21.(8分)古代的一种远程投石机投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载:“飞石重十二斤,为机发,行二百步.”在如图所示的平面直角坐标系中,将投石机置于斜坡OA的底部点O处,石块从投石机竖直方向上的点C处被投出,在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知,石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是$(50,25)$,$OC=5$,$OD=75$,$AD=12$,$AB=9$.(单位:米)
(1)求抛物线的解析式.
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB.
(3)求出石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离.

21. 解:(1)$\because$抛物线的顶点坐标是$(50,25)$,$OC=5$,设石块运行的抛物线的解析式为$y=a(x-50)^2+25$,将$(0,5)$代入,得$50^2a+25=5$,解得$a=-\frac{1}{125}$,$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{125}(x-50)^2+25=-\frac{1}{125}x^2+\frac{4}{5}x+5$. (2)$\because OD=75$,把$x=75$代入$y=-\frac{1}{125}(x-50)^2+25$,得$y=20$.$\because AD=12$,$AB=9$,$\therefore BD=12+9=21$.$\because 21＞20$,$\therefore$石块不能飞越城墙$AB$. (3)设直线$OA$的解析式为$y=kx(k≠0)$.$\because OD=75$,$AD=12$,把$(75,12)$代入,得$12=75k$,$\therefore k=\frac{4}{25}$,故直线$OA$的解析式为$y=\frac{4}{25}x$.设直线$OA$上方的抛物线上的一点$P$的坐标为$(t,-\frac{1}{125}t^2+\frac{4}{5}t+5)$.过点$P$作$PQ⊥x$轴,交$OA$于点$Q$,则$Q(t,\frac{4}{25}t)$,$\therefore PQ=-\frac{1}{125}t^2+\frac{4}{5}t+5-\frac{4}{25}t=-\frac{1}{125}t^2+\frac{16}{25}t+5$,$\therefore$当$t=-\frac{\frac{16}{25}}{2×(-\frac{1}{125})}=40$时,$PQ$取最大值,最大值$=\frac{4×(-\frac{1}{125})×5-(\frac{16}{25})^2}{4×(-\frac{1}{125})}=17.8$,$\therefore$石块与斜坡$OA$在竖直方向上的最大距离是17.8米.

22.(9分)为迎接校园艺术节,某班级计划制作一个面积为8平方米的矩形宣传展板ABCD(如图①).展板一边固定在墙上(墙足够长),另外三边用装饰木条围成,木条总长度为$l$米.
【问题提出】
若$l=10$,能否制作出符合要求的矩形宣传展板?
【问题探究】
小明的分析方法:设$AB=x$米,$BC=y$米.由展板面积知$xy=8$,则$(x,y)$可视为反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象在第一象限内点的坐标;由木条总长知$2x+y=10$,则$(x,y)$可视为一次函数$y=-2x+10$的图象在第一象限内点的坐标.同时满足这两个条件的$(x,y)$就是两个函数的交点坐标.如图②,双曲线$y=\frac{8}{x}$与直线$y=-2x+10$的交点坐标为$(1,8)$和(,),因此,木条总长为10米时,能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板,其尺寸如下:$AB=1$米,$BC=8$米或$AB=$米,$BC=$米.
(1)根据小明的分析思路,完成上面的填空.
【类比探究】
(2)若$l=6$,能否制作出符合要求的矩形宣传展板?请仿照小明的方法,在图②中画出一次函数的图象,并说明理由.
【问题延伸】
(3)小颖从以上探究中发现:“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线$y=\frac{8}{x}$与直线$y=-2x+l$在第一象限内交点的存在问题”.若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸,请求出此时木条总长$l$的值.

22. 解:(1)4 2 4 2 (2)不能.理由:由题设$AB=x$米,$BC=y$米,则$y=-2x+6$,图象如图所示.$\because y=-2x+6$与函数$y=\frac{8}{x}$的图象没有交点,$\therefore$不能制作出符合要求的矩形宣传展板. (3)$\because$矩形宣传展板只能制作出一种尺寸,$\therefore$双曲线$y=\frac{8}{x}$与直线$y=-2x+l$在第一象限内只有一个交点,令$\frac{8}{x}=-2x+l$,整理,得$2x^2-lx+8=0$,$\therefore \Delta=l^2-64=0$,解得$l=8$(负值舍去),故此时木条总长$l$的值为8.