两条对角线的长度），
将$ d_1=7 $，$ d_2=18 $代入公式得：
$ S=\frac{1}{2}×7×18=63 $
【答案】
63
【知识点】
筝形的性质；对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊四边形的面积计算，解题的关键是熟练掌握筝形对角线互相垂直的性质，以及对应面积计算公式的应用。
【难度系数】
0.8

4. 如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA.
(1)求证:四边形ABCD是筝形；
(2)若AO=1，CO=3AO，BO=2，则四边形ABCD的面积是.

4.(1) 证明:
∵∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,AC=AC.
∴△ABC≌△ADC(ASA).
∴AB=AD,BC=DC.
∴四边形ABCD是筝形.
(2) 8

【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是筝形，首先明确筝形的判定条件：两组邻边分别相等的四边形是筝形。题目给出两组角相等，加上公共边AC，可先通过ASA证明△ABC≌△ADC，再利用全等三角形对应边相等得到AB=AD、BC=DC，即可满足筝形的判定条件。
(2) 求四边形面积时，由(1)的结论得AB=AD，结合∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC⊥BD，且BO=OD。先计算AC、BD的长度，再根据对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，即可求出面积，也可拆分四边形为两个三角形分别计算面积再求和。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AC=AC（公共边），
∴△ABC≌△ADC(ASA)，
∴AB=AD，BC=DC，
∴四边形ABCD是筝形。
(2) 解：
由(1)知AB=AD，又
∵∠BAC=∠DAC，
∴AO⊥BD，BO=OD=2（等腰三角形三线合一），
∴BD=BO+OD=4，
∵AO=1，CO=3AO=3，
∴AC=AO+CO=1+3=4，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×4×4=8。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 8
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题以筝形为载体，考查全等三角形、等腰三角形的基础性质，以及特殊四边形面积的计算方法，解题思路直接，侧重对基础知识点的应用，掌握全等判定和特殊图形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7